Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 12 Dr. T. Timmermann

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: bis Freitag, 08.06.12 bis 12 Uhr, in den Briefkästen Blatt 8

Aufgabe 1. Sei ℍ := \{(\begin{matrix}a & −b̄ \\ b & ā \end{matrix}) ∈ M(2 × 2, ℂ) : a, b ∈ ℂ\} (die Quaternionen).

(a) Sei q = (\begin{matrix}a & −b̄ \\ b & ā \end{matrix}) ∈ ℍ und q̄ = (\begin{matrix}ā & b̄ \\ −b & a \end{matrix}). Berechnen Sie q · q̄ und q̄ · q.

(b) Zeigen Sie, dass ℍ^{×} := ℍ \ {0} bezüglich der Matrixmultiplikation ein Gruppe ist, also q · q′, q^{−1} ∈ ℍ^{×} für alle q, q′ ∈ ℍ^{×}.

(c) Ist die Gruppe ℍ^{×} kommutativ? Begründen Sie Ihre Antwort.

Aufgabe 2. Berechnen Sie das Inverse, falls es existiert, folgender Matrizen:

(a) A = (\begin{matrix}1 & 2 & 3/2 & 1 \\ 3 & 6 & 5 & 2 \\ 2 & 5 & 2 & −3 \\ 4 & 5 & 14 & 14 \end{matrix}) ,  (b) B = (\begin{matrix}1 & 0 & t \\ 0 & t & 1 \\ t & 1 & 0 \end{matrix}) mit t ∈ ℂ.

Aufgabe 3. (a) Bezeichne E_{n} die n × n-Einheitsmatrix und sei A ∈ M(n × n, ℂ) nilpotent in dem Sinn, dass A^{m} = 0 für ein m ∈ ℕ. Zeigen Sie, dass dann die Matrix E_{n} − A invertierbar ist. (Hinweis: Geometrische Reihe!)

(b) Sei a ∈ ℂ. Bestimmen Sie das Inverse der Matrix (\begin{matrix}1 & a & ⋯ & a^{n} \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & a \\ 0 & ⋯ & 0 & 1 \end{matrix} )

(der Eintrag an der Stelle (i, j) ist 0 im Fall i > j und a^{j−i} im Fall i ≤ j.)

Aufgabe 4. Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix der Abbildung F: ℂ^{3} → ℂ^{3}, x ↦ Ax, bezüglich der Basis B = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) in beiden Vektorräumen ℂ^{3}, wobei

A = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}) ,  b_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) ,  b_{2} = (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) ,  b_{3} = (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) .