Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 12 Dr. T. Timmermann

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: bis Donnerstag, 28.06.12 bis 12 Uhr, in den Briefkästen Blatt 11

Aufgabe 1. Bestimmen Sie für die Matrix

A = (\begin{matrix}11 & −18 & 9 \\ 6 & −10 & 6 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

(a) das charakteristische Polynom, (b) die Eigenwerte, (c) die Eigenräume und (d) eine Matrix S so, dass S^{−1}AS eine Diagonalmatrix ist.

Aufgabe 2. Die Folge (a_{n})_{n} Fibonacci-Zahlen ist rekursiv definiert durch a_{0} = 0, a_{1} = 1

und a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} für alle n ≥ 0. Für jedes n ≥ 0 sei v^{(n+1)} = (\begin{matrix}a_{n+1} \\ a_{n} \end{matrix}). Bestimmen

Sie

(a) eine Matrix A, die v^{(n+1)} = Av^{(n)} = A^{n}v^{(1)} für alle n ≥ 0 erfüllt;

(b) die Eigenwerte und Eigenvektoren von A;

(c) Zahlen λ_{1}, λ_{2}, c_{1}, c_{2} ∈ ℂ so, dass a_{n} = c_{1}λ_{1}^{n} + c_{2}λ_{2}^{n} für alle n ∈ ℕ gilt;

(d) den Grenzwert lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}.

Aufgabe 3. Prüfen Sie, ob beziehungsweise für welche Parameter a, b, c ∈ ℂ, n ∈ ℕ folgende Matrizen A ∈ M(n, ℂ), B ∈ M(3, ℂ) diagonalisierbar sind:

A = (\begin{matrix}a & b & ⋯ & b \\ b & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & b \\ b & ⋯ & b & a \end{matrix}) ,  B = (\begin{matrix}1 & c & 0 \\ 0 & 2 − c & 1 + c \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}) .

Aufgabe 4. Wir betrachten ein Polynom p(X) = X^{n} + a_{n−1}X^{n−1} + ⋯ + a_{1}X^{1} + a_{0} mit komplexen Koeffizienten a_{n−1}, …, a_{0} und eine Matrix A ∈ M(n × n, ℂ). Sei p(A) := A^{n} + a_{n−1}A^{n−1} + ⋯ + a_{1}A + a_{0}E_{n}. Zeigen Sie:

(a) Ist λ ein Eigenwert von A, so ist p(λ) ein Eigenwert von p(A). (Hinweis: Benutzen Sie einen Eigenvektor zu λ.)

(b) Ist λ′ ein Eigenwert von p(A), so gibt es einen Eigenwert λ von A mit λ′ = p(λ). (Hinweis: Schreiben Sie p(X)−λ′ = (X−λ_{1}) ⋯ (X−λ_{n}) mit geeigneten λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ℂ).