Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 12 Dr. T. Timmermann

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: bis Donnerstag, 10.05.12 bis 12 Uhr, in den Briefkästen Blatt 5

Aufgabe 1. Die Beta-Funktion B(a, b) ist für alle Zahlen a, b > 0 definiert durch B(a, b) = ∫_{0}^{1} dx x^{a−1}(1 − x)^{b−1}. Zeigen Sie:

(a) Das obige Integral konvergiert auch im Fall 0 < a, b < 1.

(b) B(a, b) = \frac{b − 1}{a + b − 1}B(a, b − 1) im Fall b > 1.

(c) B(a, n) = \frac{1 · 2 · 3 ⋯ (n − 1)}{a(a + 1) ⋯ (a + n − 1)} im Fall b = n ∈ ℕ \ \{0\}.

(d) B(a, b) = ∫_{0}^{∞} dy \frac{y^{a−1}}{(1 + y)^{a+b}}. (Hinweis: Substituieren Sie x = \frac{y}{1+y}.)

Aufgabe 2. Zeigen Sie:

(a) B(a, a) = \frac{1}{2^{2a−1}} B (\frac{1}{2}, a) für a > 0 (Hinweis: Substitution x = \frac{1}{2}(1 − \sqrt{z})).

(b) ∫_{0}^{1} dx x^{p−1}(1 − x^{m})^{q−1} = \frac{1}{m}B (\frac{p}{m}, q) für alle p, q, m > 0.

Aufgabe 3. Beweisen Sie mit Hilfe der Formel ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} und einer Potenzreihen-

Entwicklung des Integranden die Gleichung ∫_{0}^{1} dx \frac{ln(1 + x)}{x} = \frac{π^{2}}{12}.

(Hinweis: Die Potenzreihe des Integranden konvergiert nur auf [0, 1[. Betrachten Sie deswegen zunächst das Integral über ein Intervall [a, b] mit 0 < a < b < 1.)

Aufgabe 4. (a) Berechnen Sie für alle k, l ∈ ℕ

∫_{0}^{2π} dx cos(kx) cos(lx), ∫_{0}^{2π} dx sin(kx) sin(lx), ∫_{0}^{2π} dx sin(kx) cos(lx).

(Hinweis: Schreiben Sie die Integranden mit Hilfe von Additionstheoremen als Summe oder Differenz von Winkelfunktionen.)

(b) Seien a_{0}, a_{1}, a_{2}, … und b_{1}, b_{2}, … reelle Zahlen mit der Eigenschaft, dass die Folge der Funktionen F_{1}, F_{2}, …: ℝ → ℝ, gegeben durch

F_{n}(x) := \frac{a_{0}}{2} + ∑_{k=1}^{n} (a_{k} cos kx + b_{k} sin kx) ,

gleichmäßig gegen eine Funktion f: ℝ → ℝ konvergiert. Zeigen Sie:

a_{k} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} dx f(x) cos(kx)  und  b_{k} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} dx f(x) sin(kx).