Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 12 Dr. T. Timmermann

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: bis Donnerstag, 24.05.12 bis 12 Uhr, in den Briefkästen Blatt 7

Aufgabe 1. Bestimmen Sie, welche der folgenden Abbildungen linear ist:

(a) F: C([0, 1]) → ℂ, f ↦ ∫_{0}^{1} dx f(x)x^{2}, wobei C([0, 1]) als Vektorraum bezüglich der punktweise definierten Skalarmultiplikation und Addition aufgefasst wird;

(b) G: ℝ^{2} → ℝ, (x, y) ↦ (x + y)^{2} − (x − y)^{2};

(c) H: ℝ^{2} → ℝ, (x, y) ↦ 2x + 3y − 1;

(d) K: ℝ^{2} → ℝ, (x, y) ↦ |x − y| + |x + y|.

Aufgabe 2. Prüfen Sie, ob es eine lineare Abbildung F : ℝ^{3} → ℝ^{4} gibt mit F (v_{i}) = w_{i} für i = 1, …, 4 und

(a) v_{1} = (0, 0, 1),  v_{2} = (2, 1, 1),  v_{3} = (0, 1, 1),  v_{4} = (2, 0, 1),
w_{1} = (1, 1, 1, 1), w_{2} = (1, 0, 1, 0), w_{3} = (0, 0, 0, 1), w_{4} = (2, 1, 2, 1),
(b) v_{i} wie in (a),
w_{1} = (1, 1, 1, 1), w_{2} = (1, 1, 1, 0), w_{3} = (0, 1, 1, 1), w_{4} = (2, 1, 1, 0).

Aufgabe 3. Bezeichne V_{n} den komplexen Vektorraum aller Polynome a_{n}X^{n}+a_{n−1}X^{n−1}+ ⋯+a_{1}X +a_{0} vom Grad kleiner gleich n und Koeffizienten a_{0}, …, a_{n} ∈ ℂ. Wir definieren Abbildungen D, T_{a}: V_{n} → V_{n} durch

D(P) := P′ = \frac{∂}{∂X} P  und  (T_{a}P)(x) := P (x + a) für ein festes a ∈ ℂ.

Bestimme für diese Abbildungen jeweils (a) den Kern, (b) das Bild, (c) die Darstellungsmatrix bezüglich der Basis X^{0}, …, X^{n}.

Aufgabe 4. Sei A = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 3 \end{matrix}) und definiere F, G, H: M(2, ℝ) → M(2, ℝ) durch

F (X) = AX, G(X) = XA, H(X) = AX − XA für alle X ∈ M(2, ℝ).

Bestimmen Sie für jede dieser Abbildungen die Darstellungsmatrix bezüglich der Basis

E_{1} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) ,  E_{2} = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) ,  E_{3} = (\begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) ,  E_{4} = (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

sowie die Dimension des Kerns.