Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 12 Dr. T. Timmermann

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: bis Donnerstag, 05.07.12 bis 12 Uhr, in den Briefkästen Blatt 12

Für jedes A ∈ M(n × n, ℂ) konvergieren die Potenzreihen

exp(A) := ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}A^{k}, cos(A) := ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{(2k)!} A^{2k}, sin(A) := ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{(2k + 1)!}A^{2k+1},

mit A^{0} := E_{n}. Ferner kann man zeigen, dass für jede Matrix A ∈ M(n × n, ℂ), für die alle Eigenwerte betragsmäßig echt kleiner als Eins sind, folgende Potenzreihe konvergiert:

ln(E_{n} + A) := ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k+1}}{k} A^{k}.

Aufgabe 1. Seien a, b ∈ ℝ und A = (\begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a \end{matrix}), B = (\begin{matrix}0 & b \\ b & 0 \end{matrix}), C = A + B.

(a) Berechnen Sie exp(C) und sin(C) mittels einer Diagonalisierung von C. (Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 3 von Blatt 11).

(b) Berechnen Sie exp(B), cos(B), sin(B). (Hinweis: cosh(x) = ∑_{n=0}^{∞} x^{2n}/(2n)! und sinh(x) = ∑_{n=0}^{∞} x^{2n+1}/(2n + 1)!)

(c) Überlegen Sie sich, dass A, B, C die bekannten Additionstheoreme

exp(C) = exp(A) exp(B) , sin(C) = sin(A) cos(B) + cos(A) sin(B)

erfüllen, und berechnen Sie exp(C), cos(C), sin(C) noch einmal mit den Ergebnissen aus (b) und diesen Gleichungen.

Bemerkung: Für allgemeine Matrizen A, B ∈ M(n × n, ℂ) sind exp(A + B) und exp(A) exp(B) verschieden! Zu begründen ist, weshalb in diesem speziellen Fall dennoch exp(C) = exp(A) exp(B) gilt.

Aufgabe 2. Sei A := (\begin{matrix}0 & \frac{2}{3} \\ −\frac{1}{3} & 1 \end{matrix}). Zeigen Sie, dass ln(E_{2} + A) = (\begin{matrix}ln \frac{16}{15} & ln \frac{4}{5} \\ ln \frac{25}{16} & ln \frac{25}{12} \end{matrix}).