Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 11/12 Dr. T. Timmermann

Übung zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: bis Donnerstag, 19.04.12 bis 12 Uhr, in den Briefkästen Blatt 2

Aufgabe 1. Sei f: [a, b] → ℝ integrierbar, wobei 0 < a < b. Ferner sei q_{n} := \sqrt[n]{\frac{b}{a}} für alle n ∈ ℕ. Zeigen Sie:

(a) ∫_{a}^{b} dx f(x) = lim_{n→∞} S_{n}(f), wobei S_{n}(f) := ∑_{k=0}^{n−1} f(aq_{n}^{k})aq_{n}^{k}(q_{n} − 1).

Sei nun f(x) = x^{c} für alle x ∈ [a, b], wobei c ∈ ℝ \ {−1}. Zeigen Sie:

(b) S_{n}(f) = \frac{q_{n} − 1}{q_{n}^{c+1} − 1} (b^{c+1} − a^{c+1}) für alle n = 1, 2, . . ..

(c) lim_{n→∞} S_{n}(f) = \frac{1}{c + 1}(b^{c+1} − a^{c+1}). (Hinweis: Was ist lim_{q→1} \frac{q − 1}{q^{c+1} − 1}?) Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass in der Situation von Aufgabe 1 (b), (c) im Fall c = −1 gilt:

(a) S_{n}(f) = n (e^{^{\frac{1}{n}} ln ^{\frac{b}{a}}} −1) für alle n = 1, 2, . . ..

(b) ∫_{a}^{b} \frac{dx}{x} = ln \frac{b}{a}. (Hinweis: Was ist lim_{t→0} \frac{e^{t ln \frac{b}{a}} − 1}{t}?). Aufgabe 3. Zeigen Sie mit partieller Integration:

(a) ∫_{0}^{b} dx x^{n} e^{x} = n!(−1)^{n+1} + ∑_{k=0}^{n}(−1)^{n−k} \frac{n!}{k!}b^{k} e^{b} für alle b > 0 und n ∈ ℕ.

(b) ∫_{1}^{e} dx ln^{n} x = n!(−1)^{n+1} + e ∑_{k=0}^{n}(−1)^{n−k} \frac{n!}{k!} für alle n ∈ ℕ. (Hinweis: Setzen Sie

u(x) = x.) Aufgabe 4. Zeigen Sie mit zweifacher partieller Integration:

(a) ∫ dx x^{2} sin x = −x^{2} cos x + 2x sin x + 2 cos x + C.

(b) ∫ dx sin(ln x) = \frac{1}{2}x(sin(ln x) − cos(ln x)) + C.

(Hinweis: Setzen Sie u(x) = x und achten Sie auf Vorzeichen.)