Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 11 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Funktionalanalysis

Abgabe: Bis 05.07.2011, 12 Uhr Blatt 12

In den folgenden Aufgaben sei (H, ⟨ , ⟩) stets ein komplexer Hilbertraum.

Aufgabe 1. Sei (v_{n})_{n∈ℕ} eine Orthonormalbasis von H.

(a) Sei α = (α_{n})_{n∈ℕ} eine Folge komplexer Zahlen. Zeige, dass es genau dann ein T_{α} ∈ L(H) mit T_{α}v_{n} = α_{n}v_{n} für alle n ∈ ℕ gibt, wenn α ∈ ℓ^{∞}(ℕ).

(b) Seien α, β ∈ ℓ^{∞}(ℕ). Bestimme nach Möglichkeit Folgen γ, δ ∈ ℓ^{∞}(ℕ) mit T_{α}T_{β} = T_{γ} und (T_{α})^{∗} = T_{δ}.

(c) Unter welchen Bedingungen an α ∈ ℓ^{∞}(ℕ) ist T_{α} normal/selbstadjungiert?

(d) Unter welchen Bedingungen an α ∈ ℓ^{∞}(ℕ) ist T_{α} beschränkt invertierbar?

Bestimme gegebenenfalls eine Folge β ∈ ℓ^{∞}(ℕ) mit (T_{α})^{−1} = T_{β}. Aufgabe 2. Sei E ∈ L(H) idempotent, also E^{2} = E. Zeige:

(a) (Id_{H} − E) ist ebenfalls idempotent und E(H) = ker(Id_{H} − E).

(b) E(H) ist abgeschlossen, E(H) ∩ ker E = 0 und E(H) + ker E = H.

(c) E braucht nicht normal zu sein.

(Hinweis: Finde ein möglichst einfaches Gegenbeispiel im Fall H = ℂ^{2}.) Aufgabe 3. Sei P ∈ L(H) wieder idempotent, also P^{2} = P.

(a) Sei ∥P ∥ ≤ 1 und u ∈ (ker P)^{⊥}. Zeige schrittweise, dass ⟨u, u − P u⟩ = 0, ∥u∥ = ∥P u∥ und ∥u − P u∥^{2} = 0.

(b) Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

i) ∥P ∥ ≤ 1, ii) P (H) ⊥ ker P, iii) P = P^{∗}.

Sind diese Aussagen erfüllt, so nennt man P eine orthogonale Projektion. (Hinweis: Zeige i) ⇒ ii) ⇒ iii) ⇒ ii) und ii)+iii) ⇒ i).)

Aufgabe 4. Für je zwei Vektoren u, v ∈ H ist der zugehörige Ket-bra-Operator T_{u,v} ∈ L(H) definiert durch T_{u,v}w = ⟨v, w⟩u für alle w ∈ H.

(a) Bestimme ∥T_{u,v}∥ und (T_{u,v})^{∗} in Abhängigkeit von u, v ∈ H.

(b) Bestimme RT_{u,v} und T_{u,v}S für R, S ∈ L(H) und u, v ∈ H.

(c) Sei S ∈ L(H) ein Operator mit endlich-dimensionalem Bild und u_{1}, …, u_{n} eine Orthonormalbasis von S(H). Zeige, dass S = T_{u_{1},S^{∗}u_{1}} + ⋯ + T_{u_{n},S^{∗}u_{n}}.