Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 12 Dr. T. Timmermann

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: bis Donnerstag, 12.04.12 bis 12 Uhr, in den Briefkästen Blatt 1

Aufgabe 1. Bestimmen Sie das dritte Taylor-Polynom (T_{3}f)(x; 0) für die Funktion f: ℝ → ℝ, x ↦ e^{sin x}.

Aufgabe 2. Sei f(x) = e^{x} −\sqrt{1 + 2x} und g(x) = 1 − cos x für alle x > −1/2.

(a) Bestimmen Sie die Taylorpolynome (T_{2}f)(x; 0) und (T_{2}g)(x; 0).

(b) Berechnen Sie lim_{x→0} f(x)/g(x).

Aufgabe 3. Zeigen Sie, daß es keine stetige Funktion f: [0, 1] → [0, 1] gibt, die f(0) = f(1) = 0 erfüllt und jeden ihrer Funktionswerte genau zweimal annimmt.

(Hinweis: Zeigen Sie mit Hilfe Zwischenwertsatzes und des Satzes über die Existenz von Maxima, daß so eine Funktion f dann gewisse Werte mindestens dreimal annehmen müßte.)

(Bemerkung: Ähnlich zeigt man, daß es keine stetige Funktion f: [0, 1] → ℝ gibt, die jeden Funktionswert genau zweimal annimmt.)

Aufgabe 4. Ein Ball, der aus einer Anfangshöhe h > 0 mit Geschwindigkeit v unter einem Winkel −\frac{π}{2} ≤ α ≤ \frac{π}{2} abgeworfen wird, erreicht bei Vernachlässigung der Reibung die Wurfweite

L(α) = A cos α( sin α + \sqrt{H + sin^{2} α}) , A := \frac{v^{2}}{g} , H := \frac{2gh}{v^{2}} .

(a) Begründen Sie, daß es für gegebene Werte A, H > 0 zumindest einen Winkel α ∈ [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}] gibt, für den die Wurfweite maximal wird. (Hinweis: Die Beantwortung erfordert lediglich Grundeigenschaften stetiger Funktionen und keine Differentialrechnung.)

(b) Sei −\frac{π}{2} < α < \frac{π}{2} und β = cos(2α). Zeigen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme, daß dann gilt:

\frac{1}{A}L′(α) = β + \begin{matrix}√ & \overline{1 − β} \\ √ & \overline{2H + (1 − β)} \end{matrix}(β − H).

(c) Zeigen Sie: L′(α) = 0 ⇔ β = H/(2 + H).

(d) Zeigen Sie, daß die maximale Wurfweite A\sqrt{1 + H} ist.