Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 12 Dr. T. Timmermann

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: bis Donnerstag, 17.05.12 bis 12 Uhr, in den Briefkästen Blatt 6

Wir benutzen die in dem vorigen Blatt eingeführte Beta-Funktion B(a, b).

Aufgabe 1. Sei 0 < a < 1 und I(c, d) := ∫_{c}^{d} dx \frac{x^{a−1}}{1+x} für 0 ≤ c < d ≤ ∞.

(a) Berechnen Sie das Integral I(0, 1) durch Entwicklung des Integranden in eine Reihe. (Hinweis: Benutzen Sie die geometrische Reihe und beachten Sie, wo diese gleichmäßig konvergiert.)

(b) Berechnen Sie das Integral I(1, ∞). (Hinweis: Substituieren Sie x = z^{−1}.)

(c) Zeigen Sie, dass B(a, 1 − a) = \frac{1}{a} + ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} (\frac{1}{a+n} + \frac{1}{a−n}).

Aufgabe 2. Sei b > 0 und sei γ(a) für a > 0 definiert durch

γ(a) = \frac{Γ(a + b)}{Γ(b)}B(a, b).

Zeigen Sie, dass die so definierte Funktion γ die Voraussetzungen des Satzes von Bohr-Mollerup erfüllt, und schlussfolgere die Formel Γ(a)Γ(b) = Γ(a + b)B(a, b). (Hinweis: Benutzen Sie die Hölder-Ungleichung.)

Aufgabe 3. (a) Zeigen Sie durch Kombination von Aufgabe 2 von Blatt 5 und Aufgabe 2 von Blatt 6 sowie Satz 33.4 den Legendreschen Verdoppelungssatz

Γ(a)Γ (a + \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{π}}{2^{2a−1}} Γ(2a) für alle a ∈ ℝ_{+}.

(b) Sei 0 < a < 1. Schlussfolgern Sie aus der Gleichung ∫_{0}^{∞} dx \frac{x^{a−1}}{1+x} = π/ sin(πa), die wir voraussetzen, und Blatt 5, Aufgabe 1 den Eulerschen Ergänzungssatz

Γ(a)Γ(1 − a) = \frac{π}{sin aπ} .

Aufgabe 4. Zeigen Sie:

(a)  ∫_{0}^{1} dx \frac{x^{p−1}}{\sqrt{1 − x^{n}}} = \frac{\sqrt{π}Γ (\frac{p}{n})}{nΓ (\frac{p}{n} + \frac{1}{2})} für alle p, n ∈ ℕ,
(b)  ∫0^{\frac{π}{2}} dx (sin x)^{a−1}(cos x)^{b−1} = \frac{Γ(\frac{a}{2})Γ(\frac{b}{2})}{2Γ(\frac{a+b}{2})} für alle a, b > 0,
(c)  ∫0^{\frac{π}{2}} dx tan^{c} x = \frac{π}{2 cos \frac{cπ}{2}} für alle c ∈ (−1, 1).

(Hinweis: Entdecken Sie durch Substitution die versteckte Beta-Funktion und nutzen Sie alle bisherigen Ergebnisse.)