Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 11/12 Dr. T. Timmermann

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: bis Donnerstag, 26.04.12 bis 12 Uhr, in den Briefkästen Blatt 3

Aufgabe 1. (a) Bestimmen Sie A, B, C ∈ ℝ mit

\frac{1}{t^{2}(t^{2} − 1)} = \frac{A}{t − 1} + \frac{B}{t^{2}} + \frac{C}{t + 1} für alle t ∈ ℝ \ \{0, 1, −1\}.

(b) Berechnen Sie ∫ \frac{dx}{x − \sqrt{x}} mit Hilfe der Substitution t = \sqrt{x}.

Aufgabe 2. Zeigen Sie:

(a) ∫0^{\frac{π}{2}} dx\frac{sin x}{1 + cos x} = ln 2;

(b) ∫_{0}^{2} dx\frac{x}{\sqrt{1 + 4x}} = \frac{5}{6} (Substitution t = \sqrt{1 + 4x});

(c) ∫_{2}^{2\sqrt{3}} \frac{dx}{x^{2}\sqrt{4 + x^{2}}} = \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} − \frac{1}{\sqrt{3}}) (Substitution x = 2 tan z).

Aufgabe 3. Berechnen Sie mit Hilfe der Substitution t = tan \frac{x}{2} und gegebenenfalls Partialbruchzerlegung:

(a) ∫ \frac{dx}{1 + sin x},  (b) ∫ \frac{2π}{3} ; \frac{π}{2} \frac{dx}{1 + sin x − cos x}.

(Hinweis: Benutzen Sie Beispiele 29.12 und 29.13 der Vorlesung. Es sollte bei (a) −\frac{2}{1+tan \frac{x}{2}} + C und bei (b) ln \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} herauskommen, aber natürlich kommt es auf den Lösungsweg an.)

Aufgabe 4. Wir setzen

L(x) := ∫_{1}^{x} \frac{dt}{t} für x > 0.

Zeigen Sie ohne Benutzung der Eigenschaften des Logarithmus und nur unter Verwendung der obigen Integral-Darstellung folgende Eigenschaften:

(a) Die Funktion L: ]0, ∞[→ ℝ ist differenzierbar und L′(x) = 1/x für alle x ∈]0, ∞[.

(b) L wächst streng monoton und ist konkav.

(c) L(xy) = L(x)+L(y) für alle x, y > 0. (Hinweis: Zerlegung des Integrationsintervalls und Substitution.)

(d) L(e^{x}) = x für alle x ∈ ℝ.