Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 12 Dr. T. Timmermann

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: bis Donnerstag, 14.06.12 bis 12 Uhr, in den Briefkästen Blatt 9

Aufgabe 1. Bestimmen Sie für die Matrix A = (\begin{matrix}1 & 4 & 3 \\ 2 & 8 & 7 \end{matrix}) invertierbare Matrizen L, R

so, dass A = L (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) R^{−1}.

Aufgabe 2. Wir betrachten ℂ^{3} mit dem Standard-Skalarprodukt.

(a) Sei u = (x y z) ∈ ℂ^{3} und ∥u∥ = 1 sowie U = span(u). Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von P_{U}: ℂ^{3} → ℂ^{3} bezüglich der Standard-Basis von ℂ^{3}.

(b) Seien U_{1}, U_{2} ⊆ ℂ^{3} zwei Untervektorräume und U = U_{1} + U_{2}. Zeigen Sie, dass P_{U} = P_{U_{1}} + P_{U_{2}} (als lineare Abbildungen von ℂ^{3} nach ℂ^{3}) genau dann, wenn U_{1} ⊥ U_{2} (mit der Definition: U_{1} ⊥ U_{2} ⇔ für jeden Vektor u_{1} ∈ U_{1} gilt u_{1} ⊥ U_{2})

(c) Seien u_{1} = (1 0 0), u_{2} = (1 3 4) und U = span(u_{1}, u_{2}). Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von P_{U} bezüglich der Standard-Basis von ℂ^{3}.

Aufgabe 3. Wir betrachten C([−1, 1]) als unitären Vektorraum, wobei

⟨f, g⟩ := ∫_{−1}^{1} dx \overline{f(x)}g(x).

Die Legendre-Polynome sind gegeben durch

P_{n}(x) := \frac{1}{2^{n}n!}\sqrt{\frac{2n + 1}{2}} \frac{d^{n}}{dx^{n}} (x^{2} − 1)^{n} für alle n ∈ ℕ.

(a) Zeigen Sie, dass das Gram-Schmidt-Orthonormierungsverfahren für die Polynome 1, x, x^{2}, betrachtet als Elemente von C([−1, 1]), die Polynome P_{0}, P_{1}, P_{2} liefert.

(b) Sei U = span(1, x). Berechnen Sie P_{U}(x^{3}) sowie d(x^{3}, U).

Aufgabe 4. Wir betrachten C([−π, π]) als unitären Vektorraum, wobei

⟨f, g⟩ := \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} dx \overline{f(x)}g(x).

Seien f, e_{n} ∈ C([−π, π]) definiert durch

f(x) = x,  e_{n}(x) := e^{inx}  für alle n ∈ ℤ, x ∈ [−π, π].

(a) Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten f̂_{n} := ⟨e_{n}, f⟩ für alle n ∈ ℤ.

(b) Berechnen Sie ∥f∥^{2} und überprüfen Sie direkt, dass ∥f∥^{2} = ∑_{n∈ℤ} |f̂_{n}|^{2}.