Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 12 Dr. T. Timmermann

Übung zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: bis Donnerstag, 21.06.12 bis 12 Uhr, in den Briefkästen Blatt 10

Aufgabe 1. Zeigen Sie:

(a) Für alle n, m ∈ ℕ gilt det C(m, n) = 1, wobei

C(m, n) = (\begin{matrix}1 & \binom{m}{1} & \binom{m}{2} & ⋯ & \binom{m}{n} \\ 1 & \binom{m+1}{1} & \binom{m+1}{2} & ⋯ & \binom{m+1}{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 1 & \binom{m+n}{1} & \binom{m+n}{2} & ⋯ & \binom{m+n}{n} \end{matrix}) .

(Hinweis: Benutzen Sie Aufgabe 3(c) von Blatt 1 des letzten Semesters.)

(b) Für alle a, b ∈ ℂ und n ∈ ℕ gilt det A(n) = (a + (n − 1)b)(a − b)^{n−1}, wobei

A(n) = (\begin{matrix}a & b & ⋯ & b \\ b & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & b \\ b & ⋯ & b & a \end{matrix}) .

Aufgabe 2. (a) (Vandermonde-Determinante) Seien x_{1}, …, x_{n} ∈ ℂ und

B(n) = (\begin{matrix}1 & 1 & ⋯ & 1 \\ x_{1} & x_{2} & ⋯ & x_{n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ x_{1}^{n−1} & x_{2}^{n−1} & ⋯ & x_{n}^{n−1} \end{matrix}) .

Zeigen Sie per Induktion, dass det B(n) = ∏_{1≤i<j≤n}(x_{j} − x_{i}).

(b) Berechnen Sie die Determinante der Matrix (\begin{matrix}1 & 2 & 0 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \\ 3 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 5 & 1 & 1 \end{matrix}).

Aufgabe 3. Das Kreuzprodukt v×w zweier Vektoren v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) und w = (w_{1}, w_{2}, w_{3}) im ℝ^{3} ist der Vektor

v × w = (\begin{matrix}v_{2}w_{3} − v_{3}w_{2} \\ v_{3}w_{1} − v_{1}w_{3} \\ v_{1}w_{2} − v_{2}w_{1} \end{matrix}) .

Zeigen Sie, dass für alle u, v, w, x, y ∈ ℝ^{3} gilt:

(a) v × w ist orthogonal zu v und w.

(b) ∥v × w∥^{2} = ∥v∥^{2}∥w∥^{2} − ⟨v, w⟩^{2}.

(c) ∥v ×w∥ = ∥v∥∥w∥ sin α, wobei α den (kleineren) Winkel zwischen v und w bezeichne.

(d) Der Abstand zweier windschiefer Geraden u + ℝx und v + ℝy ist gegeben durch |⟨u − v, x × y⟩|/∥x × y∥.

Aufgabe 4. Seien a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ^{n+1} und sei A = (a_{1} ; ⋮ ; a_{n}) ∈ M(n × (n + 1), ℝ) die Matrix

mit den Zeilen a_{1}, …, a_{n}. Für k = 1, …, n + 1 sei A(k) ∈ M(n × n, ℝ) die Matrix, die man erhält, wenn man die k-te Spalte von A streicht, und b_{k} = (−1)^{k−1} det A(k). Zeigen Sie, dass für b = (b_{1}, … b_{n+1}) ∈ ℝ^{n+1} folgende Aussagen gelten:

(a) b = a_{1} × a_{2} im Fall n = 2;

(b) ⟨a_{k}, b⟩ = det (a_{k} ; a_{1} ; ⋮ ; a_{n}) für k = 1, …, n;

(c) b ist orthogonal zu a_{1}, …, a_{n}.