Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 11 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Funktionalanalysis

Abgabe: Bis 28.06.2011, 12 Uhr Blatt 11

Aufgabe 1. Sei S der Schwartz-Raum aller schnell fallenden, glatten Funktionen auf ℝ mit dem Halbnormensystem P = {p_{m,k} : m, k ∈ ℕ} (siehe Beispiel 8.9 vi)):

S = {f ∈ C^{∞}(ℝ) | ∀m, k ∈ ℕ : p_{m,k}(f) < ∞}, p_{m,k}(f) = sup_{t∈ℝ}(1 + |t|)^{m}|f^{(k)}(t)|.

Bezeichne Id: ℝ → ℝ die identische Funktion Id(t) = t und f · g das punktweise Produkt von Funktionen f, g. Zeige:

(a) Für jedes f ∈ S gilt f′, Id · f ∈ S, und die Abbildungen D: S → S, f ↦ f′, und M: S → S, f ↦ Id · f, sind stetig.

(b) Für jedes f ∈ S und jedes beschränkte g ∈ C(ℝ) ist f · g integrierbar und

|∫_{ℝ} f(t)g(t)dt| ≤ p_{2,0}(f) · sup_{t∈ℝ}|g(t)| · ∫_{ℝ} \frac{dt}{(1 + |t|)^{2}} .

Aufgabe 2. Für alle f ∈ S und s ∈ ℝ existiert nach Aufgabe 1(c) das Integral

(F(f))(s) := \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} f(t)e^{−ist}dt.

Zeige:

(a) Für jedes f ∈ S gilt F(f′) = i · Id · F(f). (Hinweis: Verwende partielle Integration und begründe deren Anwendbarkeit.)

(b) Für jedes f ∈ S gilt F(Id·f) = −i·F(f)′. (Hinweis: Verwende den Satz von der dominierten Konvergenz, Bemerkung vi) vor Definition 2.8 im Skript.)

(c) Für jedes f ∈ S ist F(f) ∈ S, und die Abbildung F: S → S ist stetig. (Hinweis: Verwende (a), (b) und Aufgabe 1.)

Aufgabe 3. Bezeichne C(𝕋) ⊆ C(ℝ) den Unterraum der 2π-periodischen Funktionen und sei e_{k} ∈ C(𝕋) für k ∈ ℤ definiert durch e_{k}(t) = exp(ikt) für t ∈ ℝ. Zeige, dass der von den Elementen e_{k} ∈ C(𝕋), k ∈ ℤ, aufgespannte Unterraum von C(𝕋) dicht ist. (Hinweis: Verwende den Satz von Stone-Weierstrass.)

Aufgabe 4. Bezeichne λ das Lebesgue-Maß auf ℝ. Wir definieren ein Maß μ auf ℝ durch μ(A) = λ(A ∩ [0, 2π])/2π für alle messbaren Teilmengen A ⊆ ℝ, und setzen L^{2}(𝕋) := L^{2}(ℝ, μ). Dann ist C(𝕋) ⊆ L^{2}(𝕋) dicht und

⟨f|g⟩ = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} \overline{f(t)}g(t)dt für alle f, g ∈ C(𝕋) ⊆ L^{2}(𝕋).

(a) Zeige, dass (e_{k})_{k∈ℤ} eine Orthonormalbasis von L^{2}(𝕋) ist.

(b) Zeige, dass die Abbildung L^{2}(𝕋) → ℓ^{2}(ℤ), f ↦ (⟨e_{k}|f⟩)_{k}, ein isometrischer Isomorphismus ist.

(c) Schlussfolgere aus (b) das Riemann-Lebesgue-Lemma und die Injektivität der Fourier-Transformation, die auf Blatt 9 verwendet wurden, also

i) f̂ ∈ C_{0}(ℤ) für alle f ∈ C(𝕋), wobei f̂(k) = ⟨e_{k}|f⟩ für alle k ∈ ℤ; ii) die Abbildung C(𝕋) → C_{0}(ℤ), f ↦ f̂, ist injektiv.