Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 12 Dr. T. Timmermann

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: bis Donnerstag, 03.05.12 bis 12 Uhr, in den Briefkästen Blatt 4

Aufgabe 1. Untersuchen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale auf Konvergenz in Abhängigkeit von α ∈ ℝ:

(a) ∫_{1}^{∞} dx \frac{sin \frac{1}{x}}{x^{α}} , (b) ∫_{0}^{1} dx (ln (1 + x^{−3}))^{α} , (c) ∫_{1}^{∞} dx (ln (1 + x^{−3}))^{α} .

(Hinweis: Benutzen Sie die Gleichungen lim_{t→0} \frac{ln(1+t)}{t} = 1 und lim_{t→0} \frac{sin t}{t} = 1.)

Aufgabe 2. Sei a ∈ ℝ und f: [a, ∞) → ℝ positiv und monoton fallend sowie lim_{x→∞} f(x) = 0. Ferner sei g: ℝ → ℝ stetig und periodisch mit Periode p > 0, also g(x + p) = g(x) für alle x ∈ ℝ, und es gelte ∫_{a}^{a+p} dx g(x) = 0. Wir setzen

g_{+}(x) := max(g(x), 0), g_{−}(x) := max(−g(x), 0), a_{n}^{±} := ∫_{a+np}^{a+(n+1)p} dx f(x)g_{±}(x)

für alle n ∈ ℕ. Somit ist also g = g_{+} − g_{−}. Zeigen Sie:

(a) Es gilt a_{n}^{+} > a_{n+1}^{−} und a_{n}^{−} > a_{n+1}^{+} für alle n ∈ ℕ sowie lim_{n→∞} a_{n}^{±} = 0.

(b) Die Folge der Summen s_{N}^{+} := a_{N+1}^{+} + ∑_{n=0}^{N}(a_{n}^{+} − a_{n}^{−}) ist monoton fallend; die Folge der Summen s_{N}^{−} := −a_{N+1}^{−} + ∑_{n=0}^{N}(a_{n}^{+} − a_{n}^{−}) ist monoton wachsend.

(c) Die Reihe ∑_{n=0}^{∞}(a_{n}^{+} − a_{n}^{−}) konvergiert.

(d) Das uneigentliche Integral ∫_{a}^{∞} dx f(x)g(x) konvergiert.

Aufgabe 3. Untersuchen Sie folgende uneigentliche Integrale auf Konvergenz:

(a) ∫_{0}^{∞} dx cos(x^{α}) für α > 1, (b) ∫_{0}^{∞} dx x^{1/2} sin x^{2}, (c) ∫_{0}^{∞} \frac{dx}{\sqrt[3]{2x + x^{4}}} .

(Hinweis: Hilft bei (a) und (b) Aufgabe 2?)

Aufgabe 4. Die iterierten Logarithmen ln_{n} x sind definiert durch ln_{1} x = ln x und ln_{n+1} x = ln ln_{n} x für alle n ∈ ℕ und hinreichend große x ∈ ℝ. Zeigen Sie:

(a) Für alle n ∈ ℕ ist ln_{n} monoton wachsend mit lim_{x→∞} ln_{n} x = ∞, und für hinreichend große x ∈ ℝ gilt

\frac{d ln_{n+1}}{dx} (x) = \frac{1}{x · ln x · ln_{2} x · · · · · ln_{n} x}.

(b) Eine Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n} divergiert, falls es ein C > 0 gibt mit

a_{n} ≥ \frac{C}{x · ln x · ln_{2} x · · · · · ln_{n−1} x · ln_{n} x} für hinreichend große n.