Grundlagen der Mathematik, Teil II

Inhalt

VI Integralrechnung  1
28 Das Riemannsche Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
29 Riemannsche Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
30 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . 11
31 Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
32 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
33 Gleichmäßig konvergente Funktionsfolgen . . . . . . . . . . . . 24
34 Vertauschungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
35 Die Γ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
VII Lineare Abbildungen  37
36 Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
37 Bild und Kern einer linearen Abbildung . . . . . . . . . . . . . 39
38 Die darstellende Matrix einer linearen Abbildung . . . . . . . 42
39 Multiplikation von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
40 Zur Theorie linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . 50
41 Elementarmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
42 Kommutative Diagramme und Basiswechsel . . . . . . . . . . 57
43 Orthonormalsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
44 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
45 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
46 Laplacescher Entwicklungssatz und komplementäre Matrix . . 76
47 Eigenwerte, Eigenräume und charakteristisches Polynom … 82
48 Diagonalisierbarkeit bei Vielfachheit . . . . . . . . . . . . . . . 88
49 Trigonalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
50 Selbstadjungierte und unitäre Endomorphismen . . . . . . . . 98
51 Lineare beschränkte Operatoren auf Hilbert-Räumen . . . . . 105
VII Lineare Abbildungen

Literatur

[1] O. Forster, “Analysis 1,” Vieweg (2006).
[2] K. Königsberger, “Analysis 1,” Springer (2004).
[3] G. Fischer, “Lineare Algebra,” Vieweg (2005).
[4] O. Forster, “Analysis 2,” Vieweg (2005).
[5] K. Königsberger, “Analysis 2,” Springer (2004).

Preliminary version – 9. Oktober 2014

Teil VI

Integralrechnung

Es gibt verschiedene Integralbegriffe, die sich unterscheiden hinsichtlich der Klasse der integrierbaren Funktionen. Wir behandeln hier das Riemann-Integral.

28 Das Riemannsche Integral

Definition 28.1 Eine Funktion ϕ : [a, b] → ℂ heißt Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung a = x_{0} < x_{1} < ⋯ < x_{n} = b von [a, b] derart gibt, daß ϕ auf jedem offenen Teilintervall ]x_{k}, x_{k+1}[ konstant ist. Die Werte von ϕ an den Punkten x_{0}, …, x_{n} dürfen dabei beliebig (aber beschränkt) sein.

Die Menge aller Treppenfunktionen auf [a, b] werde mit T [a, b] bezeichnet.

Satz 28.2 T [a, b] ist ein (unendlich-dimensionaler) Vektorraum über ℂ.

Beweis. Zu zeigen ist:

i) Die Nullfunktion ϕ(x) = 0 liegt in T [a, b].

ii) Aus ϕ, ψ ∈ T [a, b] folgt ϕ + ψ ∈ T [a, b].

iii) Aus ϕ ∈ T [a, b] und λ ∈ ℂ folgt λϕ ∈ T [a, b].

i) und iii) sind klar. Zu ii) betrachte man die Unterteilung {x_{0}, …, x_{n}} zu ϕ und {x′_{0}, …, x′_{m}} zu ψ und bilde die Unterteilung {t_{0}, …, t_{k}} := {x_{0}, …, x_{n}} ∪ {x′_{0}, …, x′_{m}} mit k ≤ m + n − 1 und t_{j} < t_{j+1}. Dann sind ϕ, ψ und damit ϕ + ψ Treppenfunktionen bezüglich der gemeinsamen Unterteilung {t_{0}, …, t_{k}}. □

Definition 28.3 (Integral für Treppenfunktionen) Sei ϕ ∈ T [a, b] definiert bezüglich der Unterteilung a = x_{0} < x_{1} < ⋯ < x_{n} = b, und auf den Teilintervallen ]x_{k−1}, x_{k}[ habe ϕ den Wert c_{k}. Dann setzt man

∫_{a}^{b} dx ϕ(x) := ∑_{k=1}^{n} c_{k}(x_{k} − x_{k−1}) .

Für reellwertige positive Treppenfunktionen ist das Integral ∫_{a}^{b} dx ϕ(x) gleich

dem Inhalt der Fläche, die vom Graphen von ϕ und den Geraden x = a, x = b und y = 0 begrenzt wird. Streng genommen muß noch gezeigt werden, daß das so definierte Intgral unabhängig von der gewählen Unterteilung der Treppenfunktion ist. Das geschieht durch Zurückführen zweier Unterteilungen auf eine gemeinsame noch feinere Unterteilung und Berücksichtigung der Tatsache, daß die endlich vielen Randpunkte der Teilintervalle zum Integral nicht beitragen. (Für positive Funktionen haben die Kanten {x_{k}} × [0, ϕ(x_{k})] die Fläche 0, was sich dann auf allgemeine Funktionen überträgt.)

Für reellwertige Funktionen f, g : [a, b] → ℝ erklären wir f ≤ g ⇔ f(x) ≤ g(x) für alle x ∈ [a, b].

Satz 28.4 Für Treppenfunktionen ϕ, ψ ∈ T [a, b] und Zahlen α, β ∈ ℂ gilt:

i) ∫_{a}^{b} dx (αϕ + βψ)(x) = α ∫_{a}^{b} dx ϕ(x) + β ∫_{a}^{b} dx ψ(x) (Linearität)

ii) | ∫_{a}^{b} dx ϕ(x)| ≤ (b − a) · sup_{x∈[a,b]} |ϕ(x)| (Beschränktheit)

iii) Sind ϕ, ψ reellwertig mit ϕ ≤ ψ, so gilt

∫_{a}^{b} dx ϕ(x) ≤ ∫_{a}^{b} dx ψ(x) (Monotonie)

(Man sagt: Das Integral ist ein lineares, beschränktes und monotones Funktional auf T [a, b].)

Beweis. Nach Wahl gemeinsamer Unterteilungen sind das die üblichen Eigenschaften endlicher Summen. □

Definition 28.5 (Ober- und Unterintegral) Sei f : [a, b] → ℝ eine beschränkte reellwertige Funktion. Dann heißt

∫_{a}^{b}^{∗} dx f(x) := inf { ∫_{a}^{b} dx ψ(x) : ψ ∈ T [a, b] , ψ ≥ f}

das Oberintegral von f und

∫_{a}^{b}_{∗} dx f(x) := sup { ∫_{a}^{b} dx ϕ(x) : ϕ ∈ T [a, b] , ϕ ≤ f}

das Unterintegral von f. (Dabei sind die Treppenfunktionen ϕ ∈ T [a, b] reellwertig.)

Es gilt stets ∫_{a}^{b}^{∗} dx f(x) ≥ ∫_{a}^{b}_{∗} dx f(x) wegen der Monotonie des Integrals nach

Satz 28.4.iii).

Für reellwertige Treppenfunktionen ψ ∈ T [a, b] gilt ∫_{a}^{b}^{∗} dx ψ(x) = ∫_{a}^{b}_{∗} dx ψ(x),

denn die Treppenfunktion selbst realisiert das Infimum und Supremum.

Definition 28.6 Eine beschränkte reellwertige Funktion f : [a, b] → ℝ heißt Riemann-integrierbar, wenn ihre Ober- und Unterintegrale übereinstimmen; in diesem Fall setzt man

∫_{a}^{b} dx f(x) := ∫_{a}^{b}^{∗} dx f(x) = ∫_{a}^{b}_{∗} dx f(x) .

Eine beschränkte komplexwertige Funktion f : [a, b] → ℂ heißt Riemann-integrierbar, wenn Re f und Im f Riemann-integrierbar sind; in diesem Fall setzt man

∫_{a}^{b} dx f(x) := ∫_{a}^{b} dx (Re f)(x) + i ∫_{a}^{b} dx (Im f)(x) .

Damit ist jede Treppenfunktion auch Riemann-integrierbar, und ihr Riemann-Integral stimmt mit dem Integral nach Definition 28.3 überein. Im folgenden meinen wir mit ‘integrierbar’ stets ‘Riemann-integrierbar’. Der folgende Satz ist unser wichtigstes Werkzeug für das Riemann-Integral.

Satz 28.7 Eine Funktion f : [a, b] → ℝ ist genau dann integrierbar, wenn zu jedem ϵ > 0 reellwertige Treppenfunktionen ϕ, ψ ∈ T [a, b] existieren mit ϕ ≤ f ≤ ψ und

∫_{a}^{b} dx ψ(x) − ∫_{a}^{b} dx ϕ(x) ≤ ϵ .

Beweis. (⇒) Nach Definition von inf und sup gibt es eine Treppenfunktionen

ψ ≥ f mit ∫_{a}^{b} dx ψ(x) − ∫_{a}^{b}^{∗} dx f(x) ≤ \frac{ϵ}{2} und eine Treppenfunktion ϕ ≤ f mit

∫_{a}^{b}_{∗} dx f(x) − ∫_{a}^{b} ϕ(x) ≤ \frac{ϵ}{2}.

(⇐) Nach Definition ist ∫_{a}^{b}^{∗} dx f(x) − ∫_{a}^{b}_{∗} dx f(x) ≤ ϵ für jedes ϵ > 0, also

stimmen Ober- und Unterintegral überein. □

Satz 28.8 Jede stetige Funktion f : [a, b] → ℝ ist integierbar.

Beweis. Nach Satz 22.13 sind stetige Funktionen auf kompakten Intervallen auch gleichmäßig stetig. Also gibt es zu ϵ > 0 ein δ > 0 mit |f(x)−f(y)| < \frac{ϵ}{b−a} für alle x, y ∈ [a, b] mit |x−y| < δ. Wähle n ∈ ℕ mit \frac{b−a}{n} < δ und die Unterteilungsstellen x_{k} := a + k \frac{b−a}{n} mit 0 ≤ k ≤ n. Für 1 ≤ k ≤ n setze c_{k} := sup_{x∈[x_{k−1},x_{k}]} f(x) und c′_{k} := inf_{x∈[x_{k−1},x_{k}]} f(x). Konstruiere die Treppenfunktionen ϕ, ψ mit der Unterteilung {x_{0}, …, x_{n}} derart, daß ψ auf [x_{k−1}, x_{k}] den Wert c_{k} hat und ϕ auf [x_{k−1}, x_{k}] den Wert c′_{k}. Nach Konstruktion gilt ϕ ≤ f ≤ ψ.

Nach dem Extremwertsatz 22.9 wird das Supremum und Infimum angenommen, d.h. es gibt ξ_{k}, ξ′_{k} ∈ [x_{k−1}, x_{k}] mit c_{k} = f(ξ_{k}) und c′_{k} = f(ξ′_{k}). Wegen |ξ_{k} − ξ′_{k}| < δ ist |c_{k} − c′_{k}| < \frac{ϵ}{b−a} für alle k und deshalb ψ(x) − ϕ(x) < \frac{ϵ}{b−a} für alle x ∈ [a, b]. Dann gilt nach Satz 28.4

∫_{a}^{b} dx ψ(x) − ∫_{a}^{b} dx ϕ(x) = ∫_{a}^{b} dx (ψ − ϕ)(x) ≤ (b − a) sup_{x∈[a,b]} |ψ(x) − ϕ(x)| < ϵ .

Nach Satz 28.7 ist f integrierbar. □

Satz 28.9 Jede monotone beschränkte Funktion f : [a, b] → ℝ ist integrierbar.

Beweis. (für f monoton wachsend) Wir wählen eine äquidistante Unterteilung x_{k} = a + k \frac{b−a}{n} und die Treppenfunktionen

ϕ(x) := f(x_{k−1})  für x_{k−1} ≤ x < x_{k}
ψ(x) := f(x_{k})  für x_{k−1} ≤ x < x_{k}

und ϕ(b) = ψ(b) = f(b). Dann gilt ϕ ≤ f ≤ ψ und

∫_{a}^{b} dx ψ(x) − ∫_{a}^{b} dx ϕ(x) = ∑_{k=1}^{n}(f(x_{k}) − f(x_{k−1}))(x_{k} − x_{k−1})

= \frac{b − a}{n} ∑_{k=1}^{n}(f(x_{k}) − f(x_{k−1})) = \frac{b − a}{n}(f(b) − f(a)) .

Wähle n > \frac{1}{ϵ}(b − a)(f(b) − f(a)), dann ist f integrierbar nach Satz 28.7. □

Beispiel 28.10 Wir betrachten die monotone Funktion f : [0, b] → ℝ mit f(x) = x^{2}. Dann ist mit den Bezeichnungen im vorigen Beweis

∫_{0}^{b} dx ψ(x) = \frac{b}{n} ∑_{k=1}^{n} (\frac{kb}{n})^{2} = \frac{b^{3}}{n^{3}} ∑_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{b^{3}}{n^{3}} \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

= \frac{b^{3}}{3} (1 + \frac{1}{n})(1 + \frac{1}{2n}) ,

∫_{0}^{b} dx ϕ(x) = \frac{b}{n} ∑_{k=1}^{n} (\frac{(k − 1)b}{n})^{2} = \frac{b^{3}}{n^{3}} ∑_{k=0}^{n−1} k^{2} = \frac{b^{3}}{n^{3}} \frac{(n − 1)n(2n − 1)}{6}

= \frac{b^{3}}{3} (1 − \frac{1}{n})(1 − \frac{1}{2n}) .

Damit gilt

\frac{b^{3}}{3} (1 − \frac{1}{n})(1 − \frac{1}{2n}) ≤ ∫_{0}^{b} dx x^{2} ≤ \frac{b^{3}}{3} (1 + \frac{1}{n})(1 + \frac{1}{2n})

für alle n ∈ ℕ^{×}, also ∫_{0}^{b} dx x^{2} = \frac{b^{3}}{3} . ◁

Wir werden nun grundlegende Eigenschaften des Riemann-Integrals zeigen. Diese Beweise beruhen auf der Einschachtelung integrierbarer Funktionen durch Treppenfunktionen und sind leider etwas mühsam.

Satz 28.11 Seien f, g : [a, b] → ℂ integrierbare Funktionen und α, β ∈ ℂ. Dann ist auch die Funktion αf + βg integrierbar, und es gilt

∫_{a}^{b} dx (αf + βg)(x) = α ∫_{a}^{b} dx f(x) + β ∫_{a}^{b} dx g(x) .

Somit bildet die Menge der über [a, b] Riemann-integrierbaren Funktionen einen unendlich-dimensionalen Vektorraum.

Beweis. Es genügt, den Satz für reellwertige f, g und α, β ∈ ℝ zu beweisen. Der allgemeine Fall läßt sich dann mit Definition 28.6 darauf zurückführen. Wir betrachten zunächst α, β ∈ ℝ_{+}^{×}. Nach Voraussetzung gibt es zu ϵ > 0 Treppenfunktionen ϕ_{1}, ϕ_{2}, ψ_{1}, ψ_{2} mit ϕ_{1} ≤ f ≤ ψ_{1} und ϕ_{2} ≤ g ≤ ψ_{2} sowie

∫_{a}^{b} dx ψ_{1}(x) − ∫_{a}^{b} dx ϕ_{1}(x) ≤ \frac{ϵ}{2α} , ∫_{a}^{b} dx ψ_{2}(x) − ∫_{a}^{b} dx ϕ_{2}(x) ≤ \frac{ϵ}{2β} .

Dann ist αϕ_{1} + βϕ_{2} ≤ αf + βg ≤ αψ_{1} + βψ_{2}, und nach Satz 28.4 gilt

∫_{a}^{b} dx (αψ_{1} + βψ_{2})(x) − ∫_{a}^{b} dx (αϕ_{1} + βψ_{2})(x) ≤ ϵ .

Damit ist αf + βg integrierbar. Sowohl I_{1} = ∫_{a}^{b} dx (αf + βg)(x) als auch

I_{2} = α ∫_{a}^{b} dx f(x) + β ∫_{a}^{b} dx g(x) liegen zwischen ∫_{a}^{b} dx (αϕ_{1} + βϕ_{2})(x) und

∫_{a}^{b} dx (αψ_{1} + βψ_{2})(x), also gilt I_{1} = I_{2}.

Mit f ist auch −f integrierbar durch Wahl der Treppenfunktionen −ψ_{1} ≤ −f ≤ −ϕ_{1}, so daß die Aussage auch für α < 0 und/oder β < 0 gilt. □

Satz 28.12 Seien f, g : [a, b] → ℝ integrierbare Funktionen. Dann gilt:

i) Ist f ≤ g, so folgt ∫_{a}^{b} dx f(x) ≤ ∫_{a}^{b} dx g(x).

ii) Die Funktionen f_{+} := max(f, 0) und f_{−} := max(−f, 0) sowie |f| =

f_{+} + f_{−} sind integrierbar, und es gilt | ∫_{a}^{b} dx f(x)| ≤ ∫_{a}^{b} dx |f(x)|.

iii) Für jedes p ∈ [1, ∞[ ist die Funktion |f|^{p} integrierbar.

iv) Die Funktion fg ist integrierbar.

Beweis. i) Es ist g − f ≥ 0 eine integrierbare Funktion, deren (Unter)integral ≥

dem Integral der Treppenfunktion 0 ist. Also ist ∫_{a}^{b} dx (g − f)(x) ≥ 0.

ii) Aus ψ ≥ f ≥ ϕ folgt ψ_{+} ≥ f_{+} ≥ ϕ_{+} und ϕ_{−} ≥ f_{−} ≥ ψ_{−}. Dann gilt ψ − ϕ = (ψ_{+} − ψ_{−}) − (ϕ_{+} − ϕ_{−}) = ψ_{+} − ϕ_{+} + (ϕ_{−} − ψ_{−}) ≥ ψ_{+} − ϕ_{+}, also

∫_{a}^{b} dx (ψ_{+} − ϕ_{+})(x) ≤ ∫_{a}^{b} dx (ψ − ϕ)(x) ≤ ϵ. Damit ist f_{+} integrierbar, analog

auch f_{−} = (−f)_{+} und damit |f| = f_{+} + f_{−}. Wegen f ≤ |f| und −f ≤ |f| gelten ∫_{a}^{b} dx f(x) ≤ ∫_{a}^{b} dx |f(x)| und − ∫_{a}^{b} dx f(x) ≤ ∫_{a}^{b} dx |f(x)|, folglich

| ∫_{a}^{b} dx f(x)| ≤ ∫_{a}^{b} dx |f(x)|.

iii) Die Funktion f ist beschränkt, |f| ≤ M. Wegen der Linearität genügt es, 0 ≤ f ≤ 1 zu betrachten. Nach Voraussetzung gibt es Treppenfunktionen ϕ, ψ mit

0 ≤ ϕ ≤ f ≤ ψ ≤ 1 und ∫_{a}^{b} dx ψ(x)−∫_{a}^{b} dx ϕ(x) ≤ \frac{ϵ}{p}. Die Funktionen ϕ^{p} und ψ^{p}

sind wieder Treppenfunktionen mit ϕ^{p} ≤ |f|^{p} ≤ ψ^{p}. Nach dem Schrankensatz 24.5 für die Funktion h : ψ ↦ ψ^{p} mit 0 ≤ h′ ≤ p auf [0, 1] gilt \frac{ψ^{p}−ϕ^{p}}{ψ−ϕ} ≤ p und damit

∫_{a}^{b} dx (ψ^{p} − ϕ^{p})(x) ≤ p ∫_{a}^{b} dx (ψ − ϕ)(x) ≤ ϵ .

Damit ist |f|^{p} integrierbar.

iv) Verwende fg = \frac{1}{4}((f + g)^{2} − (f − g)^{2}). □

Insbesondere sind auch max(f, g) = \frac{1}{2}(f + g + |f − g|) und min(f, g) = \frac{1}{2}(f + g − |f − g|) integrierbar.

Satz 28.13 Sei a < b < c. Eine Funktion f : [a, c] → ℂ ist genau dann integrierbar, wenn f über [a, b] und über [b, c] integrierbar ist, und dann gilt

∫_{a}^{c} dx f(x) = ∫_{a}^{b} dx f(x) + ∫_{b}^{c} dx f(x).

Beweis. Folgt durch Unterteilung der approximierenden Treppenfunktionen in b. □

Man setzt ∫_{a}^{a} dx f(x) := 0 und ∫_{b}^{a} dx f(x) = − ∫_{a}^{b} dx f(x) für b ≥ a, falls f

über [a, b] integrierbar ist. Die Zusammensetzungsformel aus Satz 28.13 gilt dann für beliebige a, b, c, wenn f über [min(a, b, c), max(a, b, c)] integrierbar ist. Daraus erhalten wir im Beispiel 28.10

∫_{a}^{b} dx x^{2} = ∫_{a}^{0} dx x^{2} + ∫_{0}^{b} dx x^{2} = ∫_{0}^{b} dx x^{2} − ∫_{0}^{a} dx x^{2} = \frac{1}{3}(b^{3} − a^{3}) .

Satz 28.14 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Es sei f : [a, b] → ℝ eine stetige Funktion und g : [a, b] → ℝ eine integrierbare Funktion mit g ≥ 0.

Dann gibt es ein ξ ∈ [a, b] mit ∫_{a}^{b} dx (fg)(x) = f(ξ) ∫_{a}^{b} dx g(x). Für g = 1 gilt

speziell ∫_{a}^{b} dx f(x) = (b − a)f(ξ) für ein ξ ∈ [a, b].

Beweis. Setze M := sup_{x∈[a,b]} f(x) und m := inf_{x∈[a,b]} f(x), dann gilt mg ≤ fg ≤ Mg und folglich

m ∫_{a}^{b} dx g(x) ≤ ∫_{a}^{b} dx (fg)(x) ≤ M ∫_{a}^{b} dx g(x) .

Somit gibt es ein λ ∈ [m, M] mit ∫_{a}^{b} dx (fg)(x) = λ ∫_{a}^{b} dx g(x). Nach dem Ex-

tremwertsatz (Satz 22.9) nimmt die stetige Funktion f : [a, b] → ℝ ihr Supremum M und Infimum m an. Nach dem Zwischenwertsatz (Folgerung 20.8) gibt es dann ein ξ ∈ [a, b] mit f(ξ) = λ. □

Man nennt M(f) := \frac{1}{b − a} ∫_{a}^{b} dx f(x) den Mittelwert der stetigen Funktion

f : [a, b] → ℝ. Allgemeiner heißt M_{g}(f) := \frac{∫_{a}^{b} dx (fg)(x)}{∫_{a}^{b} dx g(x)} der bezüglich g ge-

wichtete Mittelwert von f.

29 Riemannsche Summen

Wir zeigen nun, daß eine approximierende Treppenfunktion weitgehend beliebig ist, solange die Unterteilung genügend fein wird.

Satz 29.1 (Riemannsche Summen) Sei f : [a, b] → ℝ eine integrierbare Funktion. Dann gibt es zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0, so daß für eine beliebige Unterteilung a = x_{0} < x_{1} ⋯ < x_{n} = b von [a, b] mit |x_{k+1} − x_{k}| < δ und beliebige Wahl von Stützstellen ξ_{k} ∈ [x_{k}, x_{k+1}] gilt

| ∫_{a}^{b} dx f(x) − ∑_{k=0}^{n−1} f(ξ_{k})(x_{k+1} − x_{k})| < ϵ .

Beweis. i) Sei zunächst f eine Treppenfunktion, die bezüglich einer Unterteilung a = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{m} = b definiert ist, und M := sup_{x∈[a,b]} |f(x)|. Sei a = x_{0} < x_{1} < ⋯ < x_{n} = b eine Unterteilung von [a, b] mit |x_{k+1} − x_{k}| < δ. Für beliebige Wahl von Stützstellen ξ_{k} ∈ [x_{k}, x_{k+1}] definieren wir eine Treppenfunktion Φ ∈ T [a, b] durch Φ(x) = f(ξ_{k}) für x_{k} < x ≤ x_{k+1} und Φ(a) = f(ξ_{0}). Dann gilt

∑_{k=0}^{n−1} f(ξ_{k})(x_{k+1} − x_{k}) = ∫_{a}^{b} dx Φ(x) und

| ∫_{a}^{b} dx f(x) − ∑_{k=0}^{n−1} f(ξ_{k})(x_{k+1} − x_{k})| ≤ ∫_{a}^{b} dx |f(x) − Φ(x)| .

Die Funktionen f und Φ stimmen auf jedem offenen Intervall ]x_{k}, x_{k+1}[ überein, für das [x_{k}, x_{k+1}] keinen Punkt t_{j} enthält. Damit ist f − Φ ≠ 0 höchstens auf 2m Teilintervallen. Deren Gesamtlänge ist < 2mδ. Wegen |f(x) − Φ(x)| ≤ 2M für alle x ∈ [a, b] folgt

∫_{a}^{b} dx |f(x) − Φ(x)| < 4Mmδ .

ii) Sei nun f wieder eine beliebige integrierbare Funktion. Wähle δ < \frac{ϵ}{8Mm}

für die beiden Treppenfunktion ϕ, ψ mit ϕ ≤ f ≤ ψ und ∫_{a}^{b} dx (ψ − ϕ)(x) < \frac{ϵ}{2}.

Dann ist auch

∑_{k=0}^{n−1} ϕ(ξ_{k})(x_{k+1} − x_{k}) ≤ ∑_{k=0}^{n−1} f(ξ_{k})(x_{k+1} − x_{k}) ≤ ∑_{k=0}^{n−1} ψ(ξ_{k})(x_{k+1} − x_{k})

d.h. nach i) gilt

∑_{k=0}^{n−1} f(ξ_{k})(x_{k+1} − x_{k}) ∈ ] − \frac{ϵ}{2} + ∫_{a}^{b} dx ϕ(x), \frac{ϵ}{2} + ∫_{a}^{b} dx ψ(x)[

Aus ∫_{a}^{b} dx ψ(x) ≤ \frac{ϵ}{2} + ∫_{a}^{b} dx f(x) und ∫_{a}^{b} dx ϕ(x) ≥ −\frac{ϵ}{2} + ∫_{a}^{b} dx f(x) folgt die

Behauptung. □

Ist f : [a, b] → ℝ integrierbar, so gilt folglich

∫_{a}^{b} dx f(x) = lim_{n→∞} ∑_{k=0}^{n−1} f(ξ_{k})(x_{k+1} − x_{k}) ,

falls {x_{k}} eine von n abhängige Unterteilung von [a, b] ist mit max(|x_{k+1}−x_{k}|) → 0 für n → ∞ und ξ_{k} ∈ [x_{k}, x_{k+1}].

Beispiel 29.2 ∫_{0}^{a} dx cos x = sin a .

Beweis. Wähle (n + 1) Stützstellen x_{k} = \frac{ka}{n}, 0 ≤ k ≤ n. Dann ist

∫_{0}^{a} dx cos x = lim_{n→∞} \frac{a}{n} ∑_{k=0}^{n−1} cos (\frac{ka}{n}) = lim_{n→∞} \frac{a}{2n} ∑_{k=0}^{n−1} (e^{\frac{ika}{n}} + e^{\frac{−ika}{n}} )

= lim_{n→∞} \frac{a}{2n}(\frac{1 − e^{ia}}{1 − e^{\frac{ia}{n}}} + \frac{1 − e^{−ia}}{1 − e^{− \frac{ia}{n}}} )

= lim_{n→∞} \frac{a}{2n}(e^{\frac{ia}{2} (1− \frac{1}{n})} \begin{matrix}sin & \frac{a}{2} \\ sin & \frac{a}{2n} \end{matrix} + e^{− \frac{ia}{2} (1− \frac{1}{n})} \begin{matrix}sin & \frac{a}{2} \\ sin & \frac{a}{2n} \end{matrix} )

= lim_{n→∞} \frac{a}{2n}(2 cos (\frac{a}{2} − \frac{a}{2n})\begin{matrix}sin & \frac{a}{2} \\ sin & \frac{a}{2n} \end{matrix} )

= lim_{n→∞} (\frac{2 cos \frac{a}{2} sin \frac{a}{2} cos \frac{a}{2n}}{\frac{sin \frac{a}{2n}}{\frac{a}{2n}}} + \frac{a}{2n} \frac{2 sin \frac{a}{2} sin \frac{a}{2} sin \frac{a}{2n}}{sin \frac{a}{2n}} )

= sin a

unter Verwendung von lim_{x→0} \frac{sin x}{x} = 1 und lim_{x→0} cos x = 1. □

Im Prinzip läßt sich auf ähnliche Weise die Berechnung des Riemann-Integrals auf die Berechnung von Reihen zurückführen. Tatsächlich sind Integrale über den später einzuführenden Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung meist einfacher zu berechnen als Reihen, und so können manche Reihen über den ‘Umweg’ der Integrale berechnet werden. Riemannsche Summen sind aber ein wichtiges Hilfmittel in Beweisen:

Satz 29.3 Für komplexwertige integrierbare Funktionen f : [a, b] → ℂ gilt

| ∫_{a}^{b} dx f(x)| ≤ ∫_{a}^{b} dx|f(x)| ≤ (b − a) sup_{x∈[a,b]} |f(x)|.

Beweis. Wir nehmen das Gegenteil an, | ∫_{a}^{b} dx f(x)| − ∫_{a}^{b} dx |f(x)| = ϵ > 0. Wir

wählen Riemannsche Summen für Re f, Im f und |f| mit

| ∫_{a}^{b} dx (Re f)(x) − ∑_{k=0}^{n−1}(Re f)(ξ_{k})(x_{k+1} − x_{k})| < \frac{ϵ}{4} ,

| ∫_{a}^{b} dx (Im f)(x) − ∑_{k=0}^{n−1}(Im f)(ξ_{k})(x_{k+1} − x_{k})| < \frac{ϵ}{4} ,

| ∫_{a}^{b} dx |f(x)| − ∑_{k=0}^{n−1} |f(ξ_{k})|(x_{k+1} − x_{k})| < \frac{ϵ}{4} .

Die ersten beiden Ungleichungen ergeben

| ∫_{a}^{b} dx f(x) − ∑_{k=0}^{n−1} f(ξ_{k})(x_{k+1} − x_{k})| < \frac{ϵ}{2} .

Daraus folgt nach Dreiecksungleichung

| ∫_{a}^{b} dx f(x)| = |( ∫_{a}^{b} dx f(x) − ∑_{k=0}^{n−1} f(ξ_{k})(x_{k+1} − x_{k})) + ∑_{k=0}^{n−1} f(ξ_{k})(x_{k+1} − x_{k})|

≤ \frac{ϵ}{2} + ∑_{k=0}^{n−1} |f(ξ_{k})|(x_{k+1} − x_{k}) < \frac{3ϵ}{4} + ∫_{a}^{b} dx |f(x)| ,

Widerspruch. Die Ungleichung ∫_{a}^{b} dx|f(x)| ≤ (b − a) sup_{x∈[a,b]} |f(x)| folgt aus

|f(x)| ≤ sup_{x∈[a,b]} |f(x)|. □

Für eine integrierbare Funktion f : [a, b] → ℂ und p ≥ 1 setzen wir

∥f∥_{p} := ( ∫_{a}^{b} dx |f(x)|^{p})^{\frac{1}{p}} .

An dieser Stelle wird ein Schwachpunkt der Menge der Riemann-integrierbaren Funktionen sichtbar. Entgegen der Erwartung ist f ↦ ∥f∥_{p} keine Norm! Zwar gelten Skalierung (N2) und Dreiecksungleichung (N3), aber aus ∥f∥_{p} = 0 folgt nicht f = 0. Sei z.B.

f(x) = \{ \begin{matrix}0 & für x ≠ \frac{a+b}{2} \\ 1 & für x = \frac{a+b}{2} \end{matrix} , ψ_{n}(x) = \{ \begin{matrix}0 & für |x − \frac{a+b}{2}| > \frac{1}{n+1} \\ 1 & für |x − \frac{a+b}{2}| ≤ \frac{1}{n+1} \end{matrix} .

Dann ist ψ_{n} Treppenfunktion mit 0 ≤ |f|^{p} ≤ ψ_{n}, und wegen ∫_{a}^{b} dx ψ(x) ≤ \frac{2}{n + 1}

ist f integrierbar mit ∫_{a}^{b} dx |f(x)|^{p} = 0, aber f ≠ 0. Dieser Schwachpunkt wird

später im Lebesgue-Integral behoben. Zumindest für stetige Funktionen tritt das Problem nicht auf: Sei |f(y)| = M > 0 für ein y ∈ [a, b], dann gibt es wegen der Stetigkeit von |f| ein ϵ > 0 mit |f(x)| ≥ \frac{M}{2} für alle x ∈ [a, b] mit |x − y| < ϵ. Dann ist

ϕ(x) = \{ \begin{matrix}\frac{M}{2} & für |x − y| < ϵ \\ 0 & für |x − y| ≥ ϵ \end{matrix}

Treppenfunktion mit ϕ ≤ |f|^{p} und ∫_{a}^{b} dx ϕ(x) ≥ \frac{M}{2} min(ϵ, b − a) > 0, also auch

∫_{a}^{b} dx |f(x)|^{p} > 0.

Satz 29.4 (Höldersche Ungleichung für Integrale) Es seien f, g : [a, b] → ℂ integrierbare Funktionen und p, q ≥ 1 mit \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. Dann gilt

| ∫_{a}^{b} dx (fg)(x)| ≤ ∥f∥_{p} ∥g∥_{q} .

Beweis. Nach Satz 28.12.iii) existieren ∥f∥_{p}, ∥g∥_{q}. Wir wählen eine äquidistante Unterteilung x_{k} = a+ \frac{k}{n}(b−a) und beliebige Stützstellen ξ_{k} ∈ [x_{k}, x_{k+1}]. Dann ist

nach Satz 25.7 (Höldersche Ungleichung für Summen) sowie (\frac{b−a}{n})^{\frac{1}{p}} (\frac{b−a}{n})^{\frac{1}{q}} = \frac{b−a}{n}

\frac{b − a}{n} ∑_{k=0}^{n−1} |f(ξ_{k})g(ξ_{k})| ≤ (\frac{b − a}{n} ∑_{k=0}^{n−1} |f(ξ_{k})|^{p})^{\frac{1}{p}} · (\frac{b − a}{n} ∑_{k=0}^{n−1} |g(ξ_{k})|^{q})^{\frac{1}{q}} .

Die drei Summen sind für n → ∞ Riemannsche Summen zu ∫_{a}^{b} dx |(fg)(x)|,

∥f∥_{p} bzw. ∥g∥_{q}. □

Satz 29.5 (Minkowskische Ungleichung für Integrale) Es seien f, g : [a, b] → ℂ integrierbare Funktionen und p ≥ 1. Dann gilt

∥f + g∥_{p} ≤ ∥f∥_{p} + ∥g∥_{p} .

Beweis. Analog zu Satz 29.4 mit der Minkowskischen Ungleichung für Summen aus Satz 25.8. □

Folglich ist (C([a, b]), ∥ ∥_{p}) ein normierter Vektorraum, wobei C([a, b]) den Vektorraum der stetigen Funktionen über [a, b] bezeichnet. Insbesondere wird durch

⟨f, g⟩ = ∫_{a}^{b} dx \overline{f(x)} g(x) , f, g ∈ C([a, b])

ein Skalarprodukt auf C([a, b]) definiert. Es zeigt sich jedoch, daß (C([a, b]), ∥ ∥_{p}) nicht vollständig (d.h. kein Banach-Raum) ist. Auch dieser Schwachpunkt wird durch das Lebesgue-Integral repariert.

30 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Definition 30.1 Eine Funktion f : [a, b] → ℂ heißt Regelfunktion, wenn es zu jedem ϵ > 0 eine Treppenfunktion ϕ ∈ T [a, b] gibt mit |f(x) − ϕ(x)| ≤ ϵ für alle x ∈ [a, b].

Wegen Re ϕ−ϵ ≤ Re f ≤ Re ϕ+ϵ sowie ∫_{a}^{b} dx (Re ϕ+ϵ)(x)−∫_{a}^{b} dx (Re ϕ−ϵ)(x) =

2ϵ(b−a) und analog für die Imaginärteile ist jede Regelfunktion integrierbar. Die Konstruktionen in den Beweisen zu Satz 28.8 und Satz 28.9 zeigen, daß jede stetige Funktion und jede monotone Funktion eine Regelfunktion ist.

Satz 30.2 Es sei f : [a, b] → ℂ eine Regelfunktion. Dann existieren in jedem Punkt x_{0} ∈ [a, b[ die rechtsseitigen Grenzwerte lim_{x↘x_{0}} f(x), und in jedem Punkt x_{0} ∈ ]a, b] existieren die linksseitigen Grenzwerte lim_{x↗x_{0}} f(x).

Beweis. (für rechtsseitige Grenzwerte) Sei ϕ die Treppenfunktion mit |f(x) − ϕ(x)| ≤ \frac{ϵ}{2} für alle x ∈ [a, b] und ]x_{0}, β[ das Intervall, auf dem ϕ konstant ist. Dann gilt für alle x, x′ ∈ ]x_{0}, β[ die Abschätzung |f(x) − f(x′)| ≤ |f(x) − ϕ(x)| + |ϕ(x′) − f(x′)| ≤ ϵ. Nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium existiert der Limes lim_{x↘x_{0}} f(x). □

Wir betrachten nun die Abhängigkeit des Integrals von einer der Integrationsgrenzen als neue Funktion, die man auch unbestimmtes Integral nennt.

Satz 30.3 Sei f : I → ℂ eine Regelfunktion und a ∈ I. Für x ∈ I werde durch

F (x) := ∫_{a}^{x} dt f(t) eine Funktion F : I → ℂ definiert. Dann gilt: Die Funktion

F : I → ℂ ist stetig und in jedem Punkt x_{0} ∈ I sowohl linksseitig als auch rechtsseitig differenzierbar mit

lim_{h↘0} \frac{1}{h}(F (x_{0}+h)−F (x_{0})) = lim_{x↘x_{0}} f(x) ,  lim_{h↗0} \frac{1}{h}(F (x_{0}+h)−F (x_{0})) = lim_{x↗x_{0}} f(x) .

Insbesondere ist F differenzierbar in jedem Punkt x ∈ I, in dem f stetig ist, mit F′(x) = f(x).

Beweis. Wegen |F (x_{1}) − F (x_{2})| ≤ |x_{1} − x_{2}| sup_{x∈[x_{1},x_{2}]} |f(x)| ist F auf jedem abgeschlossenen Intervall Lipschitz-stetig und damit stetig.

Sei A := lim_{x↘x_{0}} f(x). Zu ϵ > 0 wähle δ > 0, so daß |f(x) − A| < ϵ für alle x ∈ ]x_{0}, x_{0} + δ[. Dann gilt für einen solchen Punkt x

|\frac{F (x) − F (x_{0})}{x − x_{0}} − A| = |\frac{1}{x−x_{0}} ∫_{x_{0}}^{x} dx (f(x) − A)| ≤ \frac{1}{x−x_{0}} ∫_{x_{0}}^{x} dx |f(x) − A| ≤ ϵ .

Damit existiert der rechtsseitige Grenzwert lim_{x↘x_{0}} \frac{F (x)−F (x_{0})}{x−x_{0}} und ist gleich A. Analog für den linksseitigen Grenzwert. □

Definition 30.4 Eine stetige Funktion F : I → ℂ, für die eine Regelfunktion f : I → ℂ existiert mit

lim_{h↘0} \frac{1}{h}(F (x_{0}+h)−F (x_{0})) = lim_{x↘x_{0}} f(x) ,  lim_{h↗0} \frac{1}{h}(F (x_{0}+h)−F (x_{0})) = lim_{x↗x_{0}} f(x) ,

heißt Stammfunktion zu f.

Die Menge aller Stammfunktionen zu einer Regelfunktion f : I → ℂ heißt das

unbestimmte Integral zu f, geschrieben ∫ dx f(x).

Nicht jede differenzierbare Funktion ist eine Stammfunktion. Es läßt sich zeigen (Königsberger, Analysis I), daß Funktionen, die mit Ausnahme abzählbar vieler Punkte stetig differenzierbar sind, Stammfunktion sind.

Satz 30.5 Es sei F : I → ℂ Stammfunktion zu einer Regelfunktion f : I → ℂ. Eine weitere Funktion G : I → ℝ ist genau dann Stammfunktion zu f, wenn F − G konstant ist.

Beweis. (⇒) Nach dem Identitätssatz 24.6 für stetige und differenzierbare Funktionen ist F − G konstant in jedem offenen Intervall, in dem f stetig ist. Wegen der Stetigkeit von F, G ist F − G dann auf ganz I konstant.

(⇐) ist klar. □

Satz 30.6 (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) Es sei G : I → ℂ eine beliebige Stammfunktion zu einer Regelfunktion f : I → ℂ. Dann gilt für beliebige a, b ∈ I

∫_{a}^{b} dx f(x) = G(b) − G(a) .

Beweis. Das ist klar für die Stammfunktion F (x) = ∫_{a}^{x} dx f(x). Für jede weitere

Stammfunktion G gilt G(x) = F (x) + c für ein c ∈ ℂ, und in der Differenz G(b) − G(a) = F (b) − F (a) hebt sich die Konstante weg. □

Jede Ableitungsformel der Differentialrechnung liefert damit ein unbestimmtes Integral. Die Grundintegrale sind

∫ dx x^{s} = \frac{x^{s+1}}{s + 1} + c ,  x ∈ ℝ für s ∈ ℕ , x ∈ ℝ^{×} für s ∈ ℤ , s ≤ −2 , x ∈ ℝ_{+}^{×} für s ∈ ℂ \ \{−1\}

∫ dx \frac{1}{x} = ln |x| + c ,  x ≠ 0
∫ dx e^{ax} = \frac{1}{a}e^{ax} + c ,  a ∈ ℂ
∫ dx sin x = − cos x + c ,
∫ dx cos x = sin x + c ,
∫ dx \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} = arcsin x + c ,  |x| < 1
∫ dx \frac{1}{1 + x^{2}} = arctan x + c ,
∫ dx \frac{1}{cos^{2} x} = tan x + c ,  x ∉ \frac{π}{2} + πℤ
∫ dx \frac{1}{sin^{2} x} = − cot x + c ,  x ∉ πℤ

Über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung liefern diese unbestimmten Integrale ein Riemannsches Integral, falls das Intervall [a, b] im Definitionsbereich der Stammfunktion liegt. So erhalten wir z.B.

∫_{a}^{b} dx x^{n} = \frac{b^{n+1} − a^{n+1}}{n + 1}  n ∈ ℕ ,
∫0^{\frac{π}{2}} dx cos x = sin(\frac{π}{2}) − sin(0) = 1 ,
∫_{0}^{a} dx e^{x} = e^{a} − 1 .

Ist F die Stammfunktion zu f, dann ist für das Riemannsche Integral die folgende Schreibweise üblich:

∫_{a}^{b} dx f(x) = F (x)|_{a}^{b} := F (b) − F (a) ,

also z.B. ∫_{0}^{1} dx \frac{1}{1 + x^{2}} = arctan x|_{0}^{1} = \frac{π}{4} .

31 Integrationsmethoden

31.1 Partielle Integration

Aus der Produktregel für das Differential gewinnt man die folgende Rechenregel:

Satz 31.1 (partielle Integration) Es seien u, v : I → ℂ Stammfunktionen zu Regelfunktionen f = v′ : I → ℂ und g = u′ : I → ℂ (die Ableitung ist im Sinne von Definition 30.4 zu verstehen). Dann ist auch uv eine Stammfunktion, und es gilt

∫ dx (uv′)(x) = (uv)(x) − ∫ dx (u′v)(x) ,
∫_{a}^{b} dx (uv′)(x) = uv|_{a}^{b} − ∫_{a}^{b} dx (u′v)(x) .

Beweis. Folgt (mit einseitigen Grenzwerten) aus der Rechnung zur Produktregel in Satz 23.6. □

Beispiel 31.2 Es gilt ∫ dx ln x = x ln x − x.

Dazu wähle u(x) = ln x und v(x) = x, so folgt mit v′(x) = 1:

∫ dx ln x · 1 = x ln x − ∫ dx x · \frac{1}{x} = x ln x − x  ◁

Beispiel 31.3 I_{n}(x) := ∫ dx sin^{n} x für n ∈ ℕ, n ≥ 2. Wir setzen u = sin^{n−1} x,

v = − cos x, dann folgt mit partieller Integration (die Konstante c ist weggelassen)

∫ dx sin^{n} x = − sin^{n−1} x cos x + ∫ dx ((n − 1) cos x sin^{n−2} x) cos x
= − sin^{n−1} x cos x + (n − 1) ∫ dx sin^{n−2} x(1 − sin^{2} x) .

Daraus ergibt sich die Rekursionsformel

I_{n}(x) = −\frac{1}{n} sin^{n−1} x cos x + \frac{n − 1}{n}I_{n−2} ,

aus der mit I_{0} = x und I_{1} = − cos x die unbestimmten Integrale berechnet werden können, z.B. ∫ dx sin^{2} x = \frac{1}{2}(x − sin x cos x). Interessant sind die Riemannschen Integrale (k ∈ ℕ^{×})

A_{2k} := ∫0^{\frac{π}{2}} dx sin^{2k} x = \frac{(2k − 1)(2k − 3) ⋯ 1}{2k(2k − 2) ⋯ 2} · \frac{π}{2} ,
A_{2k+1} := ∫0^{\frac{π}{2}} dx sin^{2k+1} x = \frac{2k(2k − 2) ⋯ 2}{(2k + 1)(2k − 1) ⋯ 3} .

Wegen 0 ≤ sin^{2k+2} x ≤ sin^{2k+1} x ≤ sin^{2k} x ≤ 1 für x ∈ [0, \frac{π}{2}] gilt 0 ≤ A_{2k+2} ≤ A_{2k+1} ≤ A_{2k} ≤ \frac{π}{2}. Andererseits ist lim_{k→∞} \frac{A_{2k+2}}{A_{2k}} = lim_{k→∞} \frac{2k+1}{2k+2} = 1, also auch lim_{k→∞} \frac{A_{2k+1}}{A_{2k}} = 1 und daraus

\frac{π}{2} = lim_{k→∞} \frac{(2k)^{2}(2k − 2)^{2} ⋯ 2^{2}}{(2k + 1)(2k − 1)(2k − 2 + 1)(2k − 2 − 1) ⋯ (2 + 1)(2 − 1)}

= lim_{k→∞} ∏_{n=1}^{k} \frac{4n^{2}}{4n^{2} − 1} = ∏_{n=1}^{∞} \frac{4n^{2}}{4n^{2} − 1} .

Diese Formel heißt Wallissches Produkt. ◁

Beispiel 31.4 ∫ dx arcsin x. Wir setzen u = arcsin x, v = x, dann folgt mit partieller Integration und \sqrt{1 − x^{2}}′ = −\frac{x}{\sqrt{1−x^{2}}}

∫ dx arcsin x = x arcsin x − ∫ dx \frac{x}{\sqrt{1 − x^{2}}} = x arcsin x + \sqrt{1 − x^{2}} .

Ähnlich zeigt man ∫ dx arctan x = x arctan x − \frac{1}{2} ln(1 + x^{2}). ◁

Beispiel 31.5 ∫ dx \sqrt{1 − x^{2}}. Wir setzen v = x, u = \sqrt{1 − x^{2}}, dann folgt

∫ dx \sqrt{1 − x^{2}} = x\sqrt{1 − x^{2}} − ∫ dx x · \frac{−x}{\sqrt{1 − x^{2}}} = x\sqrt{1 − x^{2}} − ∫ dx \frac{(1 − x^{2}) − 1}{\sqrt{1 − x^{2}}}
= x\sqrt{1 − x^{2}} − ∫ dx \sqrt{1 − x^{2}} + arcsin x

also ∫ dx \sqrt{1 − x^{2}} = \frac{1}{2}x\sqrt{1 − x^{2}} + \frac{1}{2} arcsin x. Der Graph (x, \sqrt{1 − x^{2}}) für x ∈ [0, 1] beschreibt einen Viertelkreisbogen mit Radius 1. Dementsprechend ist ∫_{0}^{1} dx \sqrt{1 − x^{2}} = (\frac{1}{2}x\sqrt{1 − x^{2}} + \frac{1}{2} arcsin x)|_{0}^{1} = \frac{π}{4} die Fläche der Viertelkreisscheibe, d.h. die Kreisscheibe vom Radius 1 hat die Fläche π. ◁

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Satz 31.6 (Trapezregel) Es sei f : I → ℝ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und a, b ∈ I. Dann ist

∫_{a}^{b} dx f(x) = \frac{b − a}{2}(f(b) + f(a)) − R ,
R = \frac{1}{2} ∫_{a}^{b} dx (x − a)(b − x)f′′(x) = \frac{(b − a)^{3}}{12} f′′(ξ) für ein ξ ∈ [a, b] .

Beweis. Setze g = \frac{1}{2}(x − a)(b − x) mit g′(x) = \frac{1}{2}(b + a − 2x) und g′′(x) = −1. Zweimalige partielle Integration liefert

R = ∫_{a}^{b}dx (gf′′)(x) = (gf′)(x)|_{a}^{b} − ∫_{a}^{b}dx (g′f′)(x)

= −(g′f)(x)|_{a}^{b} + ∫_{a}^{b}dx (g′′f)(x) = \frac{b − a}{2}(f(b) + f(a)) − ∫_{a}^{b} dx f(x) .

Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung ist

\frac{1}{2} ∫_{a}^{b} dx (x−a)(b−x)f′′(x) = \frac{1}{2}f′′(ξ) ∫_{a}^{b} dx (x − a)(b − x)

= \frac{1}{2}f′′(ξ)(\frac{x^{2}}{2} (a + b) − \frac{x^{3}}{3} − abx)|_{a}^{b} = \frac{(b − a)^{3}}{12} f′′(ξ) . □

Approximiert man eine viermal stetig differenzierbare Funktion f durch eine Parabel mit gleichen Funktionswerten in a, b, \frac{a+b}{2}, so entsteht die Keplersche Faßregel

∫_{a}^{b} dx f(x) = \frac{b − a}{6}(f(b) + f(a) + 4f(\frac{a+b}{2})) − R ,  R = \frac{(b − a)^{5}}{2880} f^{(4)}(ξ)

für ein ξ ∈ [a, b]. Sie liefert für Graphen kubischer Polynome eine exakte Formel (d.h. R = 0) zur Flächenberechnung.

Über die partielle Integration gewinnen wir eine Formel für das Restglied der Taylorschen Formel.

Satz 31.7 Es sei f : I → ℂ eine (n+1)-mal stetig differenzierbare Funktion und a ∈ I. Dann gilt für alle x ∈ I

f(x) = f(a) + \frac{f′(a)}{1!}(x−a) + \frac{f′′(a)}{2!}(x−a)^{2} + ⋯ + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^{n} + R_{n+1}(x) .
R_{n+1}(x) = \frac{1}{n!} ∫_{a}^{x} dt (x − t)^{n}f^{(n+1)}(t) .

Beweis. Durch Induktion nach n ∈ ℕ. Die Formel gilt für n = 0 auf Grund des Hauptsatzes des Differential- und Integralrechnung. Angenommen sie gilt bis einschließlich n − 1 ≥ 0, dann ergibt partielle Integration des Restgliedes

R_{n}(x) = \frac{1}{(n − 1)!} ∫_{a}^{x} dt (x − t)^{n−1}f^{(n)}(t) = −\frac{1}{n!} ∫_{a}^{x} dt (\frac{d}{dt}(x − t)^{n})f^{(n)}(t)

= −\frac{1}{n!}(x − t)^{n}f^{(n)}(t)|_{a}^{x} + \frac{1}{n!} ∫_{a}^{x} dt (x − t)^{n}f^{(n+1)}(t)

= \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x − a)^{n} + R_{n+1}(x) .  □

Die bisherige Form des Restgliedes ergibt sich nun aus dem Mittelwertsatz: Es gibt ein ξ ∈ ]a, x[ bzw. ξ ∈ ]x, a[ mit

R_{n+1}(x) = f^{n+1}(ξ)\frac{1}{n!} ∫_{a}^{x} dt (x − t)^{n} = f^{n+1}(ξ)\frac{(x − a)^{n+1}}{(n + 1)!} .

31.2 Substitutionsregel

Aus der Kettenregel für die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion gewinnen wir die sehr wichtige Substitutionsregel:

Satz 31.8 Es sei f : I → ℂ eine Regelfunktion, F : I → ℂ eine Stammfunktion zu f und t : [a, b] → I eine stetig differenzierbare und streng monotone Funktion. Dann ist F ∘ t : [a, b] → ℂ eine Stammfunktion zu (f ∘ t) · t′ : [a, b] → ℂ, und es gilt

∫_{a}^{b} dx f(t(x)) · t′(x) = ∫_{t(a)}^{t(b)} dt f(t) .

Beweis. Wir wiederholen den Beweis der Kettenregel in Satz 23.8 für rechtsseitige Grenzwerte und t streng monoton wachsend. Für x_{0} ∈ [a, b[ sei y_{0} := t(x_{0}) ∈ I

und A := lim_{y↘y_{0}} f(y). Setze ϕ(y) := \{ \begin{matrix}\frac{F (y)−F (y_{0})}{y−y_{0}} für & y > y_{0} \\ A für & y = y_{0} \end{matrix} Nach Vorausset-

zung gilt lim_{y↘y_{0}} ϕ(y) = ϕ(y_{0}) = A und F (y) − F (y_{0}) = (y − y_{0})ϕ(y) für alle y ∈ I mit y ≥ y_{0}. Dann erhalten wir

lim_{x↘x_{0}} \frac{F (t(x)) − F (t(x_{0}))}{x − x_{0}} = lim_{x↘x_{0}} \frac{ϕ(t(x)) · (t(x) − t(x_{0}))}{x − x_{0}}

= lim_{x↘x_{0}} ϕ(t(x)) · lim_{x↘x_{0}} \frac{t(x) − t(x_{0})}{x − x_{0}}

= ϕ(t(x_{0})) · t′(x_{0}) = A · t′(x_{0}) = lim_{x↘x_{0}} f(t(x)) · t′(x) .

Analog für linksseitige Grenzwerte und/oder t streng monoton fallend. Also ist (F ∘t)(x) Stammfunktion zu ((f ∘t)·t′)(x). Nach dem Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung gilt

∫_{a}^{b} dt f(t(x)) · t′(x) = (F ∘ t)(x)|_{a}^{b} = F (t(b)) − F (t(a)) = ∫_{t(a)}^{t(b)} dt f(t) . □

Beispiel 31.9 ∫_{a}^{b} dx f(αx + β) mit α ≠ 0. Setze t(x) = αx + β, t′(x) = α, dann ist

∫_{a}^{b} dx f(αx + β) = \frac{1}{α} ∫_{a}^{b} f(t(x)) · t′(x) = \frac{1}{α} ∫_{αa+β}^{αb+β} dt f(t) .  ◁

Beispiel 31.10 Oft gelingt es, Integrale in der Form ∫ dx \frac{t′(x)}{t(x)} zu identifizieren für eine stetig differenzierbare Funktion t : [a, b] → ℝ mit t(x) ≠ 0 für alle x ∈ [a, b]. Setzt man f(t) = \frac{1}{t}, so ist

∫_{a}^{b} dx \frac{t′(x)}{t(x)} = ∫_{a}^{b} dx f(t(x))t′(x) = ∫_{t(a)}^{t(b)} dt f(t) = ln |t||_{t(a)}^{t(b)} = ln |\frac{t(b)}{t(a)}| .

Z.B. erhalten wir für [a, b] ⊆ ] − \frac{π}{2}, \frac{π}{2}[

∫_{a}^{b} dx tan x = − ∫_{a}^{b} dx \frac{cos′(x)}{cos x} = − ln |\frac{cos b}{cos a}| .

Das entsprechende unbestimmte Integral ist ∫ dx tan x = − ln | cos x|+c. Analog

ist ∫ dx cot x = ln | sin x| + c. ◁

Beispiel 31.11 ∫_{a}^{b} dx \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} . Setze x = sinh t, also t(x) = arsinh x = ln(x + \sqrt{x^{2} + 1}). (Siehe den letzten Teil von 21.3.) Für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt

arsinh′(x) = \frac{1}{sinh′(t(x))} = \frac{1}{cosh t(x)} = \frac{1}{\sqrt{1 + sinh^{2} t(x)}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} .

Also ist f(t) = 1 und

∫_{a}^{b} dx \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} = ∫_{arsinh(a)}^{arsinh(b)} dt 1 = arsinh(b) − arsinh(a) = ln \frac{b + \sqrt{b^{2} + 1}}{a + \sqrt{a^{2} + 1}} .

Das entsprechende unbestimmte Integral ist ∫ dx \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} = arsinh x = ln(x +

\sqrt{1 + x^{2}}) + c. Analog zeigt man ∫ dx \frac{1}{\sqrt{x^{2} − 1}} = arcosh x = ln(x + \sqrt{x^{2} − 1}) + c für |x| ≥ 1. ◁

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Beispiel 31.12

∫_{a}^{b} dx \frac{1}{Ax^{2} + 2Bx + C} = \frac{1}{A} ∫_{a}^{b} dx \frac{1}{(x + \frac{B}{A})^{2} + \frac{CA−B^{2}}{A^{2}}}

wird je nach Vorzeichen von CA − B^{2} gelöst. Für CA − B^{2} = 0 substituieren wir t(x) = x + \frac{B}{A} mit t′(x) = 1, also

∫_{a}^{b} dx \frac{1}{Ax^{2} + 2Bx + C} = \frac{1}{A} ∫_{a}^{b} dx \frac{t′(x)}{(t(x))^{2}} = \frac{1}{A} ∫_{a+ \frac{B}{A}}^{b+ \frac{B}{A}} dt \frac{1}{t^{2}} = \frac{1}{A}( − \frac{1}{t}|_{a+ \frac{B}{A}}^{b+ \frac{B}{A}} )

= (\frac{1}{aA + B} − \frac{1}{bA + B} ) .

Für CA − B^{2} > 0 lautet die Substitution x + \frac{B}{A} = \frac{\sqrt{CA−B^{2}}}{A} tan t, also

\frac{dx}{dt} =: ẋ = \frac{\sqrt{CA − B^{2}}}{A} (1 + tan^{2} t) = \frac{A}{\sqrt{CA − B^{2}}} · ((x + \frac{B}{A} )^{2} + \frac{CA − B^{2}}{A^{2}} ) .

Für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt t′(x) = \frac{1}{ẋ(t(x))}, somit folgt für f(t(x)) = \frac{A}{\sqrt{CA−B^{2}}} :

∫_{a}^{b} dx \frac{1}{Ax^{2} + 2Bx + C} = \frac{1}{A} ∫_{a}^{b} dx \frac{f(t(x))}{ẋ(t(x))} = ∫_{t(a)}^{t(b)} dt \frac{1}{\sqrt{CA − B^{2}}}

= \frac{1}{\sqrt{CA − B^{2}}} ( arctan (\frac{Ab + B}{\sqrt{CA − B^{2}}} ) − arctan (\frac{Aa + B}{\sqrt{CA − B^{2}}} )) .

Der Fall CA − B^{2} < 0 wird über eine Partialbruchzerlegung gelöst und im Abschnitt 31.3 behandelt. ◁

31.3 Rationale Funktionen und Partialbruchzerlegung

Durch Partialbruchzerlegung (Satz 13.10) lassen sich rationale Funktionen darstellen als Summe von Polynomen und Funktionen der Form \frac{b}{(x−a)^{k}} mit a, b ∈ ℂ und k ∈ ℕ^{×}. Handelt es sich um eine reelle rationale Funktion, so treten die zueinander komplex-konjugierten Funktionen \frac{b}{(x−a)^{k}} und \frac{b̄}{(x−ā)^{k}} in der Summe gemeinsam auf. Für k ≥ 2 wird für reelle und komplexe Nullstellen gleichermaßen

∫ dx \frac{b}{(x − a)^{k}} = \frac{b}{(1 − k)(x − a)^{k−1}} + c erhalten. Für k = 1 und eine reelle Null-

stelle a ∈ ℝ hat man ∫ dx \frac{b}{(x − a)} = b ln |x − a| + c. Ist k = 1 und a ∉ ℝ,

so muß man, wenn man komplexe Logarithmen vermeiden möchte, die beiden komplex-konjugierten Funktionen wieder zusammenfassen zu

\frac{b}{(x − a)} + \frac{b̄}{(x − ā)} = \frac{2xRe(b) − 2Re(b̄a)}{(x − Re(a))^{2} + (Im(a))^{2}} =: \frac{Bx + C}{(x + p)^{2} + q^{2}} ,

19 mit B, C, p, q ∈ ℝ und q > 0. Man schreibt Bx + C = \frac{B}{2} (2x + 2p) + (C − Bp), so daß ein Term \frac{B}{2} \frac{f′(x)}{f(x)} mit f(x) = (x + p)^{2} + q^{2} entsteht, der die Stammfunktion \frac{B}{2} ln |f(x)| hat. Der verbleibende Teil wird nach Substitution t = \frac{x+p}{q} zum arctan aus Beispiel 31.12:

Preliminary version – 9. Oktober 2014

∫ dx \frac{Bx + C}{(x + p)^{2} + q^{2}} = \frac{B}{2} ln((x + p)^{2} + q^{2}) + \frac{C − Bp}{q} arctan \frac{x + p}{q} .

In vielen anderen Fällen gibt es Substitutionen t(x), die auf rationale Funktionen in t führen:

Beispiel 31.13 Es sei ∫ dx R(cos x, sin x) für eine rationale Funktion R von

sin x und cos x. Setzt man

t = tan \frac{x}{2} ⇒ cos x = \frac{1 − t^{2}}{1 + t^{2}} , sin x = \frac{2t}{1 + t^{2}} , t′(x) = \frac{1}{2}(1 + t^{2}) ,

so entsteht

∫_{a}^{b} dx R(cos x, sin x) = ∫\begin{matrix}tan & \frac{b}{2} \\ tan & \frac{a}{2} \end{matrix} dt R(\frac{1−t^{2}}{1+t^{2}} , \frac{2t}{1+t^{2}} )\frac{2}{1+t^{2}} .

Eine solche rationale Funktion kann dann mittels Partialbruchzerlegung integriert werden. ◁

Beispiel 31.14

∫0^{\frac{π}{2}} dx \frac{1}{2 + cos x} = ∫_{0}^{1} dt \frac{1}{2 + \frac{1−t^{2}}{1+t^{2}}} · \frac{2}{1 + t^{2}} = ∫_{0}^{1} dt \frac{2}{3 + t^{2}}

=^{t=\sqrt{3}u} \frac{2}{\sqrt{3}} ∫0^{\frac{1}{\sqrt{3}}} du \frac{1}{1 + u^{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} arctan \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{π}{3\sqrt{3}}  ◁

Beispiel 31.15 ∫ dx R(e^{px}) für p ∈ ℝ^{×} und eine rationale Funktion R. Die

Transformation t = e^{px} führt auf

∫_{a}^{b} dx R(e^{px}) = \frac{1}{p} ∫_{e^{pa}}^{e^{pb}} dt R(t)\frac{1}{t} .

Insbesondere lassen sich auf diese Weise rationale Funktionen von sinh x und cosh x integrieren. ◁

Beispiel 31.16 ∫ dx R(x, \sqrt[n]{px + q}) für n ∈ ℕ^{×} und p ∈ ℝ^{×}, q ∈ ℝ. Die Trans-

formation t = \sqrt[n]{px + q} führt auf eine rationale Funktion:

∫_{a}^{b} dx R(x, \sqrt[n]{px + q}) = \frac{n}{p} ∫ \begin{matrix}^{n} & \sqrt{pb+q} \\ ^{n} & \sqrt{pa+q} \end{matrix} dt R(\frac{t^{n}−q}{p}, t)t^{n−1} .  ◁

Beispiel 31.17 ∫ dx R(x, \sqrt{px^{2} + qx + r}) für p ∈ ℝ^{×} und q, r ∈ ℝ mit r ≠ \frac{q^{2}}{4p}.

Durch quadratische Ergänzung px^{2} + qx + r = p(x + \frac{q}{2p})^{2} + r − \frac{q^{2}}{4p} und linearer

Substitution t = \sqrt{|\frac{4p^{2}}{4pr−q^{2}} |}(x+ \frac{q}{2p})^{2} entsteht je nach Vorzeichen von p und 4pr−q^{2} eines der Integrale

∫ dt R′(t, \sqrt{t^{2} + 1}) , ∫ dt R′(t, \sqrt{t^{2} − 1}) , ∫ dt R′(t, \sqrt{1 − t^{2}}) ,

welches durch t = sinh y, t = cosh y bzw. t = sin y auf eine rationale Funktion von e^{y} (in den ersten beiden Fällen) bzw. (im dritten Fall) nach nochmaliger Substitution tan \frac{y}{2} = u auf eine rationale Funktion von u zurückgeführt wird. ◁

32 Uneigentliche Integrale

Wir haben bisher nur Funktionen über kompakten (beschränkt und abgeschlossen) Intervallen intgriert. Wünschenswert wäre aber auch die Integration über offene Intervalle sowie über unbeschränkte Intervalle. Solche “uneigentlichen Integrale” können über einen Grenzprozeß Riemannscher Integrale erhalten werden.

Definition 32.1 Eine Funktion f : [a, ∞[ → ℂ sei über jedes kompakte Intervall

[a, R] mit R > a integrierbar. Existiert der Limes lim_{R→∞} ∫_{a}^{R} dx f(x), dann heißt das

Integral ∫_{a}^{∞} dx f(x) konvergent, und man setzt ∫_{a}^{∞} dx f(x) := lim_{R→∞} ∫_{a}^{R} dx f(x).

Analog wird für f : ] − ∞, b] → ℂ im Fall der Konvergenz das Integral

∫_{−∞}^{b} dx f(x) definiert.

Beispiel 32.2 Das Integral ∫_{1}^{∞} dx \frac{1}{x^{s}} konvergiert für s > 1. Es gilt

∫_{1}^{R} dx \frac{1}{x^{s}} = \{ \begin{matrix}\frac{R^{1−s}−1}{1−s} für & s ≠ 1 \\ ln R für & s = 1 \end{matrix}

Der Grenzwert für R → ∞ existiert genau für s > 1, und es gilt ∫_{1}^{∞} dx \frac{1}{x^{s}} =

\frac{1}{s − 1} für alle s > 1. ◁

Definition 32.3 Es sei f : [a, b[ → ℂ eine Funktion, die über jedes Teilintervall [a, b − ϵ] mit 0 < ϵ < b − a integrierbar ist. Existiert der einseitige Grenz-

wert lim_{ϵ↘0} ∫_{a}^{b−ϵ} dx f(x), so heißt das Integral ∫_{a}^{b} dx f(x) konvergent, und man setzt

∫_{a}^{b} dx f(x) := lim_{ϵ↘0} ∫_{a}^{b−ϵ} dx f(x).

Analog wird für f : ]a, b] → ℂ im Fall der Konvergenz das Integral ∫_{a}^{b} dx f(x)

definiert.

Beispiel 32.4 ∫_{0}^{1} dx \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} . Die Funktion f(x) = \frac{1}{\sqrt{1−x^{2}}} ist auf [0, 1[ definiert,

und auf dem kompakten Teilintervall [0, 1 − ϵ] gilt

∫_{0}^{1−ϵ} dx \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} = arcsin x|_{0}^{1−ϵ} = arcsin(1 − ϵ) .

Der arcsin ist stetig auf [−1, 1], so daß gilt lim_{ϵ↘0} arcsin(1 − ϵ) = arcsin 1 = \frac{π}{2}

und damit ∫_{0}^{1} dx \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} = \frac{π}{2} . ◁

Beispiel 32.5 ∫_{0}^{b} dx ln x. Die Funktion f(x) = ln x ist auf ]0, b] definiert, und

auf dem kompakten Teilintervall [ϵ, b] gilt

∫_{ϵ}^{b} dx ln x = (x ln x − x)|_{ϵ}^{b} = b ln b − b − (ϵ ln ϵ − ϵ)

Damit existiert der Limes ϵ → 0, und es gilt ∫_{0}^{b} dx ln x = b ln b − b. ◁

Definition 32.6 Es sei f : ]a, b[ → ℂ eine Funktion mit −∞ ≤ a < b ≤ ∞, die über jedes kompakte Teilintervall [α, β] ⊆ ]a, b[ integrierbar ist, und c ∈ ]a, b[. Existieren die uneigentlichen Integrale

∫_{c}^{b} dx f(x) = lim_{β↗b} ∫_{c}^{β} dx f(x) und ∫_{a}^{c} dx f(x) = lim_{α↘a} ∫_{α}^{c} dx f(x) ,

so heißt das Integral ∫_{a}^{b} dx f(x) konvergent, und man setzt ∫_{a}^{b} dx f(x) :=

∫_{a}^{c} dx f(x)+∫_{c}^{b} dx f(x). (Die Definition ist unabhängig von der Wahl von c ∈ ]a, b[.)

Beispiel 32.7 ∫_{−∞}^{∞} dx \frac{1}{1 + x^{2}} . Zu betrachten sind die Integrale ∫_{0}^{R} dx \frac{1}{1 + x^{2}} =

arctan(R) und ∫_{−R′}^{0} dx \frac{1}{1 + x^{2}} = − arctan(−R′) = arctan R′. Der Grenzwert

lim_{R→∞} arctan(R) = \frac{π}{2} existiert, somit gilt ∫_{−∞}^{∞} dx \frac{1}{1 + x^{2}} = π.

Satz 32.8 (Majorantenkriterium) Es seien f : [a, b[ → ℂ und g : [a, b[ → ℝ

Regelfunktionen mit |f| ≤ g. Existiert das Integral ∫_{a}^{b} dx g(x), dann existiert

auch ∫_{a}^{b} dx f(x).

Beweis. Seien F, G die Stammfunktionen zu f, g für kompakte Teilintervalle in [a, b[, d.h.

∫_{a}^{u} dx f(x) = F (u) − F (a) ,  ∫_{a}^{u} dx g(x) = G(u) − G(a) ,  a < u < b .

Aus der Existenz von ∫_{a}^{b} dx g(x) folgt, daß es zu jedem ϵ > 0 ein β ∈ ]a, b[ gibt,

so daß für alle u, v ∈ ]β, b[ gilt |G(u) − G(v)| ≤ ϵ. Für diese u > v gilt dann

|F (u) − F (v)| = | ∫_{v}^{u}dx f(x)| ≤ ∫_{v}^{u}dx |f(x)| ≤ ∫_{v}^{u}dx g(x) = G(u) − G(v) ≤ ϵ .

(G ist monoton wachsend wegen g ≥ 0). Nach dem Cauchyschen Konvergenz-

kriterium existiert der Limes lim_{u↗b} F (u) und damit das Integral ∫_{a}^{b} dx f(x).

□

Beispiel 32.9 Das Integral ∫_{0}^{∞} dx \frac{sin x}{x} ist konvergent.

Beweis. Die Funktion f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{sin x}{x} für & x ≠ 0 \\ 1 für & x = 1 \end{matrix} ist stetig auf ℝ und damit

über jedes kompakte Teilinvervall von ℝ integrierbar. Damit ist nur die obere Integrationsgrenze kritisch, und es genügt, das Integral über [1, ∞[ zu betrachten. Partielle Integration liefert

∫_{1}^{R} dx \frac{sin x}{x} = −\frac{cos x}{x}|_{1}^{R} − ∫_{1}^{R} dx \frac{cos x}{x^{2}} = cos 1 − \frac{cos R}{R} − ∫_{1}^{R} dx \frac{cos x}{x^{2}} .

Es gilt |\frac{cos x}{x^{2}} | ≤ \frac{1}{x^{2}} für alle x ∈ [1, ∞[ und ∫_{1}^{R} dx\frac{1}{x^{2}} = 1 − \frac{1}{R}. Damit ist das

Integral ∫_{0}^{∞} dx \frac{sin x}{x} konvergent. Der Grenzwert kann später mit Fourier-Reihen

berechnet werden; es gilt ∫_{0}^{∞} dx \frac{sin x}{x} = \frac{π}{2} .

Das Integral ist aber nicht absolut konvergent. Zerlegung in Intervalle der Länge π ergibt

∫_{0}^{nπ} dx |\frac{sin x}{x}| = ∑_{k=1}^{n} ∫_{(k−1)π}^{kπ} dx |\frac{sin x}{x}|

≥ ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{kπ} ∫_{(k−1)π}^{kπ} dx | sin x| = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{kπ} ∫_{0}^{π} dx sin x = \frac{2}{π} ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} .

Die harmonischen Reihe divergiert, d.h. der Limes n → ∞ existiert nicht. ◁

Satz 32.10 (Integralvergleichskriterium für Reihen) Es sei f : [1, ∞[ → ℝ_{+} eine monoton fallende Funktion. Dann konvergiert die Folge der Differenzen

a_{n} := ∑_{k=1}^{n} f(k) − ∫_{1}^{n+1} dx f(x) ,

und für ihren Grenzwert gilt 0 ≤ lim_{n→∞} a_{n} ≤ f(1). Insbesondere konvergiert die

Reihe ∑_{k=1}^{∞} f(k) genau dann, wenn das Integral ∫_{1}^{∞} dx f(x) konvergiert, und in

diesem Fall gilt

0 ≤ ∑_{k=1}^{∞} f(k) − ∫_{1}^{∞} dx f(x) ≤ f(1) .

Beweis. Es gilt f(k) ≥ ∫_{k}^{k+1} dx f(x) ≥ f(k + 1), da f monoton fallend. Damit

wächst (a_{n})_{n≥1} monoton, andererseits gilt

a_{n} = ∑_{k=1}^{n} f(k)−∫_{1}^{n+1} dx f(x) ≤ ∑_{k=1}^{n} f(k)−∑_{k=1}^{n} f(k+1) = f(1)−f(n+1) ≤ f(1) .

Somit ist (a_{n})_{n≥1} konvergent mit Grenzwert zwischen 0 und f(1). □

Beispiel 32.11 Es existiert der Grenzwert γ := lim_{n→∞} ( ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k}−ln n) mit 0 ≤ γ ≤ 1. Zum Beweis verwende man den Satz 32.10 für f(x) = \frac{1}{x} und lim_{n→∞}(ln(n+ 1) − ln(n)) = 0. Der Grenzwert heißt Eulersche Konstante oder auch Euler-Mascheroni-Konstante. Mit Methoden analog zur Trapezregel kann man γ = 0.5772 … berechnen. ◁

33 Gleichmäßig konvergente Funktionsfolgen

Wenn die bisher vorgestellten Integrationsmethoden nicht zum Ziel führen, so kann man versuchen, die zu integrierende Funktion zu approximieren durch Funktionen, deren Integral bekannt ist. Das kann z.B. eine Taylorreihe sein. Es stellt sich dann die Frage, ob Approximation und Integral kommutieren. Die zentrale Aussage ist, daß Grenzwert und Integration für gleichmäßig konvergente Funktionsfolgen vertauschen. Punktweise Konvergenz genügt nicht. Wir formulieren gleichmäßge Konvergenz zunächst für allgemeine Definitionsbereiche D ⊆ X eines metrischen Raumes X.

Definition 33.1 Eine Folge (f_{n})_{n∈ℕ} von Funktionen f_{n} : D → ℂ heißt gleichmäßig konvergent gegen die Grenzfunktion f : D → ℂ, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ gibt, so daß |f_{n}(x) − f(x)| < ϵ für alle x ∈ D und alle n ≥ N.

Eine Reihe ∑_{k=0}^{∞} f_{k} von Funktionen f_{k} : D → ℂ heißt gleichmäßig konvergent auf D, wenn die Folge der Partialsummen F_{n} := ∑_{k=0}^{n} f_{k} gleichmäßig konvergiert.

Gleichmäßige Konvergenz kann mit dem Cauchy-Kriterium überprüft werden:

Satz 33.2 (Cauchy-Kriterium) Eine Folge (f_{n})_{n∈ℕ} von Funktionen f_{n} : D → ℂ ist genau dann gleichmäßig konvergent auf D, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ gibt, so daß |f_{n}(x) − f_{m}(x)| < ϵ für alle m, n ≥ N und alle x ∈ D.

Beweis. (⇒) durch Dreiecksungleichung für f_{n} − f_{m} = (f_{n} − f) + (f − f_{m}), wenn f die Grenzfunktion ist.

(⇐) Grenzfunktion f existiert punktweise nach Cauchy-Kriterium: Da ℂ vollständig ist, folgt aus |f_{n}(x) − f_{m}(x)| < ϵ, daß (f_{n}(x))_{n∈ℕ} einen Grenzwert in ℂ hat, den wir f(x) nennen. Für m → ∞ ergibt sich |f_{n}(x) − f(x)| ≤ ϵ für alle n ≥ N und alle x ∈ D. □

Entsprechend gilt für Reihen, daß ∑_{k=0}^{∞} f_{k} genau dann gleichmäßig konvergent

ist, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ gibt, so daß | ∑_{k=n}^{m} f_{k}(x)| ≤ ϵ für alle m, n ≥

N und alle x ∈ D. Insbesondere ist jede Potenzreihe gleichmäßig konvergent im Inneren ihres Konvergenzkreises.

Satz 33.3 Eine Folge (f_{n})_{n∈ℕ} stetiger Funktionen konvergiere gleichmäßig gegen die Grenzfunktion f : D → ℂ. Dann ist f stetig.

Beweis. Wir zeigen, daß f in jedem Punkt x̃ ∈ D stetig ist. Zu ϵ > 0 gibt es wegen der gleichmäßigen Konvergenz ein N ∈ ℕ, so daß |f_{n}(x)−f(x)| < \frac{ϵ}{3} für alle n ≥ N und alle x ∈ D. Da f_{n} in x̃ stetig ist, gibt es ein δ > 0 mit |f_{n}(x) − f_{n}(x̃)| < \frac{ϵ}{3} für alle x ∈ D mit |x − x̃| < δ. Dann folgt aus der Dreiecksungleichung

|f(x) − f(x̃)| ≤ |f(x) − f_{n}(x)| + |f_{n}(x) − f_{n}(x̃)| + |f_{n}(x̃) − f(x̃)| < ϵ

für alle x ∈ D mit |x − x̃| < δ. □

Satz 33.4 Es sei X ein metrischer Raum und

C_{b}(X) := {f : X → ℂ stetig , ∥f∥_{∞} := sup_{x∈X} |f(x)| < ∞}

der Vektorraum der stetigen und beschränkten komplexwertigen Funktionen auf X. Dann ist (C_{b}(X), ∥ ∥)_{∞} vollständig (d.h. Banach-Raum) bezüglich der Supremums-Norm ∥ ∥. Insbesondere ist (C(X), ∥ ∥) Banach-Raum, falls X kompakt ist.

Beweis. Nach Folgerung 18.15 aus dem letzten Semester ist (C_{b}(X), ∥ ∥)_{∞} ein normierter Vektorraum. Zu zeigen ist, daß jede Cauchy-Folge (f_{n})_{n∈ℕ} aus C_{b}(X) konvergent ist gegen eine Grenzfunktion aus C_{b}(X). Sei ∥f_{n} − f_{m}∥ < ϵ für alle m, n ≥ N. Dann ist |f_{n}(x)−f_{m}(x)| < ϵ für alle x ∈ X, d.h. (f_{n})_{n∈ℕ} ist gleichmäßig konvergent gegen eine Grenzfunktion f : X → ℂ nach Satz 33.2. Nach Satz 33.3 ist f stetig, wegen ∥f∥ ≤ ∥f − f_{n}∥ + ∥f_{n}∥ < ϵ + ∥f_{n}∥ ist f beschränkt. Ist X kompakt, so ist jede stetige Funktion beschränkt nach dem Extremwertsatz. □

Der Beweis von Satz 33.4 zeigt, daß wir den Bildraum durch einen beliebigen Banach-Raum ersetzen dürfen:

Satz 33.5 Es sei X ein metrischer Raum, (Y, ∥ ∥_{Y}) ein Banach-Raum und

C_{b}(X, Y) := {f : X → Y stetig , ∥f∥ := sup_{x∈X} ∥f(x)∥_{Y} < ∞}

der Vektorraum der stetigen und beschränkten Abbildungen von X nach Y. Dann ist (C_{b}(X, Y), ∥ ∥) vollständig (d.h. Banach-Raum) bezüglich der Supremums-Norm ∥ ∥. Insbesondere ist (C(X, Y), ∥ ∥) Banach-Raum, falls X kompakt ist.

Beweis. Die Vollständigkeit von Y garantiert die Rekonstruktion der Grenzfunktion f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x) ∈ Y in jedem Punkt x ∈ X. Ansonsten wie für Y = ℂ. □

Wir geben nun ein weiteres nützliches Kriterium für gleichmäßige Konvergenz von Funktionsreihen.

Satz 33.6 (Dirichlet-Kriterium) Es seien f_{n} : D → ℝ und a_{n} : D → ℂ Funktionen, für die gilt

i) Für jedes x ∈ D ist (f_{n}(x))_{n∈ℕ} monoton fallend.

ii) (f_{n})_{n∈ℕ} konvergiert gleichmäßig auf D gegen 0.

iii) Es gibt eine Schranke M ∈ ℝ_{+}, so daß | ∑_{k=0}^{n} a_{k}(x)| ≤ M für alle n ∈ ℕ und alle x ∈ D.

Dann konvergiert die Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n}f_{n} gleichmäßig auf D. Insbesondere ist unter

den Voraussetzungen i) und ii) die alternierende Reihe ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}f_{n} gleichmäßig

konvergent auf D.

Beweis. Man benutzt den Trick der Abelschen Summation. Mit A_{k} := ∑_{j=0}^{k} a_{k} gilt

∑_{k=0}^{n} a_{k}f_{k} = A_{0}f_{0} + (A_{1} − A_{0})f_{1} + ⋯ + (A_{n} − A_{n−1})f_{n}
= A_{0}(f_{0} − f_{1}) + A_{1}(f_{1} − f_{2}) + ⋯ + A_{n−1}(f_{n−1} − f_{n}) + A_{n}f_{n} .

Damit gilt

∑_{k=n+1}^{m} a_{k}f_{k} = ∑_{k=0}^{m} a_{k}f_{k} − ∑_{k=0}^{n} a_{k}f_{k} = ∑_{k=n}^{m−1} A_{k}(f_{k} − f_{k+1}) + A_{m}f_{m} − A_{n}f_{n} .

Die Voraussetzungen liefern |A_{k}(x)| ≤ M für alle x ∈ D und alle k ∈ ℕ, außerdem f_{k} − f_{k+1} ≥ 0 und f_{k} ≥ 0 auf D. Damit gilt

| ∑_{k=n+1}^{m}(a_{k}f_{k})(x)| ≤ M ∑_{k=n}^{m−1}(f_{k} − f_{k+1})(x) + Mf_{m}(x) + Mf_{n}(x) = 2Mf_{n}(x) .

Da (f_{n})_{n∈ℕ} gleichmäßig gegen 0 konvergiert, gibt es zu ϵ > 0 ein N ∈ ℕ, so daß 0 ≤ f_{m}(x) ≤ \frac{ϵ}{2M} für alle x ∈ D. Aus dem Cauchy-Kriterium folgt die Behauptung. □

Beispiel 33.7 Die Reihe ∑_{k=1}^{∞} \frac{e^{ikx}}{k} konvergiert gleichmäßig auf jedem Intervall

[δ, 2π − δ] mit 0 < δ < π.

Beweis. Setze a_{k} = e^{ikx}, f_{k} := \frac{1}{k}, dann ist das Dirichlet-Kriterium erfüllt wegen

| ∑_{k=1}^{n} e^{ikx}| = |\frac{1 − e^{inx}}{1 − e^{ix}} | ≤ |\frac{2}{e^{\frac{ix}{2}} − e^{− \frac{ix}{2}}} | = \frac{1}{sin \frac{x}{2}} ≤ \frac{1}{sin \frac{δ}{2}} .

Insbesondere sind ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin(kx)}{k} und ∑_{k=1}^{∞} \frac{cos(kx)}{k} gleichmäßig konvergent auf jedem

kompakten Teilinterall von ]0, 2π[. □

Für spätere Zwecke berechnen wir konkret:

Beispiel 33.8 Es gilt ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin(kx)}{k} = \frac{π − x}{2} für alle x ∈ [δ, 2π −δ] mit 0 < δ < π.

Beweis. Es gilt

∑_{k=1}^{n} e^{ikt} = e^{it} \frac{1 − e^{int}}{1 − e^{it}} = \frac{e^{i \frac{(2n+1)t}{2}} − e^{i \frac{t}{2}}}{2i sin \frac{t}{2}}

= (\frac{sin \frac{(2n+1)t}{2}}{2 sin \frac{t}{2}} − \frac{1}{2}) + i(\frac{1}{2} cot \frac{t}{2} − \frac{cos \frac{(2n+1)t}{2}}{2 sin \frac{t}{2}} ) ,

also ∑_{k=1}^{n} cos(kx) = \frac{sin \frac{(2n+1)t}{2}}{2 sin \frac{t}{2}} − \frac{1}{2} und ∑_{k=1}^{n} sin(kx) = \frac{cos \frac{t}{2} − cos \frac{(2n+1)t}{2}}{2 sin \frac{t}{2}} . Wegen

\frac{sin(kx)}{k} = ∫_{π}^{x} dt cos(kt) gilt für endliche Summen nach partieller Integration

∑_{k=1}^{n} \frac{sin(kx)}{k} = ∫_{π}^{x} dt ∑_{k=1}^{n} cos(kt) = ∫_{π}^{x} dt (\frac{sin \frac{(2n+1)t}{2}}{2 sin \frac{t}{2}} − \frac{1}{2})

= \frac{π − x}{2} − \frac{1}{2n+1} \begin{matrix}cos & \frac{(2n+1)t}{2} \\ sin & \frac{t}{2} \end{matrix} |_{π}^{x} + ∫_{π}^{x} dt \frac{cos \frac{(2n+1)t}{2}}{2n + 1} · \frac{(− cos \frac{t}{2})}{2 sin^{2} \frac{t}{2}} .

Punktweise für festes x ∈ ]0, 2π[ erhalten wir im Limes n → ∞ die behauptete Grenzfunktion. □

Für x = 0 und x = 2π ist offenbar ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin(kx)}{k} = 0. Somit gilt unter Beachtung

der Periodizität des Sinus

∑_{k=1}^{∞} \frac{sin(kx)}{k} = \{ \begin{matrix}0 für & x ∈ 2πℤ \\ \frac{(2n+1)π−x}{2} für & x ∈ ]2πn, 2π(n + 1)[ \end{matrix}

d.h. die Grenzfunktion ist nicht stetig.

34 Vertauschungssätze

Satz 34.1 Es sei (f_{n})_{n∈ℕ} eine Folge integrierbarer Funktionen f_{n} : [a, b] → ℂ, die gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion f : [a, b] → ℂ konvergiert. Dann ist auch f integrierbar, und es gilt

∫_{a}^{b} dx f(x) = lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} dx f_{n}(x) .

Beweis. Es genügt, reellwertige Funktionen zu betrachten. Nach Definition der gleichmäßigen Konvergenz gibt es zu ϵ > 0 ein N ∈ ℕ, so daß |f(x) − f_{n}(x)| < \frac{ϵ}{3(b−a)} für alle n ≥ N und alle x ∈ [a, b]. Aus der Integrierbarkeit von f_{n} folgt, daß

es Treppenfunktionen ϕ, ψ ∈ T [a, b] gibt mit ϕ ≤ f_{n} ≤ ψ und ∫_{a}^{b} dx (ψ −ϕ)(x) ≤

\frac{ϵ}{3}. Dann gilt auch ϕ − \frac{ϵ}{3(b−a)} ≤ f ≤ ψ + \frac{ϵ}{3(b−a)} sowie

∫_{a}^{b} dx (ψ+ \frac{ϵ}{3(b − a)})(x)−∫_{a}^{b} dx (ϕ− \frac{ϵ}{3(b − a)})(x) ≤ \frac{ϵ}{3} + \frac{2ϵ}{3(b − a)} ∫_{a}^{b} dx 1 = ϵ .

Somit ist f integrierbar. Damit gilt

| ∫_{a}^{b} dx f(x) − ∫_{a}^{b} dx f_{n}(x)| ≤ ∫_{a}^{b} dx |f(x) − f_{n}(x)| ≤ \frac{ϵ}{3} ,

d.h. Grenzwert und Integration vertauschen. □

Auf gleichmäßige Konvergenz der Funktionsfolge kann nicht verzichtet werden.

Beispiel 34.2 Für n ≥ 2 sei f_{n} : [0, 1] → ℝ definiert durch f_{n} := max(n − n^{2}|x− \frac{1}{n}|, 0). Die punktweise gebildete Grenzfunktion ist lim_{n→∞} f_{n}(x) = 0. Denn f(0) = 0 für alle n ≥ 2, und für jedes x_{0} ∈ [0, 1] gilt für N ≥ \frac{2}{x_{0}} mit N ∈ ℕ, daß f_{n}(x_{0}) = 0 für alle n ≥ N. Allerdings ist (f_{n})_{n≥2} nicht gleichmäßig konvergent gegen 0, da es für ϵ = 1 und für jedes N ≥ 2 ein x ∈ [0, 1] und ein n ≥ N gibt, z.B. x = \frac{1}{n}, mit |f_{n}(x) − 0| > 1. Für die Integrale haben wir

∫_{0}^{1} dx f_{n}(x) = ∫0^{\frac{1}{n}} dx (n + n^{2}(x − \frac{1}{n})) + ∫ \frac{2}{n} ; \frac{1}{n} dx (n − n^{2}(x − \frac{1}{n}))

= (n^{2} \frac{x^{2}}{2} )|0^{\frac{1}{n}} + (2nx − n^{2} \frac{x^{2}}{2} )|\frac{2}{n} ; \frac{1}{n} = 1 ,

aber für die Grenzfunktion ∫ dx 0 = 0. ◁

Entsprechend Satz 34.1 gilt:

Satz 34.3 Es sei ∑_{n=0}^{∞} f_{n} eine Reihe integrierbarer Funktionen f_{n} : [a, b] → ℂ, die gleichmäßig gegen f : [a, b] → ℂ konvergiert. Dann ist auch f integrierbar, und es gilt

∫_{a}^{b} dx ∑_{n=0}^{∞} f_{n}(x) = ∑_{n=0}^{∞} ∫_{a}^{b} dx f_{n}(x) .

Beweis. Man wende Satz 34.1 auf die Folge der Partialsummen F_{k} = ∑_{n=0}^{k} f_{n}, welche wieder integrierbare Funktionen sind, an. □

Beispiel 34.4 (Wahrscheinlichkeitsintegral) Die Funktion W (x) :=

∫_{0}^{x} dt e^{− \frac{t^{2}}{2}} heißt Gaußsches Wahrscheinlichkeitsintegral. Die Exponentialfunk-

tion ist gleichmäßig konvergent in jedem kompakten Intervall [0, x] ⊆ ℝ_{+}, so daß Integration und Summe vertauschen:

W (x) = ∫_{0}^{x} dt ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}t^{2k}}{2^{k}k!} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{2^{k}k!} ∫_{0}^{x} dt t^{2k} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}x^{2k+1}}{2^{k}(2k + 1)k!} .

◁

Beispiel 34.5 (Elliptisches Integral) Die Berechnung der Schwingungsdauer T des mathematischen Pendels als Lösung der Differentialgleichung f′′(x) +

ω^{2} sin(f(x)) = 0 führt auf das elliptische Integral \frac{T ω}{4} = ∫0^{\frac{π}{2}} dx\frac{1}{\sqrt{1 − k^{2} sin^{2} x}}

mit Anfangsauslenkung k = sin \frac{x_{0}}{2} . Unter Verwendung der Binomialreihen aus Beispiel 14.5 erhalten wir

∫0^{\frac{π}{2}} dx\frac{1}{\sqrt{1 − k^{2} sin^{2} x}} = ∫0^{\frac{π}{2}} dx ∑_{n=0}^{∞} \binom{−\frac{1}{2}}{n}(−k^{2} sin^{2} x)^{n} = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}\binom{−\frac{1}{2}}{n}k^{2n}A_{2n}

mit den Integralen A_{2n} = ∫0^{\frac{π}{2}} dx sin^{2n} x aus Beispiel 31.3. Damit gilt

\frac{T ω}{4} = ∫0^{\frac{π}{2}} dx\frac{1}{\sqrt{1 − k^{2} sin^{2} x}} = \frac{π}{2} (1 + ∑_{n=1}^{∞} (\frac{1 · 3 ⋯ (2n − 1)}{2 · 4 ⋯ (2n)})^{2}k^{2n}) .
◁

Wir nutzen nun den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, um eine zu Satz 23.12 ähnliche Aussage über die Differenzierbarkeit von Funktionsreihen zu erhalten:

Satz 34.6 Es seien f_{n} : I → ℂ mit I ⊆ ℝ stetig differenzierbare Funktionen, für die gilt:

i) Die Folge (f_{n})_{n∈ℕ} konvergiert punktweise auf I.

ii) Die Folge (f′_{n})_{n∈ℕ} konvergiert gleichmäßig auf I.

Dann ist die Grenzfunktion f = lim_{n→∞} f_{n} stetig differenzierbar, und es gilt

f′(x) = lim_{n→∞} f′_{n}(x).

Beweis. Die Grenzfunktion der Ableitungen f^{∗} := lim_{n→∞} f′_{n} ist nach Satz 33.3

stetig auf I. Für festes a ∈ I gilt f_{n}(x) = f_{n}(a) + ∫_{a}^{x} dt f′_{n}(t) für alle x ∈ I.

Nach Satz 34.1 wird im Limes n → ∞ daraus f(x) = f(a) + ∫_{a}^{x} dt f^{∗}(t). Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist f differenzierbar mit f′ = f^{∗}, also sogar stetig differenzierbar. □

Auf gleichmäßige Konvergenz der Folge der Ableitungen kann nicht verzichtet werden. Z.B. konvergiert die Folge der Funktionen f_{n} = \frac{1}{(n+1)} sin((n + 1)x) gleichmäßig gegen 0, aber die Folge der Ableitungen f′_{n} = cos((n + 1)x) hat überhaupt keine Grenzfunktion.

Beispiel 34.7 Wir berechnen erneut f(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{n} für |x| < 1. Inerhalb des

Konvergenzradius R = 1 konvergiert f absolut, insbesondere auch punktweise.

Die Reihe der Ableitungen ∑_{n=1}^{∞} x^{n−1} ist für |x| < 1 absolut, damit gleichmäßig,

konvergent gegen \frac{1}{1−x}. Nach Satz 34.6 gilt f′(x) = \frac{1}{1−x}, also f(x) = − ln |1−x|+c für ein c ∈ ℝ. Die Integrationskonstante ergibt sich für x = 0 zu c = 0, d.h. es

gilt ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{n} = − ln(1 − x) für alle x ∈ ] − 1, 1[. ◁

Satz 34.8 Für alle x ∈ [0, 2π] gilt ∑_{k=1}^{∞} \frac{cos(kx)}{k^{2}} = (\frac{π − x}{2})^{2} − \frac{π^{2}}{12}, insbesondere

ζ(2) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} = \frac{π^{2}}{6} .

Beweis. Die Reihe f(x) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{cos(kx)}{k^{2}} ist absolut konvergent auf ℝ, damit auch

gleichmäßig konvergent. Die Reihe der Ableitungen f′(x) = − ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin(kx)}{k} ist

nach Beispiel 33.8 gleichmäßig konvergent auf [δ, 2π − δ] gegen die Grenzfunktion \frac{x−π}{2}. Somit gilt für alle x ∈ ]0, 2π[ nach Satz 34.6 die Beziehung f(x) = \frac{(x−π)^{2}}{4} + c für ein c ∈ ℝ. Da f als gleichmäßig konvergente Reihe stetig ist, gilt diese Beziehung sogar für x ∈ [0, 2π]. Integration liefert

∫_{0}^{2π} dx f(x) = (\frac{(x − π)^{3}}{12} + cx)|_{0}^{2π} = \frac{π^{3}}{6} + 2πc .

Andererseits gilt nach Satz 34.1

∫_{0}^{2π} dx f(x) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} ∫_{0}^{2π} dx cos(kx) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{3}} sin(kx)|_{0}^{2π} = 0 .

Somit gilt c = −\frac{π^{2}}{12} . □

35 Die Γ-Funktion

Satz 35.1 Das uneigentliche Integral Γ(x) := ∫_{0}^{∞} dt t^{x−1} e^{−t} ist konvergent für

alle x ∈ ℝ_{+}^{×}. Es gilt i) Γ(x + 1) = xΓ(x) für alle x ∈ ℝ_{+}^{×}

ii) Γ(1) = 1 ⇒ Γ(n) = (n − 1)! für alle n ∈ ℕ^{×}

Beweis. Kritisch sind beide Integrationsgrenzen. Wegen lim_{t→∞} t^{x+1}e^{−t} = 0 gibt es für jedes x ∈ ℝ_{+}^{×} ein t_{0} ∈ ℝ_{+}^{×}, so daß t^{x−1}e^{−t} ≤ \frac{1}{t^{2}} für alle t ≥ t_{0}. Zerschneiden des Integrals bei t_{0} liefert für 0 < ϵ < t_{0}

0 ≤ ∫_{ϵ}^{t_{0}} dt t^{x−1} e^{−t} ≤ ∫_{ϵ}^{t_{0}} dt t^{x−1} = \frac{t_{0}^{x} − ϵ^{x}}{x} ≤ \frac{t_{0}^{x}}{x} ,

d.h. lim_{ϵ↘0} ∫_{ϵ}^{t_{0}} dt t^{x−1} e^{−t} existiert für alle x ∈ ℝ_{+}^{×}. Für t_{0} < R < ∞ gilt

0 ≤ ∫_{t_{0}}^{R} dt t^{x−1} e^{−t} ≤ ∫_{t_{0}}^{R} dt \frac{1}{t^{2}} = −\frac{1}{t}|_{t_{0}}^{R} ≤ \frac{1}{t_{0}} .

Somit ist Γ(x) konvergent.

i) partielle Integration liefert für x > 0

∫_{ϵ}^{R} dt t^{x} e^{−t} = −t^{x} e^{−t}|_{ϵ}^{R}+∫_{ϵ}^{R} dt \frac{d}{dt}(t^{x}) e^{−t} = −R^{x} e^{−R}+ϵ^{x} e^{−ϵ}+x ∫_{ϵ}^{R} dt t^{x−1} e^{−t} .

Die Behauptung folgt aus lim_{ϵ→0} ϵ^{x} = 0 für x > 0.

ii) Es gilt

Γ(1) = lim_{ϵ↘0} ∫_{ϵ}^{1} dt e^{−t} + lim_{R→∞} ∫_{1}^{R} dt e^{−t} = − lim_{ϵ↘0} e^{−t}|_{ϵ}^{1} − lim_{R→∞} e^{−t}|_{1}^{R} = lim_{ϵ↘0} e^{−ϵ} = 1 .

□

Die Funktion Γ : ℝ_{+} → ℝ interpoliert damit die Fakultät. Eine andere Interpolation wird wie folgt erhalten: Für x ∈ ℕ^{×} und beliebige n ∈ ℕ^{×} gilt

(x − 1)! = \frac{(x + n)!}{x(x + 1) ⋯ (x + n)} = \frac{n!n^{x}}{x(x + 1) ⋯ (x + n)} · (\frac{n + 1}{n} ⋯ \frac{n + x}{n}) .

Das bleibt auch im Limes n → ∞ richtig. Im Limes werden die Brüche \frac{n+p}{n} zu 1. Läßt man sie weg, dann kann man die so entstehende rechte Seite sogar für komplexe Zahlen x ∈ ℂ definieren (mit n^{x} = e^{x ln n}). Zweckmäßigerweise betrachtet man das Inverse:

G_{n}(z) := \frac{z(z + 1) ⋯ (z + n)}{n!n^{z}} .

32 Satz 35.2 Die Folge (G_{n})_{n≥1} konvergiert an jeder Stelle z ∈ ℂ. Ihre Grenzfunktion G : ℂ → ℂ mit G(z) := lim_{n→∞} G_{n}(z) ist stetig und hat Nullstellen genau in den Punkten 0, −1, −2, . . .. Es gilt

Preliminary version – 9. Oktober 2014

i) G(z + 1) = \frac{1}{z}G(z) für alle z ∈ ℂ^{×}
ii) G(1) = 1 ⇒ G(n) = \frac{1}{(n−1)!} für alle n ∈ ℕ^{×}

Beweis. Für z ∈ {0, −1, −2, … } konvergiert (G_{n}) gegen 0. Sei also z ∈ ℂ \ {0, −1, …, } fest. Wähle R, N ∈ ℕ mit N ≥ 2R > 2|z|. Dann ist G_{n}(z) ≠ 0 für

alle 2R ≤ n ≤ N, und es gilt G_{N}(z) = G_{2R−1}(z) · ∏_{n=2R}^{N} \frac{G_{n}(z)}{G_{n−1}(z)}. Die Quotienten

sind \frac{G_{n}(z)}{G_{n−1}(z)} = \frac{z + n}{n}·(\frac{n − 1}{n})^{z} = (1+\frac{z}{n})e^{z ln(1− \frac{1}{n})}. Nach Satz 21.2 gilt (1+\frac{z}{n}) =

e^{L( \frac{z}{n})} für |z| < n und damit

G_{N}(z) = G_{2R−1}(z) · exp ( ∑_{n=2R}^{N} ( ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k−1} \frac{z^{k}}{n^{k}k} − z ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{n^{k}k} )) .

Die Summanden mit k = 1 heben sich gegeneinander auf, und wir erhalten für n ≥ 2R > 2|z| die Abschätzung

| ∑_{k=2}^{∞}(−1)^{k−1} \frac{z^{k}}{n^{k}k} − z ∑_{k=2}^{∞} \frac{1}{n^{k}k} | ≤ ∑_{k=2}^{∞} \frac{R^{k}}{n^{k}} + R ∑_{k=2}^{∞} \frac{1}{n^{k}} ≤ (\frac{R^{2}}{n^{2}} + \frac{R}{n^{2}} ) ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{2^{k}} ≤ \frac{4R^{2}}{n^{2}} .

Somit ist die Reihe ∑_{n=2R}^{∞} ln \frac{G_{n}(z)}{G_{n−1}(z)} gleichmäßig konvergent auf K_{R}(0) = \{z ∈

ℂ : |z| < R}, so daß die Grenzfunktion lim_{N→∞} G_{N}(z) existiert und stetig in jedem Punkt z ∈ ℂ ist.

i) folgt aus G_{n}(z + 1) = \frac{z+n+1}{nz}G_{n}(z) und Grenzwertbildung.

ii) folgt aus G_{n}(1) = \frac{n+1}{n} und Grenzwertbildung. □

Man definiert die Gamma-Funktion Γ : ℂ \ {0, −1, −2, … } → ℂ als Γ(z) := \frac{1}{G(z)}. Nach Satz 35.2 ist Γ stetig und nullstellenfrei auf dem Definitionsbereich, es gilt Γ(z + 1) = zΓ(z) sowie Γ(n) = (n − 1)! für n ∈ ℕ^{×}. Zu zeigen ist allerdings, daß auf ℝ_{+}^{×} die Integraldefinition aus Satz 35.1 mit \frac{1}{G(z)} übereinstimmt. Dazu benötigt man:

Satz 35.3 (Bohr-Mollerup) Eine Funktion F : ℝ_{+} → ℝ_{+} stimmt mit der Einschänkung der Γ-Funktion auf ℝ_{+} überein, falls gilt

i) F (1) = 1
ii) F (x + 1) = xF (x)

iii) F (λx+(1−λ)y) ≤ (F (x))^{λ}(F (y))^{1−λ} für alle x, y ∈ ℝ_{+} und alle λ ∈ ]0, 1[.

Beweis. Wegen der Rekursionsformel ii) genügt der Beweis für 0 < x < 1. Nach iii) gilt für n ∈ ℕ^{×}

F (n + x) = F (x(n + 1) + (1 − x)n) ≤ (F (n + 1))^{x}(F (n))^{1−x}
= (n!)^{x}((n − 1)!)^{1−x} = n!n^{x−1} .

Andererseits ist

n! = F (n + 1) = F (x(n+x) + (1 − x)(n+x+1)) ≤ (F (n+x))^{x}(F (n+x+1))^{1−x}
= (n+x)^{1−x}F (n+x) ,

somit n!(n + x)^{x−1} ≤ F (x + n) ≤ n!x^{n−1}. Division durch x(x + 1) ⋯ (x + n) und Multiplikation mit (x + n) liefert

\frac{n!n^{x}}{x(x + 1) ⋯ (x + n)}(\frac{n + x}{n})^{x} ≤ \frac{F (n + x)}{x(x + 1) ⋯ (x + n − 1)}

≤ \frac{n!n^{x}}{x(x + 1) ⋯ (x + n)} \frac{n + x}{n} .

Für n → ∞ entsteht Γ(x) ≤ F (x) ≤ Γ(x). □

Wir überprüfen iii) für die Integraldarstellung F (x) = ∫_{0}^{∞} dt t^{x−1}e^{−t}. Nach der Hölderschen Ungleichung mit p = \frac{1}{λ} und q = \frac{1}{1−λ} sowie f(t) = t^{\frac{x−1}{p}} e^{− \frac{t}{p}} und

g(t) = t^{\frac{y−1}{q}} e^{− \frac{t}{q}} gilt

∫_{ϵ}^{R} dt t^{λx+(1−λ)y−1}e^{−t} = ∫_{ϵ}^{R} dt t^{\frac{x−1}{p} + \frac{y−1}{q}} e^{− \frac{t}{p} − \frac{t}{q}}
≤ ( ∫_{ϵ}^{R} dt t^{x−1}e^{−t})^{\frac{1}{p}} ( ∫_{ϵ}^{R} dt t^{y−1}e^{−t})^{\frac{1}{q}} .

Im Limes ϵ → 0 und R → ∞ folgt die Behauptung.

Satz 35.4 Es gilt Γ(\frac{1}{2}) = \sqrt{π} sowie ∫_{0}^{∞} dx e^{−x^{2}} = \frac{\sqrt{π}}{2} und ∫_{−∞}^{∞} dx e^{−x^{2}} = \sqrt{π}.

Beweis. Für x ∈ ℝ \ ℕ gilt

Γ(x)Γ(1 − x) = (−x)Γ(x)Γ(−x) = (−x)( lim_{n→∞} \frac{1}{G_{n}(x)})( lim_{n→∞} \frac{1}{G_{n}(−x)})

= (−x) lim_{n→∞} \frac{1}{G_{n}(x)G_{n}(−x)}

= (−x) lim_{n→∞} \frac{(n!)^{2}}{(0 + x)(0 − x)(1 + x)(1 − x) ⋯ (n + x)(n − x)}

= \frac{1}{x} lim_{n→∞} ∏_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{k^{2} − x^{2}} .

34 Mit dem Wallisschen Produkt ∏_{k=1}^{n} \frac{4k^{2}}{4k^{2}−1} = \frac{π}{2} aus Beispiel 31.3 gilt für x = \frac{1}{2} die Gleichung Γ(\frac{1}{2})^{2} = π, also Γ(\frac{1}{2}) = \sqrt{π}.

Preliminary version – 9. Oktober 2014

Nach Substitution t(x) = x^{2} mit t′ = 2x = 2\sqrt{t} erhält man

∫_{ϵ}^{R} dx e^{−x^{2}} = ∫_{ϵ}^{R} dx e^{−t(x)}t′(x)\frac{1}{2\sqrt{t}} = \frac{1}{2} ∫_{ϵ^{2}}^{R^{2}} dt t^{\frac{1}{2} −1}e^{−t} .

Für ϵ ↘ 0 und R → ∞ folgt die Behauptung. □

Es läßt sich zeigen, daß ∏_{k=1}^{∞} \frac{k^{2}}{k^{2}−x^{2}} = \frac{πx}{sin(πx)} für x ∉ ℤ^{×}. Somit gilt allgemein Γ(x)Γ(1−x) = \frac{π}{sin(πx)} für x ∉ ℤ bzw. nach Verschiebung Γ(\frac{1}{2}+x)Γ(\frac{1}{2}−x) = \frac{π}{cos(πx)}. Eine weitere wichtige Beziehung ist der Verdopplungssatz

Γ(2x) = \frac{2^{2x−1}}{\sqrt{π}} Γ(x)Γ(x + \frac{1}{2}) .

Mit der Γ-Funktion eng verwandt ist die durch

B(a, b) := ∫_{0}^{1} dx x^{a−1}(1 − x)^{b−1} , a, b > 0 ,

definierte Beta-Funktion. Durch Substitution entstehen weitere Beziehungen wie z.B.

B(a, b) = ∫_{0}^{∞} dt \frac{t^{a−1}}{(1 + t)^{a+b}} , B(a, b) = 2 ∫0^{\frac{π}{2}} dϕ sin^{2a−1}ϕ cos^{2b−1}ϕ .

Es gilt B(a, b) = \frac{Γ(a)Γ(b)}{Γ(a+b)}. Diese Formeln werden in den Übungen behandelt. Einige der Beweise beruhen auf dem Satz von Bohr-Mollerup.

Satz 35.5 (Stirlingsche Formel) Für n ∈ ℕ^{×} gilt n! = \sqrt{2πn}(\frac{n}{e})^{n}e^{μ(n)} mit

0 ≤ μ(n) ≤ \frac{1}{12n}. (Wir zeigen nur 0 ≤ μ(n) ≤ \frac{1}{8n}.)

Beweis. Nach Trapezregel (Satz 31.6) für f(x) = ln x und (ln x)′′ = −\frac{1}{x^{2}} gilt

∫_{k}^{k+1} dx ln x = \frac{1}{2}(ln k + ln(k + 1)) + \frac{1}{2} ∫_{k}^{k+1} dx \frac{(x − k)(k + 1 − x)}{x^{2}}

für k > 0. Summieren über k von 1 bis n − 1 ergibt

∫_{1}^{n} dx ln x = ∑_{k=1}^{n} ln k − \frac{1}{2} ln n + ∫_{1}^{n} dx \frac{ϕ(x)}{x^{2}}

mit ϕ : ℝ_{+} → ℝ_{+} gegeben durch ϕ(x) := \frac{1}{2}(x − [x])(1 + [x] − x), wobei [x] ∈ ℕ der ganze Teil von x ∈ ℝ_{+} ist. Wegen

∫_{1}^{n} dx ln x · 1 = x ln x|_{1}^{n} − ∫_{1}^{n} dx 1 = n ln n − n + 1 = 1 + ln (\frac{n}{e})^{n}

35 sowie ∑_{k=1}^{n} ln k = ln(n!) gilt ln(n!) = ln ((\frac{n}{e})^{n}\sqrt{n} · c_{n}) mit

Preliminary version – 9. Oktober 2014

c_{n} := exp (1 − ∫_{1}^{n} dx \frac{ϕ(x)}{x^{2}}) .

Da 0 ≤ ϕ ≤ \frac{1}{8} eine beschränkte Funktion ist und das Integral ∫_{1}^{∞} dx x^{−2} kon-

vergent ist, existiert der Limes c := lim_{n→∞} c_{n} = exp (1 − ∫_{1}^{∞} dx \frac{ϕ(x)}{x^{2}}) = lim_{n→∞} \frac{c_{n}^{2}}{c_{2n}}. Für den letzten Bruch ergibt sich

\frac{c_{n}^{2}}{c_{2n}} = \frac{(n!)^{2}(2n/e)^{2n}\sqrt{2n}}{(2n)!(n/e)^{2n}n} = \sqrt{\frac{2}{n}} \frac{(n!)^{2}4^{n}}{(2n)!} = \sqrt{\frac{2}{n}} \frac{2 · 4 ⋯ (2n)}{1 · 3 ⋯ (2n − 1)}

= \sqrt{\frac{2(2n + 1)}{n}}\sqrt{\frac{2 · 2 · 4 · 4 ⋯ (2n) · (2n)}{(2 − 1)(2 + 1) · (4 − 1)(4 + 1) ⋯ (2n − 1)(2n + 1)}} .

Im Limes n → ∞ entsteht unter der letzten Wurzel das Wallissche Produkt (Beispiel 31.3) für \frac{π}{2}, d.h. es gilt lim_{n→∞} \frac{c_{n}^{2}}{c_{2n}} = \sqrt{2π}. Somit ist die Behauptung bewiesen mit

μ(n) := ∫_{n}^{∞} dx \frac{ϕ(x)}{x^{2}} .

Wegen 0 ≤ ϕ ≤ \frac{1}{8} gilt 0 ≤ μ(n) ≤ \frac{1}{8n}, was sich unter Verwendung der Konvexität noch etwas verbessern läßt. □

Bemerkung: Man kann zeigen, daß die Stirlingsche Formel auch richtig bleibt für die Γ-Funktion, d.h. für x > 0 gilt Γ(x + 1) = \sqrt{2πx}(\frac{x}{e})^{x}e^{μ(x)} mit 0 ≤ μ(x) ≤ \frac{1}{12x}.

Teil VII

Lineare Abbildungen

36 Definition und Beispiele

Definition 36.1 Seien V, W Vektorräume über K. Eine Abbildung F : V → W heißt linear (genauer: K-linear) oder Homomorphismus von Vektorräumen (über K), wenn

(L) F (λ_{1}·v_{1}+λ_{2}·v_{2}) = λ_{1}·F (v_{1})+λ_{2}·F (v_{2}) für alle v_{1}, v_{2} ∈ V und λ_{1}, λ_{2} ∈ K.

Eine lineare Abbildung F : V → W heißt

• Isomorphismus, wenn F bijektiv ist,

• Endomorphismus, wenn W = V ist,

• Automorphismus, wenn F bijektiv und W = V ist.

Beispiel 36.2

i) Skalentransformationen (Dilatationen). Sei V ein reeller Vektorraum und c > 0, dann definiert F_{c} : v ↦ c · v einen Automorphismus von V (eine lineare Abbildung F_{c} : V → V, die bijektiv ist mit F_{c}^{−1} = F_{\frac{1}{c}} : v ↦ \frac{1}{c} ·v).

ii) Drehungen in der Ebene. Sei V = ℝ^{2} und F_{α} die Drehung um den Nullpunkt mit dem Winkel α,

F_{α} : ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) ↦ F_{α} ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) := ( \begin{matrix}x cos α − y sin α \\ x sin α + y cos α \end{matrix} ) .

F ist ebenfalls ein Automorphismus mit F_{α}^{−1} = F_{−α}.

iii) Matrizen. Sei V = W = ℝ^{2} und

F_{a} : ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} \end{matrix} ) .

Dann ist F_{a} : ℝ^{2} → ℝ^{2} eine lineare Abbildung, welche durch die Ma-

trix a = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) ∈ M(2 × 2, ℝ) parametrisiert wird. Die beiden

Beispiele i) und ii) sind Spezialfälle mit a = ( \begin{matrix}c & 0 \\ 0 & c \end{matrix} ) (für V = ℝ^{2})

und a = ( \begin{matrix}cos α & − sin α \\ sin α & cos α \end{matrix} ). Für allgemeines a ist F ein Endomorphis-

mus. Es wird wichtig sein zu untersuchen, wann F bijektiv ist, also ein Automorphismus ist. iv) Projektionen der Ebene auf eine Gerade durch den Nullpunkt. Sei V = ℝ^{2}

und (v_{1}, v_{2}) eine Basis, z.B. v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) und v_{2} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ). Dann definiert

die eindeutige Zerlegung von v nach der Basis v = λ_{1} · v_{1} + λ_{2} · v_{2} zwei Projektionen

F_{1} : λ_{1} · v_{1} + λ_{2} · v_{2} ↦ λ_{1} · v_{1} ,
F_{2} : λ_{1} · v_{1} + λ_{2} · v_{2} ↦ λ_{2} · v_{2} .

Diese Projektionen F_{1}, F_{2} sind lineare Abbildungen.

v) In Analogie zu Beispiel iii) definieren wir F_{a} : ℝ^{2} → ℝ^{1} durch F_{a} :

( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) ↦ a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2}. Dann ist F_{a} eine lineare Abbildung, die durch

die Matrix a = ( a_{11} a_{12} ) ∈ M(1 × 2, ℝ) parametrisiert wird. Beispiel

iv) für v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) und v_{2} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) ist ein Spezialfall mit F_{1} ⇔ a = (1 0)

und F_{2} ⇔ a = (0 1).

vi) Projektionen auf einen Untervektorraum. In Verallgemeinerung von Beispiel iv) sei V ein n-dimensionaler Vektorraum, W ⊆ V ein Untervektorraum und V = W ⊕ W′. Dann ist die Projektion F_{W} : V → W eine lineare Abbildung, die wie folgt erhalten wird. Man nehme eine Basis (w_{1}, …, w_{r}) von W und eine Basis (w′_{r+1}, …, w′_{n}) von W′ (also n − r Vektoren von V, so daß (w_{1}, …, w_{r}, w′_{r+1}, …, w′_{n}) eine Basis von V ist) und zerlege v ∈ V nach dieser Basis, v = ∑_{i=1}^{r} λ_{i} · v_{i} + ∑_{j=r+1}^{n} μ_{j} · w′_{j}. Dann ist F_{W} : v ↦ ∑_{i=1}^{r} λ_{i} · v_{i}. Diese Abbildung F_{W} ist unabhängig vom direkten Summanden W′ (welcher nicht eindeutig war) und unabhängig von der Basis von W.

vii) Differentiation. Für ein offenes Intervall I = ]a, b[ ⊆ ℝ seien V = C^{1}(I) und W = C(I) die (unendlich-dimensionalen) Vektorräume der einmal stetig differenzierbaren bzw. der stetigen reellwertigen Funktionen auf I, mit (λ_{1} · f_{1} + λ_{2} · f_{2})(x) := λ_{1} · f_{1}(x) + λ_{2} · f_{2}(x) für x ∈ ]a, b[. Dann ist das Differential D : V → W mit D : f ↦ f′ eine lineare Abbildung. Ist V = C^{∞}(I) der Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen über I, dann ist das Differential D : V → V ein Endomorphismus.

viii) Integration. Für ein abgeschlossenes Intervall I = [a, b] ⊆ ℝ definiert das Integral ∫ : f ↦ ∫_{a}^{b} f(x) dx eine lineare Abbildung ∫ : C(I) → ℝ.

Diese sehr unterschiedlichen Beispiele zeigen, daß lineare Abbildungen häufig auftreten. Kenntnisse der allgemeinen Eigenschaften von linearen Abbildungen und von Methoden zu ihrer Untersuchung sind deshalb sehr wichtig.

37 Bild und Kern einer linearen Abbildung

Definition 37.1 Ist F : V → W eine lineare Abbildung, so heißt

• im(F) := F (V) ⊆ W das Bild von F,
• ker(F) := F^{−1}(0) ⊆ V der Kern von F.

Satz 37.2 Sei F : V → W eine lineare Abbildung. Dann gilt

i) F (0) = 0, F (v − w) = F (v) − F (w), F (λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{n} · v_{n}) = λ_{1} · F (v_{1}) + ⋯ + λ_{n} · F (v_{n}).

ii) Ist die Familie (v_{i})_{i∈I} linear abhängig in V, so ist die Familie (F (v_{i}))_{i∈I} linear abhängig in W.

iii) Sind V′ ⊆ V und W′ ⊆ W Untervektorräume, so ist das Bild F (V′) ⊆ W Untervektorraum von W und das Urbild F^{−1}(W′) ⊆ V Untervektorraum von V.

iv) dim(F (V)) ≤ dim(V).

v) Ist F ein Isomorphismus, so ist auch das Urbild F^{−1} : W → V eine lineare Abbildung (und damit ein Isomorphismus).

Beweis. i) ist klar.

ii) Sei 0 = ∑_{i∈I} λ_{i} · v_{i}, wobei mindestens einer und insgesamt endlich viele Skalare λ_{i} ungleich 0 sind. Dann ist auch 0 = F (0) = ∑_{i∈I} λ_{i} · F (v_{i}).

iii) 0 ∈ V′ und 0 = F (0) ∈ F (V′), also F (V′) ≠ ∅. Sind w_{1}, w_{2} ∈ F (V′), dann gibt es v_{1}, v_{2} mit w_{1} = F (v_{1}) und w_{2} = F (v_{2}). Also λ_{1} · w_{1} + λ_{2} · w_{2} = λ_{1}·F (v_{1})+λ_{2}·F (v_{2}) = F (λ_{1}·v_{1}+λ_{2}·v_{2}) ∈ F (V′), und F (V′) ist Untervektorraum.

Sind v_{1}, v_{2} ∈ F^{−1}(W′), so ist F (v_{1}), F (v_{2}) ∈ W′ und auch λ_{1} · F (v_{1}) + λ_{2} · F (v_{2}) ∈ W′, da W′ Untervektorraum. Also ist F (λ_{1} · v_{1} + λ_{2} · v_{2}) = λ_{1} · F (v_{1}) + λ_{2} · F (v_{2}) ∈ W′ und damit λ_{1} · v_{1} + λ_{2} · v_{2} ∈ F^{−1}(W′), und F^{−1}(W′) ist Untervektorraum.

iv) Sind F (v_{1}), …, F (v_{n}) linear unabhängig, so sind auch v_{1}, …, v_{n} linear unabhängig, denn das Gegenteil führt wegen ii) zu einem Widerspruch.

v) Seien w_{1}, w_{2} ∈ W und v_{1}, v_{2} ∈ V mit F (v_{1}) = w_{1} und F (v_{2}) = w_{2}. Dann ist F (λ_{1} · v_{1} + λ_{2} · v_{2}) = λ_{1} · w_{1} + λ_{2} · w_{2}. Anwenden von F^{−1} liefert F^{−1}(λ_{1} · w_{1} + λ_{2} · w_{2}) = λ_{1} · F^{−1}(w_{1}) + λ_{2} · F^{−1}(w_{2}). □

Satz 37.3 Sei F : V → W linear. Dann gilt:

i) im(F) ⊆ W und ker(F) ⊆ V sind Untervektorräume.

ii) F surjektiv ⇔ im(F) = W

iii) F injektiv ⇔ ker(F) = {0} iv) Ist F injektiv und sind v_{1}, …, v_{n} linear unabhängig, so sind auch

F (v_{1}), …, F (v_{n}) linear unabhängig.

Beweis. i) ist in Satz 37.2.iii) bewiesen und ii) ist die Definition der Surjektivität.

iii) 0 ∈ ker(F). Ist F injektiv, so folgt aus F (v) = 0 = F (0), daß v = 0. Gibt es umgekehrt v_{1} ≠ v_{2} ∈ V mit F (v_{1}) = F (v_{2}), so wäre F (v_{1} − v_{2}) = 0, also 0 ≠ v_{1} − v_{2} ∈ ker(F). Widerspruch

iv) Sei λ_{1} · F (v_{1}) + ⋯ + λ_{n} · F (v_{n}) = 0, dann gilt 0 = F (λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{n} · v_{n}) nach Linearität und λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{n} · v_{n} = 0 nach iii). Also ist λ_{i} = 0. □

Definition 37.4 Ist F : V → W linear, so heißt die Zahl rang(F) := dim(im(F)) der Rang der Abbildung F.

Der Rang ist eine wichtige Charakterisierung einer linearen Abbildung.

Satz 37.5 Ist V ein endlich-dimensionaler Vektorraum und F : V → W eine lineare Abbildung, so gilt

dim(V) = dim(im(F)) + dim(ker(F)) .

Beweis. Wir wissen dim(im(F)) ≤ dim(V) nach Satz 37.2.iv) und dim(ker(F)) ≤ dim(V) nach Satz 37.3.i). Seien also (v_{1}, …, v_{k}) eine Basis von ker(F) und (w_{1}, …, w_{r}) eine Basis von im(F). Wir wählen u_{1}, …, u_{r} ∈ V mit F (u_{i}) = w_{i} für alle 1 ≤ i ≤ r. Für v ∈ V gibt es eine eindeutige Darstellung F (v) = λ_{1}·w_{1}+⋯+ λ_{r} ·w_{r}. Für die so bestimmten λ_{i} konstruieren wir v′ := λ_{1} ·u_{1} +⋯+λ_{r} ·u_{r}. Dann gilt F (v − v′) = 0, also v − v′ ∈ ker(F). Es existieren also eindeutig bestimmte μ_{1}, …, μ_{k} mit v − v′ = μ_{1} · v_{1} + ⋯ + μ_{k} · v_{k}. Also gilt

v = λ_{1} · u_{1} + ⋯ + λ_{r} · u_{r} + μ_{1} · v_{1} + ⋯ + μ_{k} · v_{k} .

Damit ist V durch die Familie B = (u_{1}, …, u_{r}, v_{1}, …, v_{k},) erzeugt. Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit sei λ_{1} · u_{1} + ⋯ + λ_{r} · u_{r} + μ_{1} · v_{1} + ⋯ + μ_{k} · v_{k} = 0. Anwenden von F ergibt F (λ_{1} · u_{1} + ⋯ + λ_{r} · u_{r}) = λ_{1} · w_{1} + ⋯ + λ_{r} · w_{r} = 0, und damit λ_{i} = 0. Das liefert μ_{1} · v_{1} + ⋯ + μ_{k} · v_{k} = 0 und damit μ_{j} = 0. Damit ist B eine Basis von V aus dim(im(F)) + dim(ker(F)) Vektoren. □

Satz 37.6 Zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen V, W gibt es genau dann einen Isomorphismus, wenn dim(V) = dim(W).

Beweis. F ist Isomorphismus, wenn linear, injektiv und surjektiv. F injektiv heißt dim(ker(F)) = 0 und F surjektiv heißt im(F) = W. Aus dem vorigen Satz folgt dann die Behauptung. □

Satz 37.7 Ist dim(V) = dim(W) < ∞ und ist F linear, dann sind für F Injektivität, Surjektivität und Bijektivität äquivalent.

Beweis. injektiv⇒ surjektiv: F injektiv, dann ker(F) = {0} und dim(V) = dim(im(F)). Also dim(im(F)) = dim(W) und dann im(F) = W.

surjektiv⇒injektiv: F surjektiv, dann dim(im(F)) = dim(W) = dim(V). Also dim(ker(F)) = 0 und ker(F) = {0}, somit F injektiv. □

Satz 37.8 (Faktorisierungssatz) Sei F : V → W linear und B = (u_{1}, …, u_{r}, v_{1}, …, v_{k}) eine Basis von V mit ker(F) = span(v_{1}, …, v_{k}). Mit U := span(u_{1}, …, u_{r}) gilt:

i) V = U ⊕ ker(F)

ii) Die Einschränkung F |_{U} : U → im(F) ist ein Isomorphismus.

iii) Sei P_{U} : V = U ⊕ker(F) → U die Projektion auf den ersten Summanden, definiert für v = u+v′ ∈ V mit u ∈ U und v′ ∈ ker(F) durch P_{U}(v) := u, so gilt F = F |_{U} ∘ P_{U}.

Beweis. i) ist klar, denn U und ker(F) sind linear unabhängig.

ii) ker(F |_{U}) = ker(F)∩U = {0}, also ist F |_{U} : U → im(F) injektiv, außerdem surjektiv und damit bijektiv.

iii) Für v = u + v′ mit u ∈ U und v′ ∈ ker F ist F (v) = F (u) + F (v′) = F (u) = F |_{U}(u) = F |_{U}(P (v)). □

Zu beachten ist, daß U in der direkten Summe V = U ⊕ker(F) nicht eindeutig definiert ist. Die F |_{U} sind also, je nach Wahl von U, verschiedene Isomorphismen.

Seien V, W Vektorräume über K, dann bezeichnen wir mit

Hom_{K}(V, W) := {F : V → W : F ist K-linear}

die Menge aller K-linearen Abbildungen (aller Homomorphismen) von V nach W. Die Menge Hom_{K}(V, W) ist ein Vektorraum mit Verknüpfungen

(λ_{1} · F_{1} + λ_{2} · F_{2})(v) := λ_{1} · F_{1}(v) + λ_{2} · F_{2}(v) .

Insbesondere ist der Nullvektor die lineare Abbildung 0 : v ↦ 0 für alle v ∈ V, und die negative Abbildung ist −F : v ↦ −F (v). Ist der Körper klar, dann schreiben wir Hom(V, W) statt Hom_{K}(V, W).

Ist V = W, so schreiben wir End(V) := Hom(V, V), und End(V) ist wieder ein Vektorraum. Entsprechend bezeichnet

Aut_{K}(V) := {F : V → V : F ist K-linear und bijektiv}

die Menge der bijektiven linearen Abbildungen von V nach V. Jedoch ist Aut(V) kein Vektorraum, denn für F ∈ Aut(V) ist 0 · F = 0 ∉ Aut(V).

Lineare Abbildungen lassen sich ganz analog wie allgemeine Abbildungen hintereinander ausführen.

Satz 37.9 Sind U, V, W Vektorräume und G : U → V sowie F : V → W lineare Abbildung, dann ist auch die Komposition F ∘G : U → W eine lineare Abbildung.

Beweis.

(F ∘ G)(λ_{1} · u_{1} + λ_{2} · u_{2}) := F (G(λ_{1} · u_{1} + λ_{2} · u_{2}))
= F (λ_{1} · G(u_{1}) + λ_{2} · G(u_{2}))
= λ_{1} · F (G(u_{1})) + λ_{2} · F (G(u_{2}))
= λ_{1} · (F ∘ G)(u_{1}) + λ_{2} · (F ∘ G)(u_{2}) .  □

Es folgt:

Satz 37.10 Ist V ein Vektorraum, so ist Aut(V) eine Gruppe mit der Komposition als Verknüpfung.

38 Die darstellende Matrix einer linearen Abbildung

Wir erinnern daran, daß wir nach Fixierung einer Basis (v_{1}, …, v_{n}) in einem n-dimensionalen K-Vektorraum V jeden Vektor v ∈ V äquivalent durch seine Koordinaten (λ_{1}, …, λ_{n}) ∈ K^{n} beschreiben können, die sich eindeutig aus v = λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{n}v_{n} ergeben. Völlig analog wird jede lineare Abbildung : V → W zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen V, W nach Fixierung von Basen in V und W durch eine Matrix beschrieben.

Wir betrachten zunächst eine etwas allgemeinere Situation:

Satz 38.1 Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum mit Basis A = (v_{1}, …, v_{n}). Sei W ein (nicht notwendig endlich-dimensionaler) Vektorraum und w_{1}, …, w_{n} ∈ W. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung F : V → W mit F (v_{i}) = w_{i} für alle 1 ≤ i ≤ n. Für diese gilt:

• im(F) = span(w_{1}, …, w_{n})
• F injektiv ⇔ (w_{1}, …, w_{n}) ist linear unabhängig.

Beweis. Ist v = λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{n} · v_{n} ∈ V, so definieren wir F (v) := λ_{1} · w_{1} + ⋯ + λ_{n} · w_{n}. Da die λ_{i} eindeutig bestimmt sind, ist auch F (v) eindeutig. Zu zeigen ist aber, daß F wirklich linear ist. Sei v′ = μ_{1} · v_{1} + ⋯ + μ_{n} · v_{n} ein weiterer Vektor. Dann gilt

λ · v + μ · v′ = ∑_{i=1}^{n}(λλ_{i} + μμ_{i}) · v_{i} und

F (λ · v + μ · v′) = ∑_{i=1}^{n}(λλ_{i} + μμ_{i}) · w_{i} = λ( ∑_{i=1}^{r} λ_{i} · w_{i}) + μ( ∑_{i=1}^{n} μ_{i} · w_{i})
= λ · F (v) + μ · F (v′) .

Klar ist, daß im(F) ⊆ span(w_{1}, …, w_{n}). Andererseits ist w = λ_{1}·w_{1}+⋯+λ_{n}w_{n} = F (λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{n} · v_{n}) und damit span(w_{1}, …, w_{n}) ⊆ im(F).

Sei (w_{1}, …, w_{n}) linear abhängig, so gibt es mindestens ein λ_{i} ≠ 0, so daß 0 = λ_{1}w_{1} + ⋯ + λ_{n}w_{n} = F (λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{n} · v_{n}). Da (v_{1}, …, v_{n}) Basis ist, ist λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{n} · v_{n} ≠ 0, und damit ist F nicht injektiv. Das bedeutet F injektiv ⇒ (w_{1}, …, w_{n}) linear unabhängig. Ist umgekehrt (w_{1}, …, w_{n}) linear unabhängig, dann betrachten wir F (v) = 0 mit v = λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{n} · v_{n}, also F (λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{n} · v_{n}) = λ_{1} · w_{1} + ⋯ + λ_{n} · w_{n}, was zu λ_{i} = 0 und damit v = 0 führt. Also ist ker(F) = {0} und F ist injektiv. □

Folgerung 38.2 Sei V endlich-dimensionaler Vektorraum und v_{1}, …, v_{r} ∈ V linear unabhängig. Sei W ein Vektorraum und w_{1}, …, w_{r} ∈ W. Dann gibt es mindestens eine lineare Abbildung F : V → W mit F (v_{i}) = w_{i} für alle 1 ≤ i ≤ r.

Beweis. Ist (v_{1}, …, v_{r}) linear unabhängig, aber keine Basis, dann können wir eine Basis (v_{1}, …, v_{r}, v_{r+1}, …, v_{n}) von V finden. Für diese geben wir beliebige Vektoren w_{r+1}, …, w_{n} ∈ W vor und finden für jede Wahl von w_{r+1}, …, w_{n} eine lineare Abbildung F mit F (v_{i}) = w_{i}. □

Satz 38.3 Sei B = (w_{1}, …, w_{n}) Basis eines Vektorraums W. Dann gibt es genau einen Isomorphismus Φ_{B} : K^{n} → W mit Φ_{B}(e_{i}) = w_{i} für alle 1 ≤ i ≤ n, wobei (e_{i})_{i=1,...,n} die Standardbasis ist.

Beweis. Nach Satz 38.1 gibt es genau eine lineare Abbildung Φ_{B} mit dieser Eigenschaft, und diese ist injektiv und surjektiv. □

Wir kommen nun zur allgemeinen Beziehung zwischen linearen Abbildungen und Matrizen:

Satz 38.4 Gegeben seien K-Vektorräume V mit Basis A = (v_{1}, …, v_{n}) und W mit Basis B = (w_{1}, …, w_{m}).

i) Dann gibt es zu jeder linearen Abbildung F : V → W genau eine Matrix A = (a_{ij}) ∈ M(m × n, K), so daß F (v_{j}) = ∑_{i=1}^{m} a_{ij} · w_{i}.

ii) Die so erhaltene Abbildung

M_{B}^{A} : Hom(V, W) → M(m × n, K) , M_{B}^{A} : F ↦ A = M_{B}^{A}(F)

ist ein Isomorphismus von Vektorräumen über K, und insbesondere gilt

M_{B}^{A}(λ · F + μ · G) = λ · M_{B}^{A}(F) + μ · M_{B}^{A}(G) .

Definition 38.5 Mit den Bezeichnungen aus Satz 38.4 heißt A = M_{B}^{A}(F) die darstellende Matrix von F : V → W bezüglich der Basen A von V und B von W.

Beweis von Satz 38.4. i) Durch Komposition von F mit den Isomorphismen Φ_{A} und Φ_{B} aus Satz 38.3:

A := (Φ_{B})^{−1} ∘ F ∘ Φ_{A} : K^{n} → K^{m} , A · x := (Φ_{B})^{−1}(F (Φ_{A}(x))) .

Umgekehrt ergibt sich F aus A durch F = Φ_{B} ∘ A ∘ (Φ_{A})^{−1} : V → W mit A ∘ x := A · x. Zunächst ist (Φ_{A})^{−1}(v_{j}) = e_{j} ∈ K^{n}. Matrixmultiplikation liefert

A · ((Φ_{A})^{−1}(v_{j})) = ( a_{1j} ; ⋮ ; a_{mj} ) = ∑_{i=1}^{m} a_{ij} · e_{i} ∈ K^{m} .

Anwenden von Φ_{B} liefert Φ_{B}(A · ((Φ_{A})^{−1}(v_{j}))) = ∑_{i=1}^{m} a_{ij} · w_{i} ∈ W.

ii) Als Komposition linearer Abbildungen ist M_{B}^{A} : Hom(V, W) → M(m × n, K) mit

A = M_{B}^{A}(F) = (Φ_{B})^{−1} ∘ F ∘ Φ_{A} : K^{n} → K^{m} .

linear. Da A eine Basis ist, gibt es nach Satz 38.1 genau eine lineare Abbildung F mit F (v_{j}) = w̃_{j} := ∑_{i=1}^{m} a_{ij} · w_{i}. Also ist M_{B}^{A} bijektiv. □

Speziell gilt:

Folgerung 38.6 Die darstellende Matrix A einer linearen Abbildung F : K^{n} → K^{m} bezüglich der Standardbasen ist gegeben durch A = (F (e_{1}), …, F (e_{n})) =: M_{m}^{n}(F), d.h. die j-te Spalte von A ist der Vektor F (e_{j}) ∈ K^{m}, wobei e_{j} ∈ K^{n} der j-te Standardbasisvektor ist. Es gilt F (x) = A · x. □

Die wichtigen Begriffe von Bild, Kern und Rang einer linearen Abbildung übertragen sich somit auf Matrizen.

Definition 38.7 Für A ∈ M(m × n, K) heißt

i) ker(A) = {x ∈ K^{n} : A · x = 0 ∈ K^{m}} ⊆ K^{n} der Kern von A,

ii) im(A) = {b ∈ K^{m} : es gibt ein x ∈ K^{n} mit A · x = b} ⊆ K^{m} das Bild von A,

iii) rang(A) = dim(im(A)) der Rang von A.

Wir zeigen später, daß die hier gegebene Definition des Rangs einer Matrix mit Definition 6.9 übereinstimmt. Nach i) ist ker(A) die Lösungsmenge des homogenen LGS A · x = 0. Eine Basis vom im(A) bestimmt sich wie folgt: Ist (v_{1}, …, v_{n−r}) eine Basis von ker A ⊆ K^{n}, so ergänze man sie zu einer Basis (v_{1}, …, v_{n−r}, u_{1}, …, u_{r}) von K^{n}. Dann ist (A·u_{1}, …, A·u_{r}) eine Basis von im(A), denn nach Dimensionsformel ist (A · u_{1}, …, A · u_{r}) linear unabhängig.

Beispiel 38.8 Durch F ((w, x, y, z)) = (w + x − y, x + y − z, w + 2x − z) für w, x, y, z ∈ ℝ werde eine lineare Abbildung F : ℝ^{4} → ℝ^{3} definiert. Daraus lesen wir ab:

F (e_{1}) = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , F (e_{2}) = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} ) , F (e_{3}) = ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , F (e_{4}) = ( \begin{matrix}0 \\ −1 \\ −1 \end{matrix} ) .

Folglich wird F durch die Matrix A_{F} = ( \begin{matrix}1 & 1 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & −1 \\ 1 & 2 & 0 & −1 \end{matrix} ) ∈ M(3 × 4, ℝ)

dargestellt. Zur Berechnung des Kerns als Lösung von A · x = 0 führen wir folgende elementare Zeilenumformungen durch:

A_{F} ⟶^{IV_{13}(−1),IV_{23}(−1)} ( \begin{matrix}1 & 1 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ⟶^{IV_{21}(−1)} ( \begin{matrix}1 & 0 & −2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Daraus lesen wir als Lösung ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 & −1 \\ −1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} ) ab mit x_{3}, x_{4} ∈ ℝ

beliebig. Folglich ist dim(ker A) = 2, und eine Basis von ker A ist (v_{1}, v_{2}) mit

v_{1} = ( \begin{matrix}2 \\ −1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , v_{2} = ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) .

Wir können sie z.B. zur Basis (v_{1}, v_{2}, e_{1}, e_{2}) von ℝ^{4} ergänzen. Somit ist (F (e_{1}), F (e_{2})) eine Basis von im(A). ◁

Beispiel 38.9 Wir betrachten die durch F ((x, y, z)) = (x − y, 2x + y − z) definierte lineare Abbildung F : ℝ^{3} → ℝ^{2} bezüglich der Basen (v_{1}, v_{2}, v_{3}) von ℝ^{3} und (w_{1}, w_{2}) von ℝ^{2} mit

v_{1} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , v_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , v_{3} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , w_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) , w_{2} = ( \begin{matrix}2 \\ −1 \end{matrix} ) .

Damit gilt

F (v_{1}) = F ((0, 1, 1)) = ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \end{matrix} ) , F (v_{2}) = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) , F (v_{3}) = ( \begin{matrix}0 \\ 3 \end{matrix} ) .

Diese Vektoren sind nun bezüglich der Basis (w_{1}, w_{2}) darzustellen, w_{1}a_{1j}+w_{2}a_{2j} = F (v_{j}). Es handelt sich also um drei lineare Gleichungssysteme aus 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten:

( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}a_{11} \\ a_{21} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \end{matrix} )  ⇒ ( \begin{matrix}a_{11} \\ a_{21} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−\frac{1}{3} \\ −\frac{1}{3} \end{matrix} )
( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}a_{12} \\ a_{22} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} )  ⇒ ( \begin{matrix}a_{12} \\ a_{22} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} )
( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}a_{13} \\ a_{23} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 3 \end{matrix} )  ⇒ ( \begin{matrix}a_{13} \\ a_{23} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 \\ −1 \end{matrix} ) .

Die darstellende Matrix ist folglich A = ( \begin{matrix}−\frac{1}{3} & 1 & 2 \\ −\frac{1}{3} & 0 & −1 \end{matrix} ). ◁

Sind also die Basen der Vektorräume V und W festgelegt, dann kann man die Vektorräume mit den Standardräumen K^{n}, K^{m} der Koordinaten identifizieren und lineare Abbildungen F : V → W mit Matizen A ∈ M(m × n, K). Eine oftmals sinnvolle Wahl besteht aus Basen, in denen für die Koordinatenmatrix die Einheitsmatrix entsteht:

Definition 38.10 Die Matrix

E_{r} = ( \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ 0 & 1 & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & 1 \end{matrix} ) ∈ M(r × r, K) ,

in der sämtliche Einträge auf der Diagonalen gleich 1 und alle anderen Einträge gleich 0 sind, heißt (r × r)-Einheitsmatrix. Ihre Komponenten sind also E_{r} = (δ_{ij}), wobei

δ_{ij} = \{ \begin{matrix}1 & für i = j \\ 0 & für i ≠ j \end{matrix}

das Kronecker-Symbol ist.

Satz 38.11 Sei F : V → W linear und dim(V) = n, dim(W) = m, dim(im(F)) = rang(F) = r. Dann gibt es Basen A von V und B von W mit

M_{B}^{A}(F) = ( \begin{matrix}E_{r} & 0_{r×(n−r)} \\ 0_{(m−r)×r} & 0_{(m−r)×(n−r)} \end{matrix} ) .

Dabei ist 0_{p×q} ∈ M(p × q, K) die Matrix, in der sämtliche Einträge gleich 0 sind.

Beweis. Wir wählen eine Basis (w_{1}, …, w_{r}) von im(F) und ergänzen sie zu einer Basis B = (w_{1}, …, w_{r}, w_{r+1}, …, w_{m}) von W. Dann wählen wir wie im Beweis von Satz 37.5 Vektoren u_{1}, … u_{r} ∈ V mit F (u_{i}) = w_{i} für alle 1 ≤ i ≤ r und ergänzen sie mit einer Basis (v_{1}, …, v_{k}) von ker(F) zu einer Basis A = (u_{1}, …, u_{r}, v_{1}, …, v_{k}) von V. Dann hat M_{B}^{A}(F) die angegebene Form. □

39 Multiplikation von Matrizen

Seien G : K^{r} → K^{n} und F : K^{n} → K^{m} lineare Abbildungen, dargestellt (bezüglich der Standardbasen) nach Satz 38.4 und Folgerung 38.6 durch Matrizen B = M_{n}^{r}(G) ∈ M(n × r, K) und A = M_{m}^{n}(F) ∈ M(m × n, K).

Nach Satz 37.9 ist die Komposition F ∘ G : K^{r} → K^{m} wieder eine lineare Abbildung, welche durch eine Matrix C = M_{m}^{r}(F ∘ G) ∈ M(m × r, K) dargestellt wird. Das bedeutet C = M_{m}^{r}((M_{m}^{n})^{−1}(A)∘(M_{n}^{r})^{−1}(B)), und auf diese Weise wird ein Produkt

· : M(m × n, K) × M(n × r, K) → M(m × r, K) ,
A · B := M_{m}^{r}((M_{m}^{n})^{−1}(A) ∘ (M_{n}^{r})^{−1}(B))

von Matrizen passender Größe definiert. Im Produkt muß die Zahl der Spalten der linken Matrix gleich der Zahl der Zeilen der rechten Matrix sein.

Satz 39.1 Ist A = (a_{ij}) ∈ M(m × n, K), B = (B_{jk}) ∈ M(n × r, K) und A · B =

C = (c_{ik}) ∈ M(r × s, K), so gilt c_{ik} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jk}.

Beweis. Sei F = (M_{n}^{m})^{−1}(A) : K^{n} → K^{m} und G = (M_{r}^{n})^{−1}(B) : K^{r} → K^{n} sowie F ∘ G = (M_{r}^{m})^{−1}(C) : K^{r} → K^{m}. Seien (E_{1}, …, E_{r}) die Standardbasis im K^{r}, (ϵ_{1}, …, ϵ_{n}) die Standardbasis im K^{n} und (e_{1}, …, e_{m}) die Standardbasis im K^{m}. Dann gilt

(F ∘ G)(E_{k}) = ∑_{i=1}^{m} c_{ik} · e_{i}  (Satz 38.4 für F ∘ G)
= F (G(E_{k}))  (Definition von F ∘ G)
= F ( ∑_{j=1}^{n} b_{jk} · ϵ_{j})  (Satz 38.4 für G)

= ∑_{j=1}^{n} b_{jk} · F (ϵ_{j})  (Linearität von F)

= ∑_{j=1}^{n} b_{jk} · ( ∑_{i=1}^{m} a_{ij} · e_{i})  (Satz 38.4 für F)

= ∑_{i=1}^{m} ( ∑_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jk}) · e_{i}  (Umordnen der Summen)

Die Behauptung folgt nun aus der Eindeutigkeit der Koeffizienten zur Basis (e_{i})_{i=1,...,m} von K^{m}. □

Ein Spezialfall dieser Rechenregel ist das schon zuvor erklärte Matrixprodukt A · v ∈ K^{m} einer Matrix A ∈ M(m × n, K) mit einem Spaltenvektor v ∈ K^{n}. Mit den Bezeichnungen aus Satz 39.1 gilt: Die i-te Zeile von A ist (a_{i1} a_{i2} … a_{in}),

und die j-te Spalte von B ist ( b_{1j} ; ⋮ ; b_{nj} ). Damit folgt: Das Matrixelement c_{ij} von

C = A · B ist das “Produkt” der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B.

Beispiel 39.2 Sei A = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix} ) und B = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} ), dann gilt

A · B = ( \begin{matrix}3 & 2 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 4 & 8 \end{matrix} ) und B · A = ( \begin{matrix}7 & 10 \\ 3 & 4 \end{matrix} ) .

Daraus ist ersichtlich, daß selbst wenn sowohl A · B als auch B · A erklärt sind, im allgemeinen A · B ≠ B · A gilt. ◁

Beispiel 39.3 Eine Drehung in der Ebene um den Ursprung mit Winkel α

wird durch die Matrix A = ( \begin{matrix}cos α & − sin α \\ sin α & cos α \end{matrix} ) beschrieben. Entsprechend be-

schreibt B = ( \begin{matrix}cos β & − sin β \\ sin β & cos β \end{matrix} ) eine Drehung mit Winkel β. Die Hintereinan-

derausführung beider Drehungen ist durch das Matrixprodukt gegeben:

A · B = ( \begin{matrix}cos α & − sin α \\ sin α & cos α \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}cos β & − sin β \\ sin β & cos β \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{matrix} )
= ( \begin{matrix}cos α cos β − sin α sin β & − sin α cos β − cos α sin β \\ sin α cos β + cos α sin β & cos α cos β − sin α sin β \end{matrix} ) .

Andererseits ist die Hintereinanderausführung beider Drehungen wieder eine Drehung mit Gesamtwinkel α + β. Daraus folgen die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus,

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β , cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β ◁

Satz 39.4 Sind Matrizen A, A′ ∈ M(m × n, K), B, B′ ∈ M(n × s, K) und C ∈ M(r × s, K) gegeben sowie λ ∈ K, so gilt:

i) A · (B + B′) = A · B + A · B′ und (A + A′) · B = A · B + A′ · B (Distributivgesetze)

ii) A · (λ · B) = (λ · A) · B = λ · (A · B)

iii) (A · B) · C = A · (B · C) (Assoziativgesetz)

iv) E_{m} · A = A · E_{n} = A (Neutralität der Einheitsmatrix)

Beweis. i) und ii) folgen aus der Summendarstellung des Matrixprodukts, iv) ist leicht nachzurechnen.

iii) Die Komposition beliebiger Abbildungen ist assoziativ. Die Isomorphismen M_{s}^{r} übertragen die Assoziativität auf das Matrixprodukt. □

Im weiteren schreiben wir oft AB statt A · B für das Produkt der Matrizen.

Definition 39.5 Die Abbildung t : M(m × n, K) → M(n × m, K) definiert durch t : A = (a_{ij}) ↦ A^{t} := (a_{ji}) heißt Transposition von Matrizen.

Satz 39.6 Wenn das Matrixprodukt AB erklärt ist, dann gilt (A · B)^{t} = B^{t} · A^{t}.

Beweis. Sei A = (a_{ij}) ∈ M(m × n, K), B = (b_{jk}) ∈ M(n × r, K) und C = AB = (c_{ik}) ∈ M(m × r, K). Dann ist c_{ik} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jk} und C^{t} = (c′_{ki}) mit c′_{ki} = c_{ik}. Weiter ist B^{t} = (b′_{kj}) mit b′_{kj} = b_{jk} und A^{t} = (a′_{ji}) mit a′_{ji} = a_{ij}. Dann ist B^{t}A^{t} = D = (d_{ki}) mit d_{ki} = ∑_{j=1}^{n} b′_{kj}a′_{ji} = ∑_{j=1}^{n} b_{jk}a_{ij} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jk} = c_{ik} = c′_{ki} und somit D = C^{t}. □

Wir bezeichnen mit M(n, K) := M(n × n, K) die Menge der quadratischen Matrizen. Das Matrixprodukt ist dann eine Verknüpfung in M(n, K), die kompatiblel mit Addition und Multiplikation mit Skalaren ist. Dadurch wird M(n, K) zu einer sogenannten Algebra. Ein weiteres wichtiges Beispiel einer Algebra ist die Menge der stetigen Funktionen auf einem metrischen Raum.

Definition 39.7 Eine quadratische Matrix A ∈ M(n, K) heißt invertierbar, wenn es ein A^{−1} ∈ M(n, K) gibt mit A · A^{−1} = A^{−1} · A = E_{n}.

Satz 39.8 Die Menge

GL(n, K) = {A ∈ M(n, K) : A ist invertierbar}

der invertierbaren Matrizen ist eine Gruppe mit der Matrixmultiplikation als Verknüpfung und der Einheitsmatrix E_{n} als neutralem Element.

Diese Gruppe GL(n, K) heißt die allgemeine lineare Gruppe.

Beweis. Da E_{n} ein neutrales Element ist, ist nur zu zeigen, daß aus A, B ∈ GL(n, K) auch AB ∈ GL(n, K) folgt. Die Matrix B^{−1}A^{−1} erfüllt (B^{−1}A^{−1})AB = E_{n} unter Verwendung des Assoziativgesetzes. Aus den allgemeinen Gruppeneigenschaften folgt, daß das neutrale Element und das zu A inverse Element eindeutig sind. □

Satz 39.9

i) A ∈ M(n, K) ist genau dann invertierbar, wenn rang(A) = n.

ii) Für A ∈ GL(n, K) gilt (A^{t})^{−1} = (A^{−1})^{t}.

Beweis. i) Ist rang(A) = rang(F) = n, dann ist F surjektiv nach Satz 37.3.ii) und dann bijektiv nach Satz 37.7.

ii) Wir haben (A^{−1})^{t}A^{t} = (AA^{−1})^{t} = E_{n}^{t} = E_{n}, so daß (A^{−1})^{t} das Inverse zu A^{t} ist. □

40 Zur Theorie linearer Gleichungssysteme

Definition 40.1 Eine Teilmenge X ⊆ V eines K-Vektorraums V heißt affiner Unterraum, falls es ein v ∈ V und einen Untervektorraum W ⊆ V gibt, so daß

X = v + W := {x ∈ V : es gibt ein w ∈ W mit x = v + w} .

Beispiel 40.2 Ist V = ℝ^{2} die reelle Zahlenebene, dann sind die eindimensionalen Untervektorräume W ⊆ V die Geraden durch den Nullpunkt. Ein aus der Geraden W durch 0 hervorgehender affiner Unterraum X = v + W ist dann die Parallele zu W durch v. ◁

Satz 40.3 Ist X = v + W ein affiner Unterraum von V, dann gilt i) Für beliebiges v′ ∈ X ist X = v′ + W.

ii) Ist v′ ∈ V und W′ ⊆ V ein Untervektorraum mit v′ + W′ = v + W, so folgt W = W′ und v′ − v ∈ W.

Beweis. i) Wegen v′ ∈ X gibt es ein w′ ∈ W mit v′ = v + w′. Sei x = v + w ∈ X ein beliebiges Element, so schreibt sich x = v′ + w − w′. Also ist X ⊆ v′ + W. Durch Vertauschen von v, v′ folgt v′ + W = X.

ii) Seien x, x′ ∈ X = v + W, dann ist x − x′ ∈ W. Gäbe es eine zweite Darstellung X = v′ + W′, dann ist x − x′ ∈ W′ für alle x, x′, also W = W′. Dann folgt v′ − v ∈ W. □

Da also in einem affinen Unterraum X = v+W der Untervektorraum eindeutig ist, definieren wir die Dimension dim(X) := dim(W) wenn X = v + W.

Wir untersuchen den Lösungsraum

Lös(A, b) := {x ∈ K^{n} : Ax = b}

eines linearen Gleichungssystems Ax = b zu gegebener Matrix A ∈ M(m × n, K) und gegebenem Vektor b ∈ K^{m}. Ist F : K^{n} → K^{m} die durch A ∈ M(m × n, K) definierte lineare Abbildung, F (x) = A · x, so ist Lös(A, b) = F^{−1}(b) und insbesondere Lös(A, 0) = F^{−1}(0) = ker(F). Damit gilt stets 0 ∈ Lös(A, 0), und diese Lösung heißt die triviale Lösung des homogenen Systems. Geht die erweiterte Koeffizientenmatrix (A|b) durch elementare Zeilenumformungen in eine erweiterte Koeffizientenmatrix (Ã|b̃) über, dann gilt Lös(A, b) = Lös(Ã, b̃) nach Satz 6.2.

Satz 40.4 Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax = b aus m Gleichungen mit n Unbekannten. Ist rang(A) = r, dann gilt für die Lösungsräume: i) Lös(A, 0) ⊆ K^{n} ist ein Untervektorraum der Dimension n − r.

ii) Lös(A, b) ⊆ K^{n} ist entweder leer oder ein affiner Raum der Dimension n − r. Ist v ∈ Lös(A, b) eine beliebige Lösung, dann gilt Lös(A, b) = v + Lös(A, 0).

Beweis. i) Sei F : K^{n} → K^{m} die durch F (x) = A · x definierte lineare Abbildung. Nach Satz 37.3 ist Lös(A, 0) = ker(F) ein Untervektorraum. Nach Satz 37.5 ist seine Dimension dim(ker(F)) = dim(K^{n})−dim(im(F)) = n−r wegen rang(A) := dim(im(F)).

ii) Seien v, v′ ∈ Lös(A, b) zwei Lösungen des linearen Gleichungssystems, also Av = b und Av′ = b. Dann ist A(v − v′) = 0, also v − v′ ∈ Lös(A, 0). □

Der Satz besagt, daß man eine allgemeine Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems erhält, indem man zu einer speziellen Lösung des inhomogonen Systems die allgemeine Lösung des homogenen Systems addiert. Sei also (w_{r+1}, …, w_{n}) eine Basis von Lös(A, 0) (wenn r < n) und v ∈ Lös(A, b) eine beliebige spezielle Lösung des inhomogenen Systems, so ist

Lös(A, b) = v + Kw_{r+1} + ⋯ + Kw_{n} mit Kw := span_{K}(w) .

Satz 40.5 Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems Ax = b ist genau dann nicht leer, wenn rang(A, b) = rang(A).

Beweis. Die Matrizen A ∈ M(m × n, K) und (A, b) ∈ M(m × (n + 1), K) beschreiben lineare Abbildungen A : K^{n} → K^{m} bzw. A′ : K^{n+1} → K^{m} mit A(e_{j}) = A′(e_{j}) = ∑_{i=1}^{m} a_{ij}e_{i} für 1 ≤ j ≤ n und A′(e_{n+1}) = b. Damit ist im(A) ⊆ im(A′), also rang(A) ≤ rang(A′), sowie b ∈ im(A′). Ist nun rang(A) = rang(A′), dann ist im(A) = im(A′) und damit b ∈ im(A), das Gleichungssystem ist also lösbar.

Ist rang(A) < rang(A′), dann muß es Vektoren v ∈ im(A′) geben, die nicht in im(A) liegen. Da span(A′(e_{j}))_{j=1,...,n} ⊆ im(A), bleiben nur die b enthaltenden Linearkombinationen, welche nicht in im(A) liegen. Das bedeutet b ∉ im(A). □

Insbesondere ist der Lösungsraum Lös(A, b) für A ∈ M(m × n, K) nichtleer, wenn rang(A) = m, da dann die durch A beschriebene lineare Abbildung surjektiv ist. Das bedeutet, daß Ax = b für jedes b ∈ K^{m} lösbar ist. In diesem Fall heißt das lineare Gleichungssystem universell lösbar. Ist rang(A) < m, so gibt es nicht für alle b ∈ K^{m} eine Lösung. Es ist nur für jene b ∈ K^{m} lösbar, für die die rang(A) = rang(A, b) gilt.

Wir sagen, das lineare Gleichungssystem Ax = b ist eindeutig lösbar, wenn Lös(A, b) nur aus einem Element besteht.

Satz 40.6 Das lineare Gleichungssystem Ax = b für A ∈ M(m × n, K) und b ∈ K^{m} ist genau dann eindeutig lösbar, wenn rang(A) = rang(A, b) = n.

Beweis. Nach Satz 40.5 gibt es eine Lösung, und nach Satz 40.4 ist diese eindeutig. □

Satz 40.7 Die Definitionen 38.7 und 6.9 für den Rang einer Matrix A ∈ M(m× n, K) stimmen überein.

Beweis. Es sei Ã ∈ M(m × n, K) eine aus A durch elementare Zeilenumformungen hervorgehende Matrix. Der Lösungsraum eines LGS bleibt unverändert bei elementaren Zeilenumformungen, d.h. es gilt Lös(A, 0) = Lös(Ã, 0) und damit r := dim(im(A)) = dim(im(Ã)) nach der Dimensionsformel aus Satz 37.5. Sei r̃ die Anzahl der Nicht-Null-Zeilen von Ã und Vr̃ = span(e_{1}, …, er̃) ⊆ K^{m} der durch die ersten r̃ Basisvektoren e_{1}, …, er̃ ∈ K^{m} aufgespannte Untervektorraum. Dann gilt Ã · x ∈ Vr̃ für beliebige x ∈ K^{n}. Andererseits ist nach dem Gaußschen Eliminationsverfahren die Gleichung Ã · x = b̃ für beliebige b̃ ∈ Vr̃ lösbar, d.h. im(Ã) = Vr̃ und somit r̃ = r. □

Ist A ∈ M(n, K) invertierbar, dann ist das lineare Gleichungssystem Ax = b wegen rang(A) = n eindeutig lösbar mit Lösung x = A^{−1}b für beliebiges b ∈ K^{n}. Im nächsten Abschnitt werden wir eine Methode zur Bestimmung der inversen Matrix gewinnen.

41 Elementarmatrizen

Die elementaren Zeilenumformungen, die eine Matrix B ∈ M(m×n, K) (z.B. die erweiterte Koeffizientenmatrix (A, b), welche ein ein lineares Gleichungssystem beschreibt) in Zeilenstufenform bringen, lassen sich durch Linksmultiplikation von B mit geeigneten (m × m)-Matrizen beschreiben. Diese Elementarmatrizen sind, ausgedrückt durch Einheitsmatrix und Standardmatrixbasis nach Beispiel 8.2:

Typ I: B ⟶^{I_{ik}} B̃ ist Matrixmultiplikation B̃ = P_{ik} · B mit

P_{ik} = ( \begin{matrix}1 & & & | & & & & | \\ . & . & . \\ & & 1 & | & & & & | \\ − & − & − & 0 & − & − & − & 1 & − & − & − \\ & & & | & 1 & & & | \\ . & . & . \\ & & & | & & & 1 & | \\ − & − & − & 1 & − & − & − & 0 & − & − & − \\ & & & | & & & & | & 1 \\ . & . & . \\ & & & | & & & & | & & & 1 \end{matrix} )

= E_{m} − E_{ii} − E_{kk} + E_{ik} + E_{ki}

(Angedeutet sind die i-te und k-te Zeile und Spalte. Alle nicht bezeichneten Einträge sind 0.)

Typ II: ist Spezialfall λ = 1 von Typ IV

Typ III: B ⟶^{III_{i}} B̃ ist Matrixmultiplikation B̃ = S_{i}(λ) · B mit

S_{i}(λ) = ( \begin{matrix}1 & & & | \\ . & . & . \\ & & 1 & | \\ − & − & − & λ & − & − & − \\ & & & | & 1 \\ . & . & . \\ & & & | & & & 1 \end{matrix} ) = E_{m} + (λ − 1)E_{ii}

Typ IV: B ⟶^{IV_{ik}(λ)} B̃ ist Matrixmultiplikation B̃ = Q_{ik}(λ) · B mit

Q_{ik}(λ) = ( \begin{matrix}1 & & & | & & & & | \\ . & . & . \\ & & 1 & | & & & & | \\ − & − & − & 1 & − & − & − & 0 & − & − & − \\ & & & | & 1 & & & | \\ . & . & . \\ & & & | & & & 1 & | \\ − & − & − & λ & − & − & − & 1 & − & − & − \\ & & & | & & & & | & 1 \\ . & . & . \\ & & & | & & & & | & & & 1 \end{matrix} ) = E_{m} + λE_{ki}

(Angedeutet sind die i-te und k-te Zeile und Spalte.)

Analog sind elementare Spaltenumformungen einer Matrix A ∈ M(m × n, K) gegeben durch die entsprechenden Rechtsmultiplikationen von A mit Elementarmatrizen P, Q, S ∈ M(n × n, K).

Tatsächlich genügen die Matrizen {S_{i}(λ)} und {Q_{ik}(1)} für Typ III und II, denn Typ I eine Kombination aus mehreren Umformungen vom Typ II und III (ersteres als Spezialfall von IV):

P_{ik} = Q_{ik}(1) S_{k}(−1)Q_{ki}(−1)S_{i}(−1)Q_{ik}(1)S_{i}(−1) ,

denn

(i, k) ⟶^{III_{i}(−1)} (−i, k) ⟶^{II_{ik}} (−i, k−i) ⟶^{III_{i}(−1)} (i, k−i) ⟶^{II_{ki}} (k, k−i) ⟶^{III_{k}(−1)} (k, i−k) ⟶^{II_{ik}} (k, i) .

Für Typ IV gilt

Q_{ij}(λ) = S_{i}(\frac{1}{λ})Q_{ik}(1)S_{i}(λ) ,

denn

(i, k) ⟶^{III_{i}(λ)} (λi, k) ⟶^{II_{ik}} (λi, k + λi) ⟶^{III_{i}( \frac{1}{λ})} (i, k + λi)

Die Elementarmatrizen sind invertierbar mit

P_{ik}^{−1} = P_{ik} ,  (Q_{ik}(λ))^{−1} = Q_{ik}(−λ) ,  (S_{i}(λ))^{−1} = S_{i}(\frac{1}{λ}) .

Eine wichtige Anwendung der Elementarmatrizen ist der folgende Satz:

Satz 41.1 Jede invertierbare Matrix A ∈ GL(n, K) ist ein endliches Produkt von Elementarmatrizen.

Beweis. Da rang(A) = n, führen elementare Zeilenumformungen mit Typ I und IV erst zu einer Dreiecksmatrix mit Diagonalelementen d_{ii} ≠ 0 für alle 1 ≤ i ≤ n, nach weiterer Umformung mit Typ IV dann zu einer Diagonalmatrix mit gleichen Diagonalelementen d_{ii} ≠ 0, und schließlich mit Typ III zur Einheitsmatrix. Damit gilt B_{r} ⋯ B_{2}·B_{1}·A = E_{n}, wobei jedes B_{s} eine Elementarmatrix Q_{ik}(λ) oder S_{i}(λ) ist. Folglich gilt A = B_{1}^{−1} · B_{2}^{−1} ⋯ B_{r}^{−1} und A^{−1} = B_{r} ⋯ B_{2} · B_{1}. □

Eine nützliche Anwendung dieses Beweises besteht in einer effizienten Berechnungsmethode für die inverse Matrix. Durch Vergleich von B_{r} ⋯ B_{2} · B_{1} · A = E_{n} mit A^{−1} = B_{r} ⋯ B_{2} · B_{1} · E_{n} lesen wir ab:

Satz 41.2 Dieselben Zeilenumformungen, welche eine invertierbare Matrix A ∈ GL(n, K) in E_{n} überführen, überführen E_{n} in A^{−1}. □

Beispiel 41.3

( \begin{matrix}9 & 4 & 1 & 0 \\ 11 & 5 & 0 & 1 \end{matrix} ) ⟶^{Q_{12}(− \frac{11}{9} )} ( \begin{matrix}9 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{9} & −\frac{11}{9} & 1 \end{matrix} ) ⟶^{Q_{21}(−36)} ( \begin{matrix}9 & 0 & 45 & −36 \\ 0 & \frac{1}{9} & −\frac{11}{9} & 1 \end{matrix} )
⟶^{S_{1}( \frac{1}{9} )S_{2}(9)} ( \begin{matrix}1 & 0 & 5 & −4 \\ 0 & 1 & −11 & 9 \end{matrix} )

Folglich ist ( \begin{matrix}9 & 4 \\ 11 & 5 \end{matrix} )^{−1} = ( \begin{matrix}5 & −4 \\ −11 & 9 \end{matrix} ), was durch Ausmultiplizieren leicht zu

überprüfen ist. ◁

Ein anderer Weg, diese Rechnung zu verstehen, interpretiert A · A^{−1} = E_{n} als n lineare Gleichungssysteme A · x^{(p)} = b^{(p)}. Dabei sind die x^{(p)} bzw. b^{(p)} mit 1 ≤ p ≤ n gerade die n Spalten von A^{−1} bzw. E_{n}. Anstatt nun die Berechnung von x^{(p)} durch Zeilenumformung jeder dieser erweiterten Koeffizientenmatrizen (A, b^{(p)}) separat durchzuführen, schreiben wir alle Spalten b^{(p)} nebeneinander und formen die entstehende Matrix (A, E_{n}) gleichzeitig um. (Es ist stets dieselbe Rechnung, die A in E_{n} überführt, unabhängig von b).

Man muß zunächst nicht wissen, ob A invertierbar ist, um dieses Verfahren durchzuführen. Wir können sogar nichtquadratische Matrizen A ∈ M(m × n, K) zulassen. Sei also rang(A) = r, dann führen die Zeilenumformungen zu (m − r) Zeilen, in denen sämtliche Einträge gleich 0 sind. Wir erreichen dann bestenfalls die Blockdarstellung

(A, E_{m}) ↦ ( \begin{matrix}D_{r×n} & L_{r×m} \\ 0_{(m−r)×n} & M_{(m−r)×m} \end{matrix} ) ,

wobei die Größe der Matrizen entsprechend D_{r×n} ∈ M(r × n, K) usw. gekennszeichnet ist. Nach Konstruktion als Matrix in spezieller Zeilenstufenform sind r der n ≥ r Spalten von D_{r×n} die paarweise verschiedenen Standardbasisvektoren e_{1}, …, e_{r} ∈ K^{r}.

Es gibt also Elementarmatrizen B_{1}, …, B_{p} ∈ GL(m, K) mit B_{p} ⋯ B_{1} · A =

( \begin{matrix}D_{r×n} \\ 0_{(m−r)×n} \end{matrix} ) und B_{p} ⋯ B_{1} · E_{m} = ( \begin{matrix}L_{r×m} \\ M_{(m−r)×m} \end{matrix} ) =: L^{−1}. Durch Transposition

entsteht die Matrix ( \begin{matrix}D_{r×n} \\ 0_{(m−r)×n} \end{matrix} )^{t} = ( D_{r×n}^{t} 0_{n×(m−r)} ) ∈ M(n × m, K), wobei

nun r der n ≥ r Zeilen von D_{r×n}^{t} =: D̃_{n×r} die transponierten Standardbasisvektoren e_{1}^{t}, …, e_{r}^{t} ∈ K^{r} sind. Elementare Zeilenumformungen überführen diese Matrix

in ( \begin{matrix}E_{r} & 0_{r×(m−r)} \\ 0_{(n−r)×r} & 0_{(n−r)×(m−r)} \end{matrix} ) ∈ M(n × m, K). Es gibt also Elementarmatrizen

C_{1}, …, C_{q} ∈ GL(n, K) mit

C_{q} ⋯ C_{2} · C_{1} · ( \begin{matrix}D_{r×n} \\ 0_{(m−r)×n} \end{matrix} )^{t} = ( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )

und somit nach Rücktransposition

( \begin{matrix}D_{r×n} \\ 0_{(m−r)×n} \end{matrix} ) · (C_{q} ⋯ C_{2} · C_{1})^{t} = ( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) .

Das Produkt dieser Elementarmatrizen R̃ = C_{q} ⋯ C_{2} · C_{1} erhalten wir wieder durch die korrespondierende Zeilenumformung der Einheitsmatrix:

( D̃_{n×r} 0_{n×(m−r)} ∥E_{n}) ↦ ( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ∥R̃) .

Damit haben wir folgenden Satz bewiesen:

Satz 41.4 Zu jeder Matrix A ∈ M(m × n, K) mit rang(A) = r gibt es invertier-

bare Matrizen L ∈ GL(m, K) und R ∈ GL(n, K), so daß A = L·( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )·R^{−1}.

(Dabei ist R = R̃^{t}.)

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 \\ 4 & 5 & 6 & 0 & 1 \end{matrix} ) ⟶^{Q_{12}(−4)} ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & −3 & −6 & −4 & 1 \end{matrix} )

⟶^{Q_{21}( \frac{2}{3} )} ( \begin{matrix}1 & 0 & −1 & −\frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & −3 & −6 & −4 & 1 \end{matrix} ) ⟶^{S_{2}(− \frac{1}{3} )} ( \begin{matrix}1 & 0 & −1 & −\frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & 2 & \frac{4}{3} & −\frac{1}{3} \end{matrix} ) .

Damit ist L^{−1} = ( \begin{matrix}−\frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} & −\frac{1}{3} \end{matrix} ). Die übliche Rechnung für das Inverse liefert

L = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} ).

Nach Transposition berechnen wir

( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ −1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ⟶^{Q_{13}(1) Q_{23}(−2)} ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & −2 & 1 \end{matrix} ) ,

also R̃^{t} = R = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ). Diese Matrix ist nun leicht zu invertieren: R^{−1} =

( \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ). Folglich gilt

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .  ◁

Man kann Satz 41.4 auch abstrakt verstehen: Die Matrix A = (a_{ij}) ∈ M(m × n, K) entspricht einer linearen Abbildung F : K^{n} → K^{m} mit F (e_{j}) = ∑_{i=1}^{m} a_{ij} · e_{i}. Ist rang(F) = rang(A) = r, dann existieren nach Satz 38.11 Basen A = (v_{1}, …, v_{n}) von K^{n} und B = (w_{1}, …, w_{m}) von K^{m}, so daß M_{B}^{A}(F) =

( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) = Ã = (ã_{kl}). Die mit L und R bewirkte Umrechnung von A in Ã ist

ein Beispiel für eine Koordinatentransformation.

Satz 41.6 Für A ∈ M(m × n, K) ist rang(A) = rang(A^{t}).

Beweis. Sei rang(A) = r. Nach Satz 38.11 gibt es angepaßte Basen A in K^{n}

und B in K^{m}, so daß A = L · ( \begin{matrix}E_{r} & 0_{r×(n−r)} \\ 0_{(m−r)×r} & 0_{(m−r)×(n−r)} \end{matrix} ) · R^{−1} für invertierbare

Matrizen L ∈ GL(m, K) und R ∈ GL(n, K). Dann ist A^{t} = (R^{−1})^{t} · B_{r} · L^{t} mit

B_{r} := ( \begin{matrix}E_{r} & 0_{r×(m−r)} \\ 0_{(n−r)×r} & 0_{(n−r)×(m−r)} \end{matrix} ). Mit R ist auch R^{t} invertierbar, also ist (R^{−1})^{t} :

K^{n} → K^{n} ein Isomorphismus. Somit gilt dim(im(A^{t})) = dim(im(B_{r} · L^{t}) ≤ r. Durch Umkehrung von A ↦ A^{t} (oder Verwendung der Surjektivität von L^{t}) folgt die Behauptung. □

42 Kommutative Diagramme und Basiswechsel

Koordinatentransformationen werden hervorgerufen durch einen Basiswechsel in einem Vektorraum. Sind in einem Vektorraum V zwei Basen A = (v_{1}, …, v_{n}) und Ã = (ṽ_{1}, …, ṽ_{n}) gegeben, so existieren nach Satz 38.3 Isomorphismen Φ_{A} : K^{n} → V und ΦÃ : K^{n} → V mit Φ_{A}(e_{i}) = v_{i} und ΦÃ(e_{i}) = ṽ_{i}. Die identitische Abbildung auf V induziert dann einen Isomorphismus T Ã ; A := Φ−1 ; Ã ∘Φ_{A} : K^{n} → K^{n}, den man am besten als kommutatives Diagramm schreibt:

\xymatrix{K^{n} \ar[r]^{Φ_{A}} \ar[d]_{T A ; Ã=Φ−1 ; Ã∘Φ_{A}} & V \ar[d]^{id_{V}} \\ K^{n} \ar[r]_{ΦÃ} & V}  bzw.  \xymatrix{K^{n} \ar[dr]^{Φ_{A}} \ar[dd]_{T A ; Ã=Φ−1 ; Ã∘Φ_{A}} \\  & V \\ K^{n} \ar[ur]_{ΦÃ}}

Dabei bedeutet Kommutativität, daß die Komposition der Abbildungen unabhängig vom Weg ist.

Die darstellende Matrix der identischen Abbildung ist somit T A ; Ã = (T_{ij}) =

MA ; Ã(id_{V}) mit id_{V} (v_{j}) = v_{j} = ∑_{i=1}^{n} T_{ij}ṽ_{i}. Sei v = ∑_{j=1}^{n} x_{j}v_{j} = ∑_{i=1}^{n} y_{i}ṽ_{i} ∈ V,

dann gilt

v = ∑_{j=1}^{n} x_{j}v_{j} = ∑_{i,j=1}^{n} T_{ij}x_{j}ṽ_{i} = ∑_{i=1}^{n} y_{i}ṽ_{i} ⇒ y = T A ; Ã · x .

Kennt man also die Transformationsmatrix T A ; Ã, so kann man die neuen Koordinaten y von v ∈ V bezüglich der Basis Ã aus den alten Koordinaten x bezüglich der Basis A berechnen. Besonders wichtig ist der Fall V = K^{n}. Dann sind Φ_{A} =: A ∈ M(n × n, K) und ΦÃ = Ã ∈ M(n × n, K) selbst Matrizen, gegeben durch die jeweiligen Basisvektoren als Spalten. In diesem Fall ist nach Definition des Matrixprodukts T A ; Ã = Ã^{−1} · A. An Stelle der Lösung eines linearen Gleichungssystems tritt nun die einfachere Aufgabe der Berechnung einer inversen Matrix.

Allgemein läßt sich die darstellende Matrix einer linearen Abbildung F : V → W bezüglich Basen A von V und B von W als kommutatives Diagramm auffassen:

\xymatrix{K^{n} \ar[r]^{Φ_{A}} \ar[d]_{M_{B}^{A}(F)=Φ_{B}^{−1}∘F ∘Φ_{A}} & V \ar[d]^{F} \\ K^{m} \ar[r]_{Φ_{B}} & W}

Durch Kombination mit dem Basiswechsel erhalten wir:

Satz 42.1 (Transformationsformel) Es sei F : V → W eine lineare Abbildung sowie A, Ã Basen von V und B, B̃ Basen von W, mit dim(V) = n und dim(W) = m. Dann ist folgendes Diagramm kommutativ:

\xymatrix{K^{n} \ar[dr]^{Φ_{A}} \ar[dd]_{T A ; Ã} \ar[rrr]^{M_{B}^{A}(F)} &  &  & K^{m} \ar[dl]_{Φ_{B}} \ar[dd]^{T B ; B̃} \\  & V \ar[r]^{F} & W \\ K^{n} \ar[ur]_{ΦÃ} \ar[rrr]_{M Ã ; B̃(F)} &  &  & K^{m} \ar[ul]^{ΦB̃}}

Insbesondere gilt M Ã ; B̃(F) = T B ; B̃ · M_{B}^{A}(F) · (T A ; Ã)^{−1}.

Beweis. Alle Dreiecke und Teilvierecke sind kommuativ, also auch das gesamte Diagramm. □

Insbesondere läßt sich die darstellende Matrix einer linearen Abbildung F : K^{n} → K^{m} bezüglich anderer als der Standardbasen sehr leicht berechnen. Wir betrachten erneut Beispiel 38.9:

Beispiel 42.2 Wir betrachten die durch F ((x, y, z)) = (x − y, 2x + y − z) definierte lineare Abbildung F : ℝ^{3} → ℝ^{2} bezüglich der Basen Ã = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) von ℝ^{3} und B̃ = (w_{1}, w_{2}) von ℝ^{2} mit

v_{1} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , v_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , v_{3} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , w_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) , w_{2} = ( \begin{matrix}2 \\ −1 \end{matrix} ) .

Bezüglich der Standardbasen ist M_{n}^{m}(F) = ( \begin{matrix}1 & −1 & 0 \\ 2 & 1 & −1 \end{matrix} ) (Bilder der Basisvek-

toren als Spalten). Die Transformationsmatrizen sind nach Satz 38.3 und wegen Φ_{A} = id und Φ_{B} = id gegeben als

T A ; Ã = Φ−1 ; Ã = ( \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} )^{−1}

und

T B ; B̃ = Φ−1 ; B̃ = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & −1 \end{matrix} )^{−1} = ( \frac{1}{3} −\frac{1}{3}^{\frac{1}{3} \frac{2}{3}} ) .

Somit gilt

M Ã ; B̃(F) = ( \frac{1}{3} −\frac{1}{3}^{\frac{1}{3} \frac{2}{3}} ) · ( \begin{matrix}1 & −1 & 0 \\ 2 & 1 & −1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−\frac{1}{3} & 1 & 2 \\ −\frac{1}{3} & 0 & −1 \end{matrix} ) ,

in Übereinstimmung mit der ersten Rechnung. ◁

Schließlich können wir den Zusammenhang zwischen Matrixprodukt und Komposition linearer Abbildungen für beliebige endlich-dimensionale Vektorräume formulieren:

Satz 42.3 Gegeben seien Vektorräume U, V, W mit Basen A, B, C sowie lineare Abbildungen G : U → V und F : V → W. Dann gilt M_{C}^{A}(F ∘ G) = M_{B}^{A}(F) · M_{C}^{B}(G).

Beweis. Wir betrachten das folgende Diagramm:

\xymatrix{K^{r} \ar[dr]^{B} \ar[dd]_{A·B} \ar[rrr]^{Φ_{A}} &  &  & U \ar[dl]_{G} \ar[dd]^{F ∘G} \\  & K^{n} \ar[r]^{Φ_{B}} \ar[dl]_{A} & V \ar[dr]^{F} \\ K^{m} \ar[rrr]_{Φ_{C}} &  &  & W}

mit A = M_{B}^{A}(F) = Φ_{C}^{−1} ∘ F ∘ Φ_{B} : K^{n} → K^{m} und B = M_{C}^{B}(G) = Φ_{B}^{−1} ∘ G ∘ Φ_{A} : K^{r} → K^{n}. Alle Teildiagramme sind kommutativ, damit auch das äußere Viereck. □

43 Orthonormalsysteme

Definition 43.1 Sei (V, ⟨ , ⟩) ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum.

i) Zwei Vektoren v, w ∈ V heißen orthogonal (bezüglich des Skalarprodukts), geschrieben v ⊥ w, wenn ⟨v, w⟩ = 0.

ii) Ist A ⊆ V eine beliebige Teilmenge, dann heißt

A^{⊥} := {v ∈ V : v ⊥ a ∀a ∈ A}

das orthogonale Komplement von A in V.

Lemma 43.2 A^{⊥} ist (topologisch) abgeschlossener Untervektorraum von (V, ⟨ , ⟩). Ist U ⊆ V Untervektorraum, so gilt U ∩ U^{⊥} = {0}.

Beweis. Linearkombinationen von v, w ∈ A^{⊥} liegen wieder in A^{⊥}. Für festes a ∈ A ist die Abbildung f_{a} : V → 𝕂 definiert durch f_{a}(v) := ⟨a, v⟩ stetig: Nach Cauchy-Schwarz gilt |f_{a}(v)−f_{a}(w)| = |⟨a, v−w⟩| ≤ ∥a∥∥v−w∥, d.h. f_{a} ist Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstanten ∥a∥. Als Urbild einer abgeschlossenen Menge unter einer stetigen Abbildung ist a^{⊥} = f_{a}^{−1}(0) abgeschlossen, und der Durchschnitt A^{⊥} = ⋂_{a∈A} f_{a}^{−1}(0) beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

Für u ∈ U ∩ U^{⊥} gilt ⟨u, u⟩ = 0 und damit u = 0. □

Definition 43.3 Sei (V, ⟨ , ⟩) ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Eine Familie (v_{1}, …, v_{n}) von Vektoren v_{i} ∈ V heißt

i) orthogonal oder Orthogonalsystem, wenn v_{i} ⊥ v_{j} für alle i ≠ j,

ii) orthonormal oder Orthonormalsystem (ONS), falls zusätzlich ∥v_{i}∥ = 1 für alle 1 ≤ i ≤ n,

iii) Orthonormalbasis (ONB), falls (v_{1}, …, v_{n}) außerdem eine Basis von V ist^{1}.

Für Orthogonalsysteme gilt:

i) Ist in einer orthogonalen Familie (v_{1}, …, v_{n}) der Nullvektor nicht enthalten, v_{i} ≠ 0, so ist (\frac{1}{∥v_{1}∥}v_{1}, …, \frac{1}{∥v_{n}∥}v_{n}) eine orthonormale Familie.

ii) Ist in einer orthogonalen Familie (v_{1}, …, v_{n}) der Nullvektor nicht enthalten, v_{i} ≠ 0, dann ist (v_{1}, …, v_{n}) linear unabhängig: Sei 0 = λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{n}v_{n}, dann ergibt das Skalarprodukt mit sich selbst

0 = |λ_{1}|^{2}∥v_{1}∥^{2} + … |λ_{n}|^{2}∥v_{n}∥^{2} ⇒ λ_{1} = ⋯ = λ_{n} = 0 .

Satz 43.4 (Pythagoras) Für ein ONS (v_{1}, …, v_{n}) gilt ∥ ∑_{i=1}^{n} v_{i}∥^{2} = ∑_{i=1}^{n} ∥v_{i}∥^{2}.

Beweis. ∥ ∑_{i=1}^{n} v_{i}∥^{2} = ⟨ ∑_{i=1}^{n} v_{i} ∑_{j=1}^{n} v_{j}⟩ = ∑_{i,j=1}^{n}⟨v_{i}, v_{j}⟩ = ∑_{i=1}^{n}⟨v_{i}, v_{i}⟩. □

Satz 43.5 Es sei (V, ⟨ , ⟩) euklidischer oder unitärer Vektorraum, U ⊆ V ein Untervektorraum und v ∈ V. Dann gibt es höchstens einen Vektor P_{U}(v) ∈ U mit v − P_{U}(v) ∈ U^{⊥}. Falls existent, so heißt P_{U}(v) die orthogonale Projektion von v auf U.

Beweis. Seien u_{1}, u_{2} ∈ U mit v − u_{1} ∈ U^{⊥} und v − u_{2} ∈ U^{⊥}. Dann ist

\underbrace{u_{1} − u_{2}}_{∈U} = \underbrace{(v − u_{2}) − (v − u_{1})}_{∈U^{⊥}} ∈ U ∩ U^{⊥} ⇒ u_{1} − u_{2} = 0 .  □

Satz 43.6 Es sei (V, ⟨ , ⟩) euklidischer oder unitärer Vektorraum und (v_{1}, …, v_{n}) ein Orthonormalsystem. Sei U := span(v_{1}, …, v_{n}) ⊆ V. Dann gilt:

i) P_{U}(v) = ∑_{i=1}^{n}⟨v_{i}, v⟩v_{i} für alle v ∈ V.

ii) ∥P_{U}(v)∥^{2} = ∑_{i=1}^{n} |⟨v_{i}, v⟩|^{2} ≤ ∥v∥^{2} für alle v ∈ V (Besselsche Ungleichung)

60 iii) Ist v ∈ V, so gilt ∥v − P_{U}(v)∥ < ∥v − u∥ für alle u ∈ U mit u ≠ P_{U}(v).

1Orthonormalbasen gibt es auch in unendlich-dimensionalen euklidischen/unitären Vektorräumen. Die allgemeine Definition erfordert weitere Hilfsmittel aus der Analysis. Wir werden im nächsten Abschnitt mit den Fourierreihen einen wichtigen Fall behandeln.

Preliminary version – 9. Oktober 2014

iv) 0 ≤ ∥v − P_{U}(v)∥^{2} = ∥v∥^{2} − ∥P_{U}(v)∥^{2} ≤ ∥v∥^{2}.

Beweis. i) Wir zeigen: v − P_{U}(v) ∈ U^{⊥}. Nach Satz 43.5 ist P_{U}(v) dann eindeutig. Auf Grund der Linearität genügt es zu zeigen: ⟨v − P_{U}(v), v_{j}⟩ = 0 für alle j = 1, …, n:

⟨v_{j}, v − P_{U}(v)⟩ = ⟨v_{j}, v − ∑_{i=1}^{n}⟨v_{i}, v⟩v_{i}⟩ = ⟨v_{j}, v⟩ − ∑_{i=1}^{n}⟨v_{i}, v⟩⟨v_{j}, v_{i}⟩
= ⟨v_{j}, v⟩ − ⟨v_{j}, v⟩ = 0 .

ii) und iv) Es gilt v − P_{U}(v) ⊥ P_{U}(v) und damit nach Pythagoras

∥v∥^{2} = ∥(v − P_{U}(v)) + P_{U}(v)∥^{2} = ∥v − P_{U}(v)∥^{2} + ∥P_{U}(v)∥^{2} ≥ ∥P_{U}(v)∥^{2} .

Andererseits folgt ∥v − P_{U}(v)∥^{2} = ∥v∥^{2} − ∥P_{U}(v)∥^{2} ≤ ∥v∥^{2}.

iii) Wegen u ≠ P_{U}(v) ist ∥P_{U}(v) − u∥^{2} > 0 und deshalb nach Pythagoras

∥v − u∥^{2} = ∥ \underbrace{v − P_{U}(v)}_{∈U^{⊥}} + \underbrace{P_{U}(v) − u}_{∈U} ∥^{2} = ∥v − P_{U}(v)∥^{2} + ∥P_{U}(v) − u∥^{2}
> ∥v − P_{U}(v)∥^{2} .  □

Eigenschaft iii) aus Satz 43.6 hat folgende interessante Folgerung: Es sei ∅ ≠ W ⊆ V eine Teilmenge. Definieren wir durch d(v, W) := inf_{w∈W} ∥v −w∥ den Abstand von v zu W, so gilt mit obigen Bezeichnungen d(v, U) = ∥v−P_{U}(v)∥. Unter Verwendung der Parallelogrammgleichung und der Vollständigkeit läßt sich in Hilbert-Räumen V allgemein beweisen, daß für abgeschlossene Untervektorräume U ⊆ V der Vektor P_{U}(v) stets existiert und d(v, U) = ∥v − P_{U}(v)∥ erfüllt.

Der folgende Satz hebt die Bedeutung der Orthonormalbasen hervor:

Satz 43.7 (Fourier-Entwicklung) Sei (V, ⟨ , ⟩) euklidischer oder unitärer Vektorraum und (v_{1}, …, v_{n}) ein Orthonormalsystem von V. Dann sind äquivalent:

i) (v_{1}, …, v_{n}) ist Orthonormalbasis.

ii) Für alle v ∈ V gilt v = ∑_{i=1}^{n}⟨v_{i}, v⟩v_{i} (Fourier-Entwicklung)

iii) Für alle v, w ∈ V gilt ⟨v, w⟩ = ∑_{i=1}^{n}⟨v, v_{i}⟩⟨v_{i}, w⟩

(Parsevalsche Gleichung)

iv) Für alle v ∈ V gilt ∥v∥^{2} = ∑_{i=1}^{n} |⟨v_{i}, v⟩|^{2}

v) Ist v ∈ V mit ⟨v_{i}, v⟩ = 0 für alle i = 1, …, n, so gilt v = 0.

Beweis. i)⇒ii) Insbesondere ist (v_{1}, …, v_{n}) Basis, also gilt v = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}v_{i} mit eindeutig bestimmten λ_{i} ∈ 𝕂. Dann ist ⟨v_{j}, v⟩ = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}⟨v_{j}, v_{i}⟩ = λ_{j}.

ii)⇒iii)

⟨v, w⟩ = ⟨ ∑_{i=1}^{n}⟨v_{i}, v⟩v_{i}, ∑_{j=1}^{n}⟨v_{i}, w⟩v_{i}⟩ = ∑_{i,j=1}^{n} \overline{⟨v_{i}, v⟩}⟨v_{i}, w⟩⟨v_{i}, v_{j}⟩ = ∑_{i=1}^{n}⟨v, v_{i}⟩⟨v_{i}, w⟩.

iii)⇒iv) Setze w = v.

iv)⇒v) Sei ⟨v_{i}, v⟩ = 0 für alle i = 1, …, n, so folgt ∥v∥^{2} = ∑_{i=1}^{n} |⟨v_{i}, v⟩| = 0, also v = 0.

v)⇒i) Sei U := span(v_{1}, …, v_{n}). Zu zeigen ist V = U. Angenommen, es gäbe ein w ∈ V mit w ∉ U. Also ist w − P_{U}(w) ≠ 0. Wegen w − P_{U}(w) ∈ U^{⊥} gilt ⟨w − P_{U}(w), v_{j}⟩ = 0 für alle i = 1, …, n und somit w − P_{U}(w) = 0 nach v), Widerspruch. □

In sogenannten separablen unendlich-dimensionalen Hilbert-Räumen gibt es Folgen (v_{n})_{n∈ℕ}, die ein ONS bilden und die Eigenschaften ii)–v) haben, wenn die endlichen Summen durch Reihen ersetzt werden. Dementsprechend nennt man solche Folgen (v_{n})_{n∈ℕ} ebenfalls eine ONB (jetzt im unendlich-dimensionalen Hilbert-Raum). Im nächsten Abschnitt betrachten wir ein wichtiges Beispiel.

Satz 43.8 (Orthonormalisierungssatz) Sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und sei W ⊆ V ein Untervektorraum mit Orthonormalbasis (w_{1}, …, w_{m}). Dann gibt es eine Ergänzung zu einer Orthonormalbasis (w_{1}, …, w_{m}, w_{m+1}, …, w_{n}) von V.

Insbesondere besitzt jeder endlich-dimensionale euklidische oder unitäre Vektorraum eine Orthonormalbasis.

Beweis (Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren). Für W = V ist alles klar. Andernfalls gibt es einen Vektor v ∈ V mit v ∉ W. Seine Projektion auf W ist

P_{W} (v) = ⟨w_{1}, v⟩w_{1} + ⋯ + ⟨w_{m}, v⟩w_{m} .

Damit ist v−P_{W} (v) ∈ W^{⊥} und v−P_{W} (v) ≠ 0 (sonst wäre v ∈ W). Setze w_{m+1} := \frac{1}{∥v−P_{W} (v)∥}(v − P_{W} (v)), dann ist die Familie (w_{1}, …, w_{m}, w_{m+1}) orthonormal, und W′ := span(w_{1}, …, w_{m}, w_{m+1}) ist (m+1)-dimensionaler Untervektorraum von V mit Orthonormalbasis (w_{1}, …, w_{m+1}). Durch Wiederholung des Verfahrens erhält man eine Orthonormalbasis von V. □

Beispiel 43.9 Sei V = ℝ^{3} und U ⊆ V die von den Vektoren u_{1} = (2, 1, 2) und u_{2} = (1, 1, 3) aufgespannte Ebene. Gesucht ist die Projektion des Vektors v = (1, 4, 9) auf U und der Abstand von v zu U.

Zunächst wird durch das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren das System (u_{1}, u_{2}) in ein Orthonormalsystem überführt. Dazu ist w_{1} := \frac{u_{1}}{∥u_{1}∥} = \frac{1}{3}(2, 1, 2) und dann P_{ℝw_{1}}(u_{2}) = ⟨w_{1}, u_{2}⟩w_{1} = \frac{1}{9}(2 + 1 + 6) · (2, 1, 2) = (2, 1, 2). Es folgt u_{2} − P_{ℝw_{1}}(u_{2}) = (−1, 0, 1) und damit w_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}(−1, 0, 1). Somit gilt

P_{U}(v) = ⟨w_{1}, v⟩w_{1} + ⟨w_{2}, v⟩w_{2}
= \frac{1}{9}(2 + 4 + 18) · (2, 1, 2) + \frac{1}{2}(−1 + 0 + 9) · (−1, 0, 1)
= (\frac{16}{3}, \frac{8}{3}, \frac{16}{3}) + (−4, 0, 4) = (\frac{4}{3}, \frac{8}{3}, \frac{28}{3}) .

Schließlich ist

v − P_{U}(v) = (1, 4, 9) − (\frac{4}{3}, \frac{8}{3}, \frac{28}{3}) = ( − \frac{1}{3}, \frac{4}{3}, −\frac{1}{3})

und damit d(v, U) = ∥v − P_{U}(v)∥ = \frac{1}{3} \sqrt{18} = \sqrt{2}. ◁

In euklidischen Vektorräumen läßt sich der Winkel zwischen Vektoren v, w ∈ V erklären als

cos ∡(v, w) = \frac{⟨v, w⟩}{∥v∥ ∥w∥} .

Wegen Cauchy-Schwarz ist die rechte Seite eine reelle Zahl aus [−1, 1]. Im ℝ^{n} mit dem Standardskalarprodukt ist das die geometrische Winkelformel. Sie überträgt sich auf allgemeine euklidischen Vektorräume, ist aber nicht sinnvoll in unitären Vektorräumen.

Beispiel 43.10 Der Winkel zwischen den Vektoren v = (1, 4, 9) und P_{U}(v) = (\frac{4}{3}, \frac{8}{3}, \frac{28}{3}) = \frac{4}{3}(1, 2, 7) aus Beispiel 43.9 berechnet sich zu

cos ∡(v, P_{U}(v)) = \frac{1 + 8 + 63}{\sqrt{(1 + 16 + 81)(1 + 4 + 49)}} = \frac{72}{\sqrt{98 · 54}} = \frac{12}{7\sqrt{3}} .  ◁

Schließlich können wir für endlich-dimensionale Untervektorräume das orthogonale Komplement genauer charakterisieren.

Satz 43.11 Es sei (V, ⟨ , ⟩) ein euklidischer oder unitärer Vektorraum und U ⊆ V ein endlich-dimensionaler Untervektorraum. Dann gilt:

i) V = U ⊕U^{⊥}. In diesem Fall heißt U ⊕U^{⊥} die orthogonale direkte Summe.

ii) Ist P_{U} : V → U die orthogonale Projektion auf U, so ist P_{U^{⊥}} = id_{V} −P_{U} : V → U^{⊥} die orthogonale Projektion auf U^{⊥}.

Beweis. i) Nach Satz 43.8 besitzt U eine Orthonormalbasis (w_{1}, …, w_{n}). Nach Satz 43.6 ist dann die orthogonale Projektion eines beliebigen Vektors v ∈ V auf

U gegeben durch P_{U}(v) = ∑_{i=1}^{n}⟨w_{i}, v⟩w_{i}. Damit ist v = \underbrace{v − P_{U}(v)}_{∈U^{⊥}} + \underbrace{P_{U}(v)}_{∈U} ∈

U^{⊥} + U, also V = U + U^{⊥} und U ∩ U^{⊥} = {0} nach Satz 43.11.

ii) folgt aus (id_{V} − P_{U})(v) = v − P_{U}(V) und i). □

44 Fourier-Reihen

Definition 44.1 Eine Funktion f : [0, T] → ℂ heißt stückweise stetig auf [0, T], wenn f auf [0, T] beschränkt ist und es eine endliche Unterteilung 0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{m} = T gibt, so daß f auf jedem offenen Teilintervall ]t_{i−1}, t_{i}[ stetig ist.

Die Summe zweier auf [0, T] stückweise stetiger Funktionen f, g wird bezüglich der Vereinigung der Unterteilungen von f und von g definiert. Gleichheit von stückweise stetigen Funktionen f, g ∈ C_{sw}([0, T]) wird erklärt als f = g genau dann, wenn (f − g)(x) ≠ 0 für höchstens endlich viele Punkte x ∈ {t_{0}, …, t_{m}}. Insbesondere wird auf diese Weise f = 0 erklärt. Mit diesen Konventionen wird die Menge C_{sw}([0, T]) der stückweise stetigen Funktionen zu einem Vektorraum. Für f, g ∈ C_{sw}([0, T]) mit gemeinsamer Unterteilung 0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{m} = T definieren wir

⟨f, g⟩ = \frac{1}{T} ∫_{[0,T]} dt \overline{f(t)}g(t) := lim_{ϵ↘0} ∑_{i=1}^{m} \frac{1}{T} ∫_{t_{i−1}+ϵ}^{t_{i}−ϵ} dt \overline{f(t)}g(t) .  (*)

Dabei ist 2ϵ < min_{i}(t_{i} − t_{i−1}) zu wählen. Wegen der Stetigkeit der Funktionen auf beliebigen [t_{i−1} + ϵ, t_{i} − ϵ] existiert das mehrfach uneigentliche Integral ∫_{[0,T]}. Linearität von ⟨ , ⟩ in der 2. Komponente und ⟨f, g⟩ = \overline{⟨g, f⟩} sowie ⟨f, f⟩ ≥ 0 sind klar. Gleichheit ⟨f, f⟩ = 0 genau für f = 0 ∈ C_{sw}([0, T]) folgt aus der Stetigkeit in jedem Teilintervall [t_{i−1} + ϵ, t_{i} − ϵ]. (Die Nullfunktion f = 0 ∈ C_{sw}([0, T]) darf in t_{i} beliebige Werte annehmen.) Somit ist (C_{sw}([0, T]), ⟨ , ⟩) ein unendlichdimensionaler unitärer Vektorraum. Er enthält insbesondere alle stetigen Funktionen und alle Treppenfunktionen. Für stetige Funktionen ist ∫_{[0,T]} = ∫_{0}^{T}, und

für Treppenfunktionen ist ∫_{[0,T]} = ∫_{0}^{T} das Integral aus Definition 28.3.

Unser Ziel ist die Charakterisierung einer (unendlichen) Orthonormalbasis in (C_{sw}([0, T]), ⟨ , ⟩).

Satz 44.2 Für n ∈ ℤ werden durch e_{n}(t) := e^{inω_{T} t} mit ω_{T} := \frac{2π}{T} stetige Funktionen e_{n} ∈ C([0, T]) ⊆ C_{sw}([0, T]) definiert. Dann ist (e_{n})_{n∈ℤ} ein unendliches Orthonormalsystem für (C_{sw}([0, T]), ⟨ , ⟩).

Beweis. Wegen der Stetigkeit der e_{k} ist das Skalarprodukt (∗) durch das Riemann-Integral über [0, T] gegeben:

⟨e_{k}, e_{l}⟩ = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} dt e^{i(l−k)ω_{T} t}

= \{ \begin{matrix}\frac{1}{T} ∫_{0}^{T} dt 1 = 1 für & k = l \\ \frac{1}{iT (l − k)ω_{T}} e^{i(l−k)ω_{T} t}|_{0}^{T} = \frac{(e^{i(l−k)·2π} − 1)}{iT (l − k)ω_{T}} = 0 für & k ≠ l \end{matrix}

□

64

Preliminary version – 9. Oktober 2014

Die Verallgemeinerung der Orthonormalbasen aus Satz 43.7 auf unendlichdimensionale Vektorräume erfordert einen geeigneten Konvergenzbegriff. Für die stetigen Funktionen fassen wir zusammen:

Definition 44.3 Eine Folge (f_{n}) stetiger Funktionen f_{n} ∈ C([a, b]) heißt

i) punktweise konvergent gegen f, wenn für jedes x ∈ [a, b] gilt

lim_{n→∞} |f_{n}(x) − f(x)| = 0 ,

ii) gleichmäßig konvergent gegen f, wenn

lim_{n→∞} ∥f_{n} − f∥_{∞} = lim_{n→∞} sup_{x∈[a,b]} |f_{n}(x) − f(x)| = 0 ,

iii) im quadratischen Mittel konvergent, wenn

lim_{n→∞} ∥f_{n} − f∥_{2} = lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} dx |f_{n}(x) − f(x)|^{2} = 0 .

Aus ii) folgt i) und iii), aber es gilt keine der Umkehrungen, und zwischen i) und iii) gibt es keine allgemeine Beziehung.

Definition 44.4 Es sei f ∈ C_{sw}([0, T]). Für N ∈ ℕ und x ∈ [0, T] heißt

(S_{N}f)(x) := ∑_{k=−N}^{N}⟨e_{k}, f⟩e_{k}(x) = ∑_{k=−N}^{N} \frac{1}{T} ( ∫_{[0,T]} dt e^{−ikω_{T} t}f(t))e^{ikω_{T} x}

das N-te Fourier-Polynom von f. Wir sagen, die Reihe S_{N}f = ∑_{k=−N}^{N}⟨e_{k}, f⟩e_{k} konvergiert

i) punktweise gegen f, falls lim_{N→∞}(S_{N}f)(x) = f(x) für alle x ∈ [0, T],

ii) gleichmäßig gegen f, falls lim_{N→∞} ∥S_{N}f − f∥_{∞} = 0,

iii) im quadratischen Mittel gegen f, falls lim_{N→∞} ∥S_{N}f − f∥_{2} = 0.

Jedes Fourier-Polynom S_{N}f ist stetig, und wegen \overline{e_{k}} = e_{−k} gilt

\overline{S_{N}f} = \overline{∑_{k=−N}^{N}⟨e_{k}, f⟩e_{k}} = ∑_{k=−N}^{N}⟨f, e_{k}⟩e_{−k} = ∑_{k=−N}^{N}⟨e_{−k}, \overline{f}⟩e_{−k} = S_{N} f̄ .

Insbesondere ist für reellwertige Funktionen f auch S_{N}f reellwertig.

Satz 44.5 (Fourier-Entwicklung) Es seien f, g ∈ C_{sw}([0, T]). Dann gilt:

i) Die Fourier-Reihe Sf := ∑_{n=−∞}^{∞}⟨e_{n}, f⟩e_{n} von f konvergiert im quadratischen Mittel gegen f.

ii) ⟨f, g⟩ = ∑_{n=−∞}^{∞}⟨f, e_{n}⟩⟨e_{n}, g⟩ (Parsevalsche Gleichung).

iii) \frac{1}{T} ∫_{[0,T]} dt ∥f(t)∥^{2} = ∥f∥_{2}^{2} = ∑_{n=−∞}^{∞} |⟨e_{n}, f⟩|^{2} .

iv) Ist ⟨e_{k}, f⟩ = 0 für alle k ∈ ℤ, so folgt f = 0 ∈ C_{sw}([0, T]).

Da es sich um analoge Aussagen zu Satz 43.7 handelt, sagt man, (e_{k})_{k∈ℤ} ist Orthonormalbasis von C_{sw}([0, T]).

Beweis. Der Hauptschritt ist der Beweis von i), den wir später führen.

i)⇒ii) Nach der Parsevalschen Gleichung Satz 43.7.iii) für den endlichdimensionalen Vektorraum U = span{e_{i} : −N ≤ i ≤ N} ist ⟨S_{N}f, S_{N}g⟩ = ∑_{n=−N}^{N} |⟨e_{n}, f⟩|^{2}. Andererseits erhalten wir mit Cauchy-Schwarz

|⟨f, g⟩ − ⟨S_{N}f, S_{N}g⟩| = |⟨f − S_{N}f, g⟩ + ⟨S_{N}f, g − S_{N}g⟩|
≤ |⟨f − S_{N}f, g⟩| + |⟨S_{N}f, g − S_{N}g⟩|
≤ ∥f − S_{N}f∥_{2} ∥g∥_{2} + ∥S_{N}f∥_{2} ∥g − S_{N}g∥_{2} .

Das Quadrat stückweise stetiger Funktionen ist stückweise stetig und damit uneigentlich Riemann-integrierbar, also sind ∥g∥_{2} und ∥S_{N}f∥_{2} beschränkt, und nach i) gilt lim_{N→∞} ∥f − S_{N}f∥_{2} = 0 und lim_{N→∞} ∥g − S_{N}g∥_{2} = 0. Damit konvergiert die Summe in ii) gegen ⟨f, g⟩. Setzt man g = f, so folgt iii). Ist ⟨e_{k}, f⟩ = 0, so folgt ∥f∥_{2} = 0 und damit f = 0 ∈ C_{sw}([0, T]), also iv).

Verbleibt der Beweis von i). Es genügt, reellwertige stückweise stetige Funktionen f (die nach Definition auch beschränkt sind) zu betrachten, für die das N-te Fourier-Polynom S_{N}f ebenfalls reell ist. Da für f = 0 ∈ C_{sw}([0, T]) die Aussage klar ist, können wir annehmen, daß f ≠ 0 auf einer offenen Teilmenge von [0, T] gilt. Dann ist auch 0 < ∥f∥_{∞}, und durch Skalieren mit \frac{1}{∥f∥_{∞}} können wir uns dann auf reellwertige stückweise stetige Funktionen mit ∥f∥_{∞} ≤ 1 beschränken. Diese sind Riemann-integrierbar. Folglich gibt es zu jedem ϵ > 0 Treppenfunktionen ϕ, ψ auf [0, T] mit −1 ≤ ϕ ≤ f ≤ ψ ≤ 1 und ∫_{[0,T]} dt(ψ − ϕ)(t) < \frac{T}{2} ϵ^{2}. Damit gilt

∥f − S_{N}f∥_{2} = ∥(f − ϕ) − S_{N}(f − ϕ) + (ϕ − S_{N}ϕ)∥_{2}
≤ ∥(f − ϕ) − S_{N}(f − ϕ)∥_{2} + ∥ϕ − S_{N}ϕ∥_{2} .

Nach Satz 43.6.iv) und wegen −1 ≤ ϕ ≤ f ≤ ψ ≤ 1 gilt

∥(f − ϕ) − S_{N}(f − ϕ)∥_{2}^{2} = ∥f − ϕ∥_{2}^{2} − ∥S_{N}(f − ϕ)∥_{2}^{2} ≤ ∥f − ϕ∥_{2}^{2}

= \frac{1}{T} ∫_{[0,T]} dt |(f − ϕ)(t)|^{2} ≤ \frac{1}{T} ∫_{[0,T]} dt |(ψ − ϕ)(t)|^{2}

= \frac{1}{T} ∫_{[0,T]} dt \underbrace{|(ψ + ϕ)(t)|}_{≤2}(ψ − ϕ)(t) < ϵ^{2} ,

also ∥(f − ϕ) − S_{N}(f − ϕ)∥_{2} < ϵ. Das nächste Lemma liefert die Abschätzung ∥ϕ − S_{N}ϕ∥_{2} < ϵ für genügend großes N, womit die Behauptung bewiesen ist. □

Lemma 44.6 Es sei ϕ eine Treppenfunktion auf [0, T]. Dann gibt es zu jedem ϵ > 0 ein N_{0} ∈ ℕ, so daß ∥ϕ − S_{N}ϕ∥_{2} < ϵ für alle N ≥ N_{0}.

Beweis. Wir führen zunächst den Beweis für die Treppenfunktion ϕ =

\{ \begin{matrix}1 für & 0 ≤ x ≤ a \\ 0 für & a < x ≤ T \end{matrix} mit 0 < a < T. Dann gilt

⟨e_{k}, ϕ⟩ = \frac{1}{T} ∫_{0}^{a} dt e^{−ikω_{T} t} = \{ \begin{matrix}\frac{a}{T} für & k = 0 \\ \frac{1}{−i2πk}(e^{−ikω_{T} a} − 1) für & k ≠ 0 \end{matrix}

und folglich

|⟨e_{k}, ϕ⟩|^{2} = \{ \begin{matrix}\frac{a^{2}}{T^{2}} für & k = 0 \\ \frac{1}{2π^{2}k^{2}} (1 − cos(kω_{T} a)) für & k ≠ 0 \end{matrix}

(Verwende (cos x−i sin x−1)(cos x+i sin x−1) = 2−2 cos x). Nach Satz 43.6.iv) gilt

∥ϕ − S_{N}ϕ∥_{2}^{2} = ∥ϕ∥_{2}^{2} − ∥S_{N}ϕ∥_{2}^{2} = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} dt (ϕ(t))^{2} − ∑_{k=−N}^{N} |⟨e_{k}, ϕ⟩|^{2}

= \frac{a}{T} − \frac{a^{2}}{T^{2}} − \frac{1}{π^{2}} ∑_{k=1}^{N} \frac{1}{k^{2}} + \frac{1}{π^{2}} ∑_{k=1}^{N} \frac{cos(kω_{T} a)}{k^{2}} .

Nach Satz 34.8 gilt

∑_{k=1}^{∞} \frac{cos(kx)}{k^{2}} = (\frac{π − x}{2})^{2} − \frac{π^{2}}{12} für alle x ∈ [0, 2π] , ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} = \frac{π^{2}}{6} .

Für x = \frac{2πa}{T} ∈ [0, 2π] ergibt sich

lim_{N→∞} (\frac{1}{π^{2}} ∑_{k=1}^{N} \frac{cos(kω_{T} a)}{k^{2}} − \frac{1}{π^{2}} ∑_{k=1}^{N} \frac{1}{k^{2}} ) = \frac{a^{2}}{T^{2}} − \frac{a}{T} .

Folglich gibt es zu jedem ϵ′ > 0 ein N_{0} ∈ ℕ mit ∥ϕ − S_{N}ϕ∥_{2}^{2} < (ϵ′)^{2} für alle N ≥ N_{0} und beliebiges a ∈ [0, T].

Eine beliebige Treppenfunktion läßt sich, bis auf die beim Integral unwesentlichen Werte an den Sprungstellen 0 = x_{0} < x_{1} ⋯ < x_{m} = T, darstel-

len als Linearkombination ϕ = ∑_{i=1}^{m} c_{i}ϕ_{i}, wobei ϕ_{i}(x) = \{ \begin{matrix}1 für & 0 ≤ x ≤ x_{i} \\ 0 für & x_{i} < x ≤ T \end{matrix}

Treppenfunktion von der obigen Form ist. Dann ist nach Dreiecksungleichung ∥ϕ − S_{N}ϕ∥_{2} ≤ ∑_{i=1}^{m} |c_{i}|∥ϕ_{i} − (S_{N}ϕ_{i})∥_{2} < ϵ′ ∑_{i=1}^{m} |c_{i}| für alle N ≥ N_{0}. Dann folgt die Behauptung für die Wahl ϵ′ = \frac{ϵ}{1+∑_{i=1}^{m} |c_{i}|}. □

Definition 44.7 Die Abbildung

: C_{sw}([0, T]) → ℓ^{2}(ℤ) , f ↦ f̂ = (f̂(k))_{k∈ℤ} mit f̂(k) := ⟨e_{k}, f⟩

heißt Fourier-Transformation. Dabei ist ℓ^{2}(ℤ) = {a : ℤ → ℂ : ∑_{k=−∞}^{∞} |a(k)|^{2} < ∞} der Hilbertsche Folgenraum mit dem zugehörigen Skalarprodukt ⟨a, b⟩_{ℓ^{2}(ℤ)} = ∑_{k=−∞}^{∞} \overline{a(k)}b(k),

Nach Satz 44.5.ii) ist die Fourier-Transformation eine Isometrie, d.h. ⟨f, g⟩ = ⟨f̂, ĝ⟩_{ℓ^{2}(ℤ)}.

Bemerkungen.

i) In Satz 44.5 wird nicht behauptet, daß stets Sf ∈ C_{sw}([0, T]) gilt. Der Grund ist, daß C_{sw}([0, T]) nicht vollständig ist. Es gibt also Folgen (f_{n}) stückweise stetiger Funktionen, die zwar im quadratischen Mittel konvergent sind, für deren Grenzwert aber lim_{n→∞} f_{n} ∉ C_{sw}([0, T]) gilt. Tatsächlich stellt sich heraus, daß Satz 44.5 sogar für eine deutlich größere Klasse von Funktionen gilt, nämlich für die quadratisch Lebesgue-integrierbaren Funktion L^{2}([0, T]), die wir im 3. Semester einführen.

ii) Da C([0, T]) in gewisser Weise die “falsche” Klasse von Funktionen für die Fourier-Reihe ist, gibt es einige Überraschungen: Es gibt Beispiele stetiger Funktionen f ∈ C([0, T]), für die die Fourierreihe Sf := ∑_{k=−∞}^{∞}⟨e_{k}, f⟩e_{k} nicht in jedem Punkt x ∈ [0, T] konvergent ist, und selbst wenn sie konvergiert, muß der Grenzwert nicht mit f(x) übereinstimmen. Das folgt schon aus der Tatsache, daß wegen e_{k}(0) = e_{k}(T) im Fall der Konvergenz stets (Sf)(0) = (Sf)(T) gilt, während f(0) ≠ f(T) sein kann.

iii) Wir zeigen im nächsten Satz 44.9, daß für stückweise stetig differenzierbare Funktionen die Fourier-Reihe sogar gleichmäßig konvergiert. Man kann etwas allgemeiner folgendes zeigen: Existiert für eine Funktion f ∈ C([0, T]) in x ∈ [0, T] sowohl die linksseitige als auch die rechtsseitige Ableitung, dann konvergiert (Sf)(x) gegen den arithmetischen Mittelwert \frac{1}{2}(f(x_{+})+f(x_{−})) := lim_{ϵ↘0} \frac{1}{2}(f(x+ϵ)+f(x−ϵ)), mit T_{+} ↦ 0_{+} und 0_{−} ↦ T_{−}.

iv) Oft definiert man die Fourier-Reihe für T -periodische (stetige) Funktionen, also (stetige) Funktionen f : ℝ → ℂ mit f(x + T) = f(x) für alle x ∈ ℝ. Dann kann man statt ∫_{0}^{T} über ein beliebiges anderes Intervall der Länge T integrieren, ∫_{a}^{a+T}. Insbesondere ist f(0) = f(T).

v) Statt (e_{k})_{k∈ℤ} kann auch das reelle Orthogonalsystem ((c_{n})_{n∈ℕ}, (s_{n})_{n∈ℕ\{0}}) benutzt werden, mit c_{n}(x) = cos(nω_{T} x) und s_{n}(x) = sin(nω_{T} x). Zu beachten ist dann eine um einen Faktor 2 unterschiedliche Normierung von c_{0} zu c_{n}, s_{n} mit n > 0!

Definition 44.8 Eine Funktion f ∈ C([0, T]) heißt stückweise stetig differenzierbar, wenn es eine Unterteilung 0=t_{0}< … <t_{m}=T gibt, so daß f auf der offenen Teilmenge [0, 2π] \ {t_{0}, …, t_{m}} = ]t_{0}, t_{1}[ ∪]t_{1}, t_{2}[ ∪ ⋯ ∪]t_{m−1}, t_{m}[ stetig differenzierbar ist.

Satz 44.9 Es sei f eine auf [0, T] stückweise stetig differenzierbare Funktion mit f(0) = f(T) (d.h f sei T -periodisch). Dann gilt

i) f̂′(k) = (ikω_{T})f̂(k) für alle k ∈ ℤ.

ii) lim_{N→∞} ∥S_{N}f − f∥_{∞} = 0, d.h. (S_{N}f)_{N∈ℕ} konvergiert gleichmäßig gegen f.

Beweis. i) Es gilt f′ ∈ C_{sw}([0, T]) und damit nach partieller Integration

f̂′(k) = \frac{1}{T} ∫_{[0,T]} dx f′(x)e^{−ikω_{T} x} = lim_{ϵ↘0} \frac{1}{T} ∑_{l=1}^{m} ∫_{t_{l−1}+ϵ}^{t_{l}−ϵ} dx f′(x)e^{−ikω_{T} x}

= lim_{ϵ↘0} (\frac{1}{T} ∑_{l=1}^{m} (f(t_{l} − ϵ)e^{−ikω_{T} (t_{l}−ϵ)} − f(t_{l−1} + ϵ)e^{−ikω_{T} (t_{l−1}+ϵ)}

− ∫_{t_{l−1}+ϵ}^{t_{l}−ϵ} dx f(x)(e^{−ikω_{T} x})′))

= ikω_{T} lim_{ϵ↘0} (\frac{1}{T} ∑_{l=1}^{m} ∫_{t_{l−1}+ϵ}^{t_{l}−ϵ} dx f(x) e^{−ikω_{T} x}) = ikω_{T} f̂(k) ,

wegen der Stetigkeit von f und der T -Periodizität f(t_{0}) = f(0) = f(T) = f(t_{m}). ii) Nach Cauchy-Schwarz im unitären Vektorraum ℓ^{2}(ℕ) gilt

∑_{k=1}^{∞} |f̂(k)| = ∑_{k=1}^{∞} |\frac{1}{ikω_{T}} f̂′(k)| ≤ \underbrace{∑_{k=1}^{∞} |\frac{1}{ikω_{T}} |^{2}}_{=_{\frac{π^{2}}{6ω^{2}_{T}}}} \underbrace{∑_{l=1}^{∞} |f̂′(l)|^{2}}_{f̂∈ℓ^{2}(ℤ)} < ∞ .

Analog für f̂(−k). Also folgt ∑_{k∈ℤ} |f̂(k)| < ∞, d.h. zu ϵ > 0 gibt es ein N(ϵ), so daß für alle N ≥ N′ ≥ N(ϵ) gilt

∥S_{N}f − S_{N′}f∥_{∞} := sup_{x∈[0,T]} | ∑_{k=−N}^{N} f̂(k)e^{ikω_{T} x} − ∑_{k=−N′}^{N′} f̂(k)e^{ikω_{T} x}|

= sup_{x∈[0,T]} | ∑_{N′≤|k|≤N} f̂(k)e^{ikω_{T} x}| ≤ ∑_{N′≤|k|≤N} |f̂(k)| < ϵ .

Damit ist in jedem Punkt x ∈ [0, T] die Folge ((S_{N}f)(x))_{N∈ℕ} komplexer Zahlen eine Cauchy-Folge, welche punktweise gegen eine Grenzfunktion (S_{∞}f)(x) = lim_{N→∞}(S_{N}f)(x)) konvergiert. Damit kann in obiger Abschätzung N′ → ∞ genommen werden, so daß

sup_{x∈[0,T]} ∥S_{N}f − S_{∞}f∥_{∞} < ϵ für alle N ≥ N(ϵ) .

Somit ist (S_{N}f)_{N∈ℕ} eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen die Grenzfunktion S_{∞}f konvergiert. Nach Satz 33.3 ist S_{∞}f dann stetig. Aus gleichmäßiger Konvergenz folgt Konvergenz im quadratischen Mittel, damit konvergiert (S_{N}f)_{N∈ℕ} auch im quadratischen Mittel gegen S_{∞}f. Andererseits konvergiert (S_{N}f)_{N∈ℕ} nach Satz 44.5 im quadratischen Mittel gegen f. Nach Dreiecksungleichung gilt dann ∥f − S_{∞}f∥_{2} = 0, und da f und S_{∞}f stetig sind, folgt f = S_{∞}f = lim_{N→∞} S_{N}f. □

Durch Induktion folgt f̂^{(n)}(k) = (ikω_{T})^{n}f̂(k) für eine n-mal stückweise stetig differenzierbare Funktion f, die (n−1)-mal stetig differenzierbar ist mit f^{(p)}(0) = f^{(p)}(T) für alle p = 0, …, n − 1.

Die Fourier-Entwicklung stückweise stetig differenzierbarer Funktionen erlaubt oft die Bestimmung des Grenzwertes von Reihen.

Beispiel 44.10 Gesucht ist die Fourier-Entwicklung der Funktion f(x) = cos(ax), für a ∉ ℤ, im Intervall [−π, π]. Wir setzen sie (2π)-periodisch auf ℝ fort. Dann kann im Fourier-Integral über ein beliebiges Intervall der Länge T = 2π integriert werden, z.B. über [−π, π]. Also haben wir für a ∉ ℤ

f̂(k) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} dt e^{−ikt} cos(at) = \frac{1}{4π} ∫_{−π}^{π} dt (e^{−i(k−a)t} + e^{−i(k+a)t})

= \frac{1}{−4πi(k − a)}(e^{−i(k−a)π} − e^{i(k−a)π}) + \frac{1}{−4πi(k + a)}(e^{−i(k+a)π} − e^{i(k+a)π})

= \frac{1}{2π} (−1)^{k} sin(aπ)(\frac{1}{(a − k)} + \frac{1}{a + k} ) .

Somit gilt wegen f(k) = f(−k)

f(x) = ∑_{k=−∞}^{∞} f̂(k)e^{ikx} = f̂(0) + 2 ∑_{k=1}^{∞} f̂(k) cos(kx)

= \frac{sin(aπ)}{aπ} + ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k} sin(aπ)}{π} \frac{2a}{a^{2} − k^{2}} cos(kx)

also

cos(ax) = \frac{2a sin(aπ)}{π}(\frac{1}{2a^{2}} + ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{a^{2} − k^{2}} cos(kx)) .

Setzt man x = π, so folgt die Partialbruchzerlegung des Cotangens

cot(aπ) = \frac{1}{aπ} + \frac{1}{π} ∑_{k=1}^{∞} (\frac{1}{a − k} + \frac{1}{a + k} ) .

oder die Summenformel ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2} − a^{2}} = \frac{π}{2a}(\frac{1}{aπ} − cot(aπ)) für a ∉ ℤ. ◁

45 Determinanten

Bei der Determinante handelt es sich um eine wichtige Charakterisierung quadratischer Matrizen. Die Determinante ist ein Kriterium für die Invertierbarkeit einer Matrix. Sie tritt außerdem auf beim Eigenwertproblem für Matrizen.

Definition 45.1 Eine Abbildung

det : M(n, K) → K , det : A ↦ det A

heißt Determinante, wenn folgendes gilt:

(D1) det ist linear in jeder Zeile, d.h. ist die i-te Zeile a_{i} = λ′a′_{i} + λ′′a′′_{i} ∈ K^{n}, so gilt

det ( ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ) = λ′ det ( ⋮ ; a′_{i} ; ⋮ ) + λ′′ det ( ⋮ ; a′′_{i} ; ⋮ ) .

(Die mit ⋮ symbolisierten Zeilen a_{1}, …, a_{i−1}, a_{i+1}, …, a_{n} sind in jeder der drei Matrizen identisch.)

Insbesondere gilt: Entsteht B aus A durch Multiplikation der i-ten Zeile mit λ ≠ 0, ist also eine Zeilenumformung vom Typ III mit B = S_{i}(λ) · A, so ist det B = λ · det A.

(D2) det ist alternierend, d.h. hat A zwei gleiche Zeilen, so gilt det A = 0.

(D3) det ist normiert auf det E_{n} = 1.

Wir zeigen später, daß solche Determinanten existieren. An dieser Stelle beschränken wir uns auf den Beweis der Eindeutigkeit der Determinante. Dazu leiten wir aus der Definition weitere Eigenschaften her, die insbesondere eine Berechnungsmethode beinhalten:

Satz 45.2 Die Determinante hat folgende weitere Eigenschaften:

(D4) det(λ · A) = λ^{n} det A ∀λ ∈ K.

(D5) Ist eine Zeile von A identisch Null, so folgt det A = 0.

(D6) Die Determinante ändert das Vorzeichen bei Zeilenumformungen von Typ I: Entsteht B aus A durch Zeilenvertauschung, also B = P_{ik} · A, so gilt det B = − det A.

(D7) Zeilenumformungen von Typ IV lassen die Determinante unverändert: Entsteht B aus A durch Addition der λ-fachen i-ten Zeile zur k-ten Zeile, also B = Q_{ik}(λ) · A, so gilt det B = det A.

(D8) Ist A = ( \begin{matrix}a_{11} & . & … & . \\ 0 & a_{22} & … & . \\ ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & a_{nn} \end{matrix} ) eine obere Dreiecksmatrix, so gilt

det A = a_{11}a_{22} ⋯ a_{nn}.

(D9) Sei n ≥ 2, und A ∈ M(n, K) habe die folgende Blockdarstellung:

A = ( \begin{matrix}A_{1} & C \\ 0 & A_{2} \end{matrix} ) , A_{1} ∈ M(n_{1}, K) , A_{2} ∈ M(n_{2}, K) , n_{1} +n_{2} = n .

Dann gilt det A = det A_{1} · det A_{2}.

(D10) det A = 0 ⇔ rang(A) < n.

(D11) Es gilt der Determinantenmultiplikationssatz det(A·B) = det A·det B für alle A, B ∈ M(n, K). Insbesondere ist det A^{−1} = \frac{1}{det A} für A ∈ GL(n, K). Anders formuliert: det : GL(n, K) → K^{∗} ist ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis. D4) Nach (D1) gilt

det ( λa_{1} ; λa_{2} ; ⋮ ; λa_{n} ) = λ det ( a_{1} ; λa_{2} ; ⋮ ; λa_{n} ) = λ^{2} det ( a_{1} ; a_{2} ; λa_{3} ; ⋮ ; λa_{n} ) = ⋯ = λ^{n} det ( a_{1} ; a_{2} ; ⋮ ; a_{n} )

D5) folgt aus (D1) mit λ = 0 D6) Ist B = P_{ik}A, so berechnen wir

det A + det B = det ( ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ; a_{k} ; ⋮ ) + det ( ⋮ ; a_{k} ; ⋮ ; a_{i} ; ⋮ )

=^{(D2)} det ( ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ; a_{k} ; ⋮ ) + det ( ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ) + det ( ⋮ ; a_{k} ; ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ) + det ( ⋮ ; a_{k} ; ⋮ ; a_{k} ; ⋮ )

=^{(D1)} det ( ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ; a_{i} + a_{k} ; ⋮ ) + det ( ⋮ ; a_{k} ; ⋮ ; a_{i} + a_{k} ; ⋮ ) =^{(D1)} det ( ⋮ ; a_{i} + a_{k} ; ⋮ ; a_{i} + a_{k} ; ⋮ ) =^{(D2)} 0

(D7) Ist B = Q_{ik}(λ)A, so gilt

det B = det ( ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ; a_{k} + λa_{i} ; ⋮ ) =^{(D1)} det ( ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ; a_{k} ; ⋮ ) + λ det ( ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ) =^{(D2)} det A

(D8) Für Diagonalmatrizen folgt durch wiederholte Anwendung von (D1)

det ( \begin{matrix}a_{11} & 0 & … & 0 \\ 0 & a_{22} & … & 0 \\ ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & a_{nn} \end{matrix} ) =^{(D1)} a_{11} det ( \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ 0 & a_{22} & … & 0 \\ ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & a_{nn} \end{matrix} ) =^{(D1)} …

=^{(D1)} a_{11}a_{22} ⋯ a_{nn} det E_{n} =^{(D3)} a_{11}a_{22} ⋯ a_{nn}

Sind für eine allgemeine obere Dreiecksmatrix alle a_{ii} ≠ 0, so bringen wir sie durch Zeilenumformung vom Typ IV in Diagonalform mit den gleichen Diagonalelementen. Ist a_{ii} = 0 und a_{kk} ≠ 0 für alle k > i, so führt Zeilenumformung vom Typ IV auf die Zeile a_{i} = 0.

(D9) Wir können Zeilenumformungen verwenden, die die beiden Blöcke nicht mischen. Durch Umformungen nur der ersten n_{1} Zeilen und dann nur der letzten n_{2} Zeilen erreicht man

det A = (−1)^{s_{1}+s_{2}} det ( \begin{matrix}D_{1} & C′ \\ 0 & D_{2} \end{matrix} ) ,

wobei D_{1}, D_{2} obere Dreiecksmatrizen sind und s_{1}, s_{2} die Anzahl der Zeilenumformungen vom Typ I im oberen bzw unteren Block sind. Die Behauptung folgt nun aus (D8).

(D10) Durch elementare Zeilenumformung überführen wir A in eine obere Dreiecksmatrix mit Diagonalelementen a_{11}, …, a_{nn}. Dann ist det A = ±a_{11} ⋯ a_{nn}. Aus det A = 0 und der Zeilenstufenform folgt a_{nn} = 0 and damit det A = 0 nach (D5), also rang(A) < n. Ist umgekehrt rang(A) < n, so führt elementare Zeilenumformung auf eine obere Dreiecksmatrix mit a_{nn} = 0, so daß det A = 0.

(D11) Ist rang(A) < n, so ist auch rang(AB) < n als Dimension des Bildes der Hintereinanderausführung linearer Abbildungen. Dann ist det(A) = det(AB) = 0. Ist rang(A) = n, so ist A invertierbar und nach Satz 41.1 ein endliches Produkt von Elementarmatrizen. Also ist det(AB) = det(C_{1} ⋯ C_{r} ·B), wobei C_{p} = Q_{ik}(λ) oder C_{p} = S_{i}(λ) für 1 ≤ p ≤ r. Es gilt det(Q_{ik}(λ)B) = det B nach (D7) und det(S_{i}(λ)B) = λ det B nach (D1). Also ist det(AB) = λ_{1} ⋯ λ_{s} det B, wobei λ_{p} die Koeffizienten in den Umformungen vom Typ III sind. Andererseits ist det(A) = det(AE_{n}) = λ_{1} ⋯ λ_{s}, was die Behauptung liefert. □

Zusammengefaßt haben wir damit aus den Axiomen ein Berechnungsverfahren für die Determinante einer Matrix abgeleitet: Wir überführen mit elementaren Zeilenumformungen vom Typ I und IV die Matrix A ∈ M(n, K) in Zeilenstufenform Ã = (a_{ij}): Sind dabei s Vertauschungen von Zeilen (Typ I) notwendig, dann ist det A = (−1)^{s}a_{11} ⋯ a_{nn}. Das Verfahren beweist die Eindeutigkeit der Determinante: Gäbe es zwei Abbildungen det und d̃et, die (D1), (D2) und (D3) erfüllen, so folgt aus beiden die Berechnungsvorschrift für die durch Zeilenumformung erhaltene Dreiecksmatrix Ã = (a_{ij}) mit det A = d̃etA = (−1)^{s}a_{11} ⋯ a_{nn}.

Beispiel 45.3

det ( \begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 9 \end{matrix} ) =^{I_{12}} − det ( \begin{matrix}3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 6 & 7 & 9 \end{matrix} ) =^{IV_{13}(−2)} − det ( \begin{matrix}3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & −1 & −1 \end{matrix} )

=^{IV_{23}(1)} − det ( \begin{matrix}3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) = −3 .  ◁

Satz 45.4 Es gilt det(A^{t}) = det(A) für alle A ∈ M(n, K).

Beweis. Ist det A = 0, so ist rang(A^{t}) = rang(A) < n und damit det(A^{t}) = 0. Ist det A ≠ 0, so ist A invertierbar und damit darstellbar als endliches Produkt von Elementarmatrizen A = C_{1} ⋯ C_{r} mit C_{p} = Q_{ik}(λ) oder C_{p} = S_{i}(λ). Nach dem Determinatenmultiplikationssatz ist det A = det C_{1} ⋯ det C_{r} und det A^{t} = det C_{1}^{t} ⋯ det C_{r}^{t}. Es gilt (Q_{ik}(λ))^{t} = Q_{ki}(λ) und (S_{i}(λ))^{t} = S_{i}(λ). Die Behauptung folgt nun aus det(Q_{ik}(λ)) = 1 für alle i, k, λ und det(S_{i}(λ)) = λ. □

Daraus ergeben sich mehrere Folgerungen:

Satz 45.5 (D2’) Die Determinate ist linear in jeder Spalte. (D3’) besitzt A ∈ M(n, K) zwei gleiche Spalten, so gilt det A = 0. □

Satz 45.6 Für A ∈ M(n, K) sind äquivalent:

i) det A ≠ 0
ii) rang(A) = n

iii) A ist invertierbar

iv) Die Zeilen von A sind linear unabhängig.

v) Die Spalten von A sind linear unabhängig. □

Satz 45.7 Die Gruppe

SL(n, K) := {A ∈ GL(n, K) : det A = 1}

ist eine Untergruppe von GL(n, K). Sie heißt die die spezielle lineare Gruppe.

Beweis. Für A, B ∈ SL(n, K) folgt aus den Eigenschaften der Determinante det(AB) = 1 und det A^{−1} = 1. □

Die Determinantenbildung für Matrizen läßt sich sofort auf die Determinate für Endomorphismen endlich-dimensionaler Vektorräume verallgemeinern. Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über K und F : V → V eine lineare Abbildung (ein Endomorphismus). Wir wählen eine beliebige Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) von V und stellen F in dieser Basis dar:

F (v_{j}) = ∑_{i=1}^{n} a_{ij} · v_{i} , a_{ij} ∈ K .

Dann ist A = (a_{ij}) = M_{B}^{B}(F) die darstellende Matrix von F bezüglich der Basis B. Wir definieren det F := det(M_{B}^{B}(F)). Diese Definition ist sinnvoll, denn sie hängt nicht von der Wahl der Basis ab: Sei A eine andere Basis von V, dann gilt nach Satz 42.1 M_{B}^{B}(F) = T_{B}^{A}·M_{A}^{A}(F)·(T_{B}^{A})^{−1} und deshalb det(M_{B}^{B}(F)) = det(M_{A}^{A}(F)).

In direkter Verallgemeinerung der Determinanteneigenschaften gilt:

Satz 45.8 Sind F, G ∈ End(V), so gilt

i) det F ≠ 0 ⇔ F ∈ Aut(V)

ii) F ∈ Aut(V) ⇒ det F^{−1} = \frac{1}{det F}

iii) det(F ∘ G) = det F · det G

Eine weitere nützliche Anwendung ist die Definition der Orientierung von Automorphismen und von Basen.

Definition 45.9 Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem angeordneten Körper K. Ein Automorphismus F ∈ Aut(V) heißt orientierungstreu, falls det F > 0, ansonsten orientierungsuntreu.

Zwei Basen A und B von V heißen gleich orientiert, wenn für die darstellende Matrix der Identität gilt det(M_{B}^{A}(id_{V})) > 0, ansonsten ungleich orientiert.

Offenbar gilt:

Satz 45.10 Die Menge

Aut^{+}(V) := {F ∈ Aut(V) : det F > 0}

der orientierungstreuen Automorphismen von V ist eine Untergruppe von Aut(V). Insbesondere ist

GL^{+}(m, K) := {A ∈ GL(n, K) : det A > 0}

eine Untergruppe von GL(n, K). □

46 Laplacescher Entwicklungssatz und komplementäre Matrix

In Beweisen und für speziell gewählte Matrizen sind auch rekursive und abstrakte Berechnungsformeln nützlich:

Satz 46.1 (Entwicklungssatz von Laplace) Ist A = (a_{ij}) ∈ M(n, K) und seien die Matrizen A_{ij} ∈ M(n − 1, K) aus A durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte erhalten. Dann gilt für beliebiges 1 ≤ i ≤ n

det A = ∑_{j=1}^{n}(−1)^{i+j}a_{ij} det A_{ij}  Entwicklung nach der i-ten Zeile

und für beliebiges 1 ≤ j ≤ n

det A = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+j}a_{ij} det A_{ij}  Entwicklung nach der j-ten Spalte.

Beweis. (für die Zeilenentwicklung). Wir schreiben die i-te Zeile a_{i} = (a_{i1}, a_{i2}, …, a_{in}) von A = (a_{ij}) als Linearkombination der kanonischen Basen

a_{i} = a_{i1}(1, 0, 0, …, 0) + a_{i2}(0, 1, 0, …, 0) + ⋯ + a_{in}(0, 0, …, 0, 1)

Anwenden von (D1) ergibt

det A = ∑_{j=1}^{n} a_{ij} det A′_{ij} ,

A′_{ij} = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1,j−1} & a_{1,j} & a_{1,j+1} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{i−1,1} & … & a_{i−1,j−1} & a_{i−1,j} & a_{i−1,j+1} & … & a_{i−1,n} \\ 0 & … & 0 & 1 & 0 & … & 0 \\ a_{i+1,1} & … & a_{i+1,j−1} & a_{i+1,j} & a_{i+1,j+1} & … & a_{i+1,n} \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{n,j−1} & a_{nj} & a_{n,j+1} & … & a_{nn} \end{matrix} ) .

In jeder der Matrizen A′_{ij} bringen wir mit Zeilenumformungen vom Typ IV (welche die Determinante nicht ändern) alle anderen Einträge der j-ten Spalte auf 0:

det A′_{ij} = det A′′_{ij} , A′′_{ij} = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1,j−1} & 0 & a_{1,j+1} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{i−1,1} & … & a_{i−1,j−1} & 0 & a_{i−1,j+1} & … & a_{i−1,n} \\ 0 & … & 0 & 1 & 0 & … & 0 \\ a_{i+1,1} & … & a_{i+1,j−1} & 0 & a_{i+1,j+1} & … & a_{i+1,n} \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{n,j−1} & 0 & a_{n,j+1} & … & a_{nn} \end{matrix} ) .

Durch Vertauschen mit jeweils benachbarten Zeilen bringen wir die i-te Zeile von A′′_{ij} an die j-te Stelle, wobei sich die Reihenfolge aller anderen Zeilen nicht ändert. Dazu sind |i − j| Zeilenvertauschungen erforderlich. Die 1 steht nun auf der Diagonale: Für i < j erhalten wir:

det A′′_{ij} = (−1)^{|i−j|} det A′′′_{ij} , A′′′_{ij} = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1,j−1} & 0 & a_{1,j+1} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{i−1,1} & … & a_{i−1,j−1} & 0 & a_{i−1,j+1} & … & a_{i−1,n} \\ a_{i+1,1} & … & a_{i+1,j−1} & 0 & a_{i+1,j+1} & … & a_{i+1,n} \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{j,1} & … & a_{j,j−1} & 0 & a_{j,j+1} & … & a_{j,n} \\ 0 & … & 0 & 1 & 0 & … & 0 \\ a_{j+1,1} & … & a_{j+1,j−1} & 0 & a_{j+1,j+1} & … & a_{j+1,n} \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{n,j−1} & 0 & a_{n,j+1} & … & a_{nn} \end{matrix} ) .

Durch elementare Zeilenumformung vom Typ I und IV überführen wir A′′′_{ij} in eine obere Dreiecksmatrix und lesen die Determinante ab. Bei diesen Umformungen wird an der j-ten Zeile und Spalte von A′′′_{ij} nichts geändert. Deshalb stimmt det A′′′_{ij} mit der Determinante jener Matrix A_{ij} ∈ M(n − 1, K) überein, die aus A′′′_{ij} durch Weglassen des Kreuzes aus j-ter Zeile und j-ter Spalte erhalten wird. Dieselbe Matrix A_{ij} entsteht aber auch aus A′_{ij} und damit auch aus A selbst durch Weglassen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte. Unter Verwendung von (−1)^{|i−j|} = (−1)^{i+j} folgt die Behauptung. Analog für die Spaltenentwicklung. □

Wir können nun über den Laplaceschen Entwicklungssatz die Existenz der Determinante beweisen:

Satz 46.2 Für alle n ∈ ℕ^{×} gibt es eine Abbildung det : M(n, K) → K mit den Eigenschaften (D1), (D2) und (D3) aus Definition 45.1.

Beweis. Durch Induktion nach n. Für n = 1 setzen wir det(a) := a. Dann ist (D2) eine leere Aussage, (D1) und (D3) sind klar. Sei die Existenz bis M(n − 1, K) bewiesen. Wir definieren det : M(n, K) → K über den Laplaceschen Entwicklungssatz und Entwicklung nach der j-ten Spalte. Zu zeigen sind (D1) − (D3).

(D1) Betrachtet werde die k-te Zeile von A ∈ M(n, K). Es gilt det A = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+j}a_{ij} det A_{ij} = (−1)^{k+j}a_{kj}A_{kj}+∑_{i≠k}(−1)^{i+j}a_{ij} det A_{ij}. Im ersten Term ist A_{kj} unabhängig von der k-ten Zeile, und a_{kj} ist linear. In jedem anderen Term i ≠ k ist det A_{ij} linear in der k-ten Zeile nach Induktionsvoraussetzung, und a_{ij} ist unabhängig von der k-ten Zeile.

(D2) Seien die k-te und l-te Zeile von A ∈ M(n, K) gleich, und k < l. Ist i ≠ k und i ≠ l, so sind die entsprechenden Zeilen auch in A_{ij} ∈ M(n − 1, K) gleich, damit det A_{ij} = 0. Im Entwicklungssatz verbleibt det A = (−1)^{k+j}a_{kj} det A_{kj} + (−1)^{l+j}a_{lj} det A_{lj}. Die Annahme (Gleichheit der k-ten und l-ten Zeile von A) ergibt zunächst a_{kj} = a_{lj}. Ist n = 2, so ist k = 1 und l = 2, damit (−1)^{k+j} = −(−1)^{l+j} und det A_{1j} = det A_{2j} wegen Gleichheit beider Zeilen von A ∈ M(n, K). Sei also n ≥ 3 und a_{i} ∈ K^{n} die i-te Zeile von A mit a_{k} = a_{l} =: b ∈ K^{n}. Seien a′_{i}, b′ ∈ K^{n−1} die aus a_{i}, b durch Weglassen des j-ten Eintrags entstehenden Zeilenvektoren. Dann ist

A = ( a_{1} ; ⋮ ; a_{k−1} ; b ; a_{k+1} ; ⋮ ; a_{l−1} ; b ; a_{l+1} ; ⋮ ; a_{n} ) ,  A_{kj} = ( a′_{1} ; ⋮ ; a′_{k−1} ; a′_{k+1} ; ⋮ ; a′_{l−1} ; b′ ; a′_{l+1} ; ⋮ ; a′_{n} ) ,  A_{lj} = ( a′_{1} ; ⋮ ; a′_{k−1} ; b′ ; a′_{k+1} ; ⋮ ; a′_{l−1} ; a′_{l+1} ; ⋮ ; a′_{n} ) .

Durch l−1−k Vertauschungen benachbarter Zeilen bringen wir die (l−1)-te Zeile b′ von A_{kj} in die k-te Zeile, alle Zeilen a′_{k+1}, …, a_{l−1′} verschieben sich um eine Zeile nach unten. Das Ergebnis dieser l − 1 − k Zeilenvertauschungen ist A_{lj}, d.h. es gilt det A_{kj} = (−1)^{l−1−k} det A_{lj} und damit (−1)^{k+j} det A_{kj} − (−1)^{l+k} det A_{lj}. Das liefert (D2).

(D3) Es gilt det E_{n} = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+j}δ_{ij} det(E_{n})_{ij} = (−1)^{2j} det(E_{n})_{jj} = det(E_{n−1}) = 1. □

Die Berechnung der Determinante von A ∈ M(n, K) wird durch Satz 46.1 auf die Berechnung der Determinanten kleinerer Matrizen zurückgeführt. Als Beispiel berechnen wir

det ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) = (−1)^{1+1}a_{11} det(a_{22}) + (−1)^{1+2}a_{12} det(a_{21}) = a_{11}a_{22} − a_{12}a_{21} .

Einfache Rechenregel: Für 2 × 2-Matrizen ist die Determinante gleich dem Produkt der Hauptdiagonalelemente minus dem Produkt der Nebendiagonalelemente. Eine ähnliche graphische Rechenregel gibt es auch für 3 × 3-Matrizen (Regel von Sarrus). Ein Analogon für M(n, K) mit n ≥ 4 wäre falsch!

Beispiel 46.3 Wir berechnen erneut Beispiel 45.3 durch Entwicklung nach der 1. Zeile:

det ( \begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 9 \end{matrix} ) = 0 · det ( \begin{matrix}4 & 5 \\ 7 & 9 \end{matrix} ) + (−1) · det ( \begin{matrix}3 & 5 \\ 6 & 9 \end{matrix} ) + 2 · det ( \begin{matrix}3 & 4 \\ 6 & 7 \end{matrix} )

= −1 · 3 · 9 + 1 · 6 · 5 + 2 · 3 · 7 − 2 · 6 · 4 = −27 + 30 + 42 − 48 = −3 ,

in Übereinstimmung mit der ersten Rechnung. ◁

Allgemein wird durch den Entwicklungssatz die Determinante von A = (a_{ij}) rekursiv durch Summen und Differenzen von Produkten a_{i_{1}j_{1}} ⋯ a_{i_{n}j_{n}} der Einträge a_{ij} berechnet. Durch Entwicklung nach der jeweils obersten Zeile sieht man, daß in jedem dieser Produkte jeder Zeilenindex genau einmal vorkommt. Andererseits kommt auch jeder Spaltenindex genau einmal vor: Damit a_{ij} in einem Produkt vorkommen kann, darf zuvor kein a_{kj} aufgetreten sein, da sonst die j-te Spalte gestrichen wäre. Nach dem Auftreten von a_{ij} wird die j-te Spalte weggelassen und weitere a_{kj} können im Produkt nicht vorkommen. Eine solche injektive/surjektive/bijektive Zuordnung eines Spaltenindex j = σ(i) ∈ {1, …, n} zu jedem Zeilenindex i ∈ {1, …, n} heißt Permutation. Ein Beispiel ist durch

folgende Tabelle gegeben: \begin{matrix}i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ σ(i) & 2 & 5 & 3 & 1 & 4 \end{matrix}

Sei S_{n} die Menge (und Gruppe) aller Permutationen der Menge {1, 2, …, n}, dann gilt

det A = ∑_{σ∈S_{n}} λ(σ) a_{1σ(1)}a_{2σ(2)} ⋯ a_{nσ(n)} .

Dabei ist λ(σ) ∈ ±1, denn jede Permutation kommt vor und zwar mit Vorfaktor +1 oder −1 entsprechend dem Entwicklungssatz. Man kann zeigen, daß λ(σ) = sign(σ) das Vorzeichen der Permutation ist, das wie folgt berechnet werden kann: Eine Permutation τ heißt Transposition, wenn sie zwei Elemente aus {1, …, n} austauscht und alle anderen an ihrer Stelle beläßt. Jede Permutation kann als (nicht eindeutige) Hintereinanderausführung von Transpositionen erhalten werden. Dann ist

sign(σ) = (−1)^{Zahl der Transpositionen in σ} .

Das Vorzeichen ist eindeutig, auch wenn die Zahl der Transpositionen selbst nicht eindeutig ist.

Alternativ kann man das Vorzeichen aus der Zahl der Fehlstellen der Permutation ablesen. Eine Fehlstelle ist ein Paar (i, j) mit i < j und σ(i) > σ(j). Dann ist

sign(σ) = (−1)^{Zahl der Fehlstellen in σ} .

Damit gilt (insgesamt hier ohne Beweis)

Satz 46.4 (Formel von Leibniz )

det A = ∑_{σ∈S_{n}} sign(σ) a_{1σ(1)}a_{2σ(2)} ⋯ a_{nσ(n)} .

Es gibt n! Permutationen σ ∈ S_{n}, so daß die Zahl der Produkte in der Formel von Leibniz mit wachsendem n sehr groß wird. Deshalb ist die Formel von Leibniz vor allem aus theoretischer Sicht bedeutsam. Sind z.B. die Einträge der Matrix stetige/differenzierbare Funktionen, so ist auch die Determinante eine stetige/differenzierbare Funktion. Für praktische Berechnungen sind Zeilenumformungen geeigneter.

Definition 46.5 Sei A = (a_{ij}) ∈ M(n, K). Dann heißt die Matrix

A^{♯} = (a_{ij}^{♯}) ∈ M(n, K) , a_{ij}^{♯} := (−1)^{i+j} det A_{ji} .

die zu A komplementäre Matrix, wobei A_{ji} ∈ M(n − 1, K) durch Streichen der j-ten Zeile und der i-ten Spalte entsteht.

Man beachte die Vertauschung der Reihenfolge von i, j: Im Matrixelement a_{ij}^{♯} steht A_{ji}, nicht A_{ij}!

Satz 46.6 Ist A ∈ M(n, K) und sei A^{♯} die zu A komplementäre Matrix, dann gilt A · A^{♯} = A^{♯} · A = (det A)E_{n}. Insbesondere gilt A^{−1} = \frac{1}{det A}A^{♯} für invertierbare Matrizen A ∈ GL(n, K).

Beweis. Wir berechnen die Komponenten von A^{♯} · A:

(A^{♯} · A)_{kj} = ∑_{i=1}^{n} a_{ki}^{♯}a_{ij} = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+k}a_{ij} det A_{ik} .

Ist j = k beliebig, so entsteht gerade der Spaltenentwicklungssatz von Laplace: det A = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+j}a_{ij} det A_{ij}. Für j ≠ k betrachten wir die Matrix B = (b_{il}) ∈ M(n, K), die aus A entsteht, wenn man die k-te Spalte von A durch die j-te Spalte von A ersetzt. Es ist also b_{il} = a_{il} für l ≠ k und b_{ik} = a_{ij}. Da B zwei gleiche Spalten besitzt, ist det B = 0. Wir entwickeln det B nach der k-ten Spalte:

0 = det B = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+k}b_{ik} det B_{ik} = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+k}a_{ij} det A_{ik}

wegen A_{ik} = B_{ik}. Folglich ist (A^{♯} · A)_{kj} = (det A)δ_{kj}. □

Mit A^{−1} = \frac{1}{det A}A^{♯} für A ∈ GL(n, K) haben wir eine weitere Methode zur Berechnung der inversen Matrix kennengelernt. Für n > 3 ist diese Methode jedoch sehr aufwendig. Allerdings ist diese abstrakte Darstellung in der Analysis sehr nützlich, denn die Determinantenbildung hängt als Produkt der a_{ij} stetig und sogar differenzierbar von den Einträgen a_{ij} ab. Daraus folgt, daß für A ∈ GL(n, K) die Abbildung A ↦ A^{−1} differenzierbar ist.

Eine weitere Anwendung der Determinanten besteht in einem Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit invertierbaren Matrizen:

Satz 46.7 (Cramersche Regel) Seien A = (a_{ij}) ∈ GL(n, K) und b ∈ K^{n} gegeben und sei x = (x_{1}, …, x_{n})^{t} ∈ K^{n} die eindeutig bestimmte Lösung des linearen Gleichungssystems A · x = b. Bezeichnen wir mit a_{1}, …, a_{n} die Spalten von A, also a_{j} = (a_{1j}, …, a_{nj})^{t}, dann gilt

x_{j} = \frac{det(a_{1}, …, a_{j−1}, b_{j}, a_{j+1}, …, a_{n})}{det A} .

Beweis. Die endeutig bestimmte Lösung des linearen Gleichungssystems ist durch x = A^{−1} · b gegeben. In Komponenten gilt damit

x_{j} = ∑_{i=1}^{n}(A^{−1})_{ji}b_{i} = \frac{1}{det A} ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+j}b_{i}(det A_{ij}) .

Nach dem Spaltenentwicklungssatz von Laplace ist ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+j}b_{i}(det A_{ij}) gerade die Determinante einer Matrix B = (b_{il}), deren Einträge auf der j-ten Spalte durch b_{ij} = b_{i} gegeben sind und deren andere Spalten identisch sind mit den Spalten von A. □

Wieder liegt die Bedeutung der Cramerschen Regel in theoretischen Betrachtungen wie der Schlußfolgerung, daß die Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b für A ∈ GL(n, K) differenzierbar von der rechten Seite b ∈ K^{n} sowie den Einträgen der Matrix A ∈ GL(n, K) abhängt.

Zum Abschluß geben wir ohne Beweis noch die Verallgemeinerung von det(A· B) = det A · det B, hier mit A, B ∈ M(n, K), auf Produkte nichtquadratischer Matrizen an:

Satz 46.8 (Binet-Cauchy) Es seien A = (a_{1}, …, a_{n+k}) ∈ M(n × (n + k), K) und B = (b_{1}, …, b_{n+k}) ∈ M(n × (n + k), K) zwei rechteckige Matrizen, gebildet aus den Spaltenvektoren a_{i}, b_{i} ∈ K^{n}, und k ∈ ℕ. Für 1 ≤ m_{1} < m_{2} < ⋯ < m_{n} ≤ n + k seien quadratische Matrizen A^{m_{1}m_{2}...m_{n}} := (a_{m_{1}}, a_{m_{2}}, …, a_{m_{n}}) ∈ M(n, K) und B^{m_{1}m_{2}...m_{n}} := (b_{m_{1}}, b_{m_{2}}, …, b_{m_{n}}) ∈ M(n, K) definiert. Dann gilt

det(A · B^{t}) = ∑_{1≤m_{1}<m_{2}<···<m_{n}≤n+k}(det A^{m_{1}m_{2}...m_{n}})(det B^{m_{1}m_{2}...m_{n}}) .

Die Summe läuft über die \binom{n+k}{k} = \frac{(n+k)!}{n!k!} verschiedenen Möglichkeiten, n der n+k Spalten der Matrizen auszuwählen.

Ein Beweis findet sich z.B. in G. Fischer: Lineare Algebra, Kapitel 3.3. Man kann sich auf Matrizen A, B ∈ M(n × l, K) mit l ≥ n beschränken, da sich zeigen läßt, daß für A, B ∈ M(n × l, K) mit l < n stets det(A · B^{t}) = 0 gilt. Aus Satz 46.8 folgt insbesondere det(A · A^{t}) = ∑_{1≤m_{1}<m_{2}<···<m_{n}≤n+k}(det A^{m_{1}m_{2}...m_{n}})^{2} (Gramsche

Determinante), d.h. für reellwertige Matrizen ist det(A · A^{t}) ≥ 0.

47 Eigenwerte, Eigenräume und charakteristisches Polynom

Nach Satz 38.11 gibt es zu jeder linearen Abbildung F : V → W angepaßte Basen A von V und B von W, so daß die darstellende Matrix die Form M_{B}^{A}(F) =

( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) hat. Natürlich können wir W = V wählen und dann entsprechende

Basen A, B von V finden. Die Frage ist: Gibt es zu einem Endomorphismus F : V → V auch eine Basis B von V, so daß für die darstellende Matrix gilt:

M_{B}^{B}(F) = ( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )? Die Antwort ist: Nein!

Es geht nun darum, zu gegebenem Endomorphismus die Basis so sinnvoll wie möglich zu wählen.

Definition 47.1 Sei F : V → V Endomorphismus eines Vektorraums V über K. Ein Skalar λ ∈ K heißt Eigenwert von F, wenn es einen Vektor v ≠ 0 von V gibt, so daß F (v) = λ · v. Jeder Vektor v ≠ 0 von V mit F (v) = λ · v heißt Eigenvektor von F zum Eigenwert λ.

Zu beachten ist, daß es zu einem Eigenwert λ mehrere Eigenvektoren geben kann.

Definition 47.2 Ein Endomorphismus F ∈ End(V) heißt diagonalisierbar, wenn es eine Basis von V aus Eigenvektoren von F gibt.

In diesem Fall gilt:

Satz 47.3 Ist dim(V) = n, so ist F ∈ End(V) genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) von V gibt, so daß M_{B}^{B}(F) =

( \begin{matrix}λ_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ_{n} \end{matrix} ).

Beweis. Für die darstellende Matrix M_{B}^{B}(F) = (a_{ij}) gilt F (v_{j}) = ∑_{i=1}^{n} a_{ij} · v_{i}. Damit sind die v_{i} die Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ_{i}. □

Das ist die optimalste Situation für eine Basis zu gegebenem Endomorphismus. Jedoch ist nicht klar, daß jeder Endomorphismus auch diagonalisierbar ist. Zunächst untersuchen wir, ob die Eigenvektoren linear unabhängig sind:

Satz 47.4 Sei F ∈ End(V) ein Endomorphismus und seien v_{1}, …, v_{m} Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten λ_{1}, …, λ_{m} von V. Dann sind die (v_{1}, …, v_{m}) linear unabhängig.

Beweis. Wir beweisen den Satz durch Induktion nach der Anzahl m linear unabhängiger Eigenvektoren. Für m = 1 ist nichts zu zeigen. Angenommen, v_{2}, …, v_{m} seien linear unabhängig. Wir betrachten

μ_{1}v_{1} + ⋯ + μ_{m}v_{m} = 0

Anwenden von F einerseits und Subtraktion des λ_{1}-fachen dieser Gleichung ergibt

0 = μ_{1}(λ_{1} − λ_{1})v_{1} + μ_{2}(λ_{2} − λ_{1})v_{2} + ⋯ + μ_{m}(λ_{m} − λ_{1})v_{2} .

Da λ_{1} ≠ λ_{i} für 2 ≤ i ≤ m und (v_{2}, …, v_{m}) linear unabhängig, folgt μ_{j} = 0 für alle 1 ≤ j ≤ m. Damit ist (v_{1}, …, v_{m}) linear unabhängig. □

Als direkte Konsequenz ergibt sich:

Satz 47.5 Seien λ_{1}, …, λ_{m} paarweise verschiedene Eigenwerte eines Endomorphismus F ∈ End(V) und sei dim(V) = n. Dann gilt:

i) m ≤ n

ii) Ist m = n, dann ist F diagonalisierbar.

Beweis. i) Für m > n wären nach dem vorigen Satz mehr als n Vektoren aus V, nämlich Eigenvektoren zu λ_{1}, …, λ_{m}, linear unabhängig. Das ist durch die Dimension ausgeschlossen.

ii) Ist dim(V) = n, dann bilden n linear unabhängige Vektoren eine Basis. Damit ist (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis aus Eigenvektoren, und F ist diagonalisierbar.

□

Es gibt natürlich Endomorphismen mit weniger als dim(V) paarweise verschiedenen Eigenwerten, die trotzdem diagonalisierbar sind. Ein Beispiel ist id_{V} ∈ End(V). Es gibt nur einen Eigenwert λ = 1, aber jede Basis von V diagonalisiert id_{V}.

Definition 47.6 Für F ∈ End(V) und λ ∈ K heißt

Eig(F; λ) := {v ∈ V : F (v) = λ · v}

der Eigenraum von F zum Skalar λ.

Es gilt stets 0 ∈ Eig(F; λ). Ist λ Eigenwert von F, so enthält Eig(F; λ) weitere Vektoren. Genauer gilt:

Satz 47.7 Für F ∈ End(V) und λ ∈ K sei Eig(F; λ) der zugehörige Eigenraum. Dann gilt:

i) Eig(F; λ) ⊆ V ist Untervektorraum

ii) λ ist Eigenwert von F ⇔ Eig(F; λ) ≠ {0} ⇔ dim(Eig(F; λ)) > 0

iii) Eig(F; λ) \ {0} ist die Menge der Eigenvektoren von F zum Eigenwert λ

iv) Eig(F; λ) = ker(F − λ · id_{V})

v) Ist λ_{1} ≠ λ_{2}, so folgt Eig(F; λ_{1}) ∩ Eig(F; λ_{2}) = {0}

Beweis. i) Sind v_{1}, v_{2} ∈ Eig(F; λ) und μ_{1}, μ_{2} ∈ K, so folgt

F (μ_{1}v_{1} + μ_{2}v_{2}) = μ_{1}F (v_{1}) + μ_{2}F (v_{2}) = μ_{1}(λv_{1}) + μ_{2}(λv_{2}) = λ(μ_{1}v_{1} + μ_{2}v_{2})

und damit μ_{1}v_{1} + μ_{2}v_{2} ∈ Eig(F; λ).

ii) Es gibt ein v ≠ 0 mit F (v) = λv. Dann ist v ∈ Eig(F; λ) ≠ {0}.

iii) ist klar

iv) Sei v ∈ Eig(F; λ). Dann gilt:

(F − λ · id_{V})(v) = λv − λv = 0 ,

also v ∈ ker(F − λ · id_{V}). Ebenso folgt die Umkehrung.

v) Ist λ_{1} ≠ λ_{2} und v ∈ Eig(F; λ_{1}), so ist

(F − λ_{2} · id_{V})(v) = (λ_{1} − λ_{2})v .

Damit ist v ∈ ker(F − λ_{2} · id_{V}) genau dann, wenn v = 0. □

Es geht nun um ein Verfahren zur Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren eines Endomorphismus, wobei die Determinante eine entscheidende Rolle spielt.

Satz 47.8 Sei F ∈ End(F) Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums V. Ein Skalar λ ∈ K ist genau dann Eigenwert von F, wenn

det(F − λ · id_{V}) = 0 .

Beweis. Nach Satz 47.7.ii) und Satz 47.7.iv) ist λ genau dann Eigenwert von F, wenn dim(ker(F − λ · id_{V})) > 0. Das ist gleichbedeutend mit

dim(im(F − λ · id_{V})) = rang(F − λ · id_{V}) < dim(V) .

Nach der Determinanteneigenschaft (D10) ist diese Eigenschaft äquivalent zu det(F − λ · id_{V}) = 0. □

Die Determinante eines Endomorphismus F ∈ End(V) berechnet sich als die Determinante der darstellenden Matrix M_{A}^{A}(F) = A = (a_{ij}) ∈ M(n, K) bezüglich einer beliebigen Basis A = (w_{1}, …, w_{n}) von V. Wegen M_{A}^{A}(id_{V}) = E_{n} gilt

M_{A}^{A}(F − t · id_{V}) = A − t · E_{n} .

Damit ist die Suche nach Eigenwerten von F ∈ End(V) zurückgeführt auf die Bestimmung der Nullstellen der Abbildung

P_{A} : K → K : P_{A} : t ↦ det(A − t · E_{n}) .

Nach der Formel von Leibniz ist P_{A}[t] ein Polynom n-ten Grades in t mit Koeffizienten aus K:

det(A − t · E_{n}) = ∑_{k=0}^{n} α_{k}t^{k} ,
α_{n} = (−1)^{n} , α_{n−1} = (−1)^{n−1}(a_{11} + ⋯ + a_{nn}) , …, α_{0} = det A .

Dabei heißt im zweithöchsten Term tr(A) := a_{11} + ⋯ + a_{nn} die Spur der Matrix A ∈ M(n, K). Der niedrigste Term ist unabhängig von t und stimmt damit mit der Rechnung für t = 0 überein, was gerade die Determinante von A ergibt. Die anderen Koeffizienten α_{1}, …, α_{n−2} sind schwieriger zu charakterisieren.

Sei nun K[t] der Vektorraum der Polynome in t mit Koeffizienten aus K. Wir bezeichnen:

Definition 47.9 Das Polynom P_{A}(t) = det(A − t · E_{n}) ∈ K[t] heißt das charakteristische Polynom der Matrix A ∈ M(n, K).

Sinnvollerweise heißt ein λ ∈ K Nullstelle eines Polynoms f ∈ K[t], wenn f(λ) = 0. In Verbindung mit Satz 47.8 gilt:

Satz 47.10 Sei F ∈ End(V) Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums. Dann sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms det(F − t · id_{V}) ∈ K[t] die Eigenwerte von F. □

Im 1. Semester hatten wir gesehen, daß aus f(λ) = 0 folgt, daß (t − λ) ein Teiler des Polynoms f ∈ K[t] ist. Durch wiederholtes Abdividieren der Nullstellen läßt sich jedes Polynom f ∈ K[t] eindeutig darstellen als

f = (t−λ_{1})^{r_{1}}(t−λ_{2})^{r_{2}} ⋯ (t−λ_{k})^{r_{k}} ·g , deg(g) = deg(f)−r_{1}−r_{2}−⋯−r_{k} ≥ 0 , wobei g ein Polynom ohne Nullstellen ist. Der Exponent μ(f, λ_{i}) := r_{i} heißt die Vielfachheit der Nullstelle λ_{i} von f. Damit besitzt jedes Polynom n-ten Grades höchstens n mit Vielfachheit gezählte Nullstellen (somit auch höchstens n paarweise verschiedene Nullstellen). Ist deg(g) = 0, dann sagen wir, daß f in Linearfaktoren zerfällt. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra (bewiesen in Satz 22.10) ist das in ℂ immer der Fall.

Im reellen Fall K = ℝ zerfällt ein Polynom im allgemeinen nicht in Linearfaktoren. Das einfachste Beispiel ist f(t) = t^{2} + 1, welches keine reelle Nullstelle besitzt. Man kann aber ℝ ⊆ ℂ ausnutzen, die komplexen Nullstellen suchen und dann Paare komplex konjugierter Nullstellen wieder zu einem rellen Polynom zusammenfassen. Damit läßt sich zeigen, daß für jedes reelle Polynom f ∈ ℝ[t] gilt:

f = a(t − λ_{1}) ⋯ (t − λ_{n−2r}) · g_{1} ⋯ g_{r} ,  g_{j} = (t − α_{j})^{2} + β_{j}^{2} > 0 ,
a, λ_{i}, α_{j}, β_{j} ∈ ℝ , β_{j} ≠ 0 , r, n − 2r ≥ 0 .

Die analytische Berechnung (zunächst komplexer Nullstellen) ist im allgemeinen nur für Polynome vom Grad ≤ 4 möglich. Für Polynome mit höherem Grad ist man auf numerische Näherungsverfahren angewiesen. Der Fundamentalsatz der Algebra und für reelle Polynome zusätzlich die Gleichheit der Vielfachheit komplexer Nullstellen ist dann eine wichtige Kontrolle, ob man wirklich alle Nullstellen numerisch gefunden hat!

Wir fassen zusammen:

Satz 47.11 Sei F ∈ End(V) und A = M_{A}^{A}(F) die darstellende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis A = (w_{1}, …, w_{n}) von V und

Φ_{A} : K^{n} → V , Φ_{A}(e_{i}) = w_{i} ,

der Isomorphismus, der die Standardbasis des K^{n} in die Basis A überführt. Dann gilt

Eig(F; λ) = Φ_{A}(ker(A − λ · E_{n})) ,

wobei ker(A − λ · E_{n}) = Lös(A − λ · E_{n}, 0) der Lösungsraum des linearen Gleichungssystems (A − λ · E_{n})x = 0 ist.

Beweis. Sei v ∈ Eig(F; λ), dann ist

F (v) = λv ⇔ Φ_{A}^{−1} ∘ F ∘ Φ_{A} ∘ Φ_{A}^{−1}(v) = λΦ_{A}^{−1}(v) .

Wir setzen x = Φ_{A}^{−1}(v) ∈ K^{n}. Mit A = M_{A}^{A}(F) := Φ_{A}^{−1} ∘ F ∘ Φ_{A} ∈ M(n, K) folgt

v ∈ Eig(F; λ) ⇔ A · x = λ · x ⇔ (A − λ · E_{n})x = 0  □

Damit haben wir ein Verfahren zur Bestimmung von Eigenwerten und zugehörigen Eigenräumen von F ∈ End(V) gefunden:

1. Wähle eine beliebige Basis A = (w_{1}, …, w_{n}) von V. Bestimme die darstellende Matrix A = (a_{ij}) durch Zerlegen der n Vektoren F (w_{j}) nach der Basis A,

F (w_{j}) = ∑_{i=1}^{n} a_{ij} · w_{i} .

2. Berechne das charakteristische Polynom P_{A}(t) = det(A − t · E_{n}) ∈ K[t] und bestimme seine Nullstellen λ_{1}, …, λ_{m} ∈ K (paarweise verschieden) und ihre Vielfachheit r_{i} := μ(P_{A}; λ_{i}) aus der Darstellung

P_{A}(t) = (t − λ_{1})^{r_{1}} ⋯ (t − λ_{m})^{r_{m}} · g(t) ,

wobei g ∈ K[t] keine Nullstelle in K besitzt. Die λ_{1}, …, λ_{m} sind dann genau die Eigenwerte von F. Für K = ℂ gilt n = r_{1} + ⋯ + r_{m}.

3. Löse zu jeder Nullstelle λ_{i} des charakteristischen Polynoms das lineare Gleichungssystem (A − λ_{i} · E_{n})x^{(i)} = 0. Der Lösungsraum ist ein s_{i}-dimensionaler Untervektorraum von K^{n}. Ist x^{(i)} = ∑_{j=1}^{n} x_{j}^{(i)}e_{j} ∈ Lös(A − λ_{i} · E_{n}, 0), dann ist v^{(i)} = Φ_{A}(x^{(i)}) = ∑_{j=1}^{n} x_{j}^{(i)}w_{j} ∈ Eig(F; λ_{i}) mit dim(Eig(F; λ_{i})) = s_{i}.

Beispiel 47.12 Es sei F : ℝ^{3} → ℝ^{3} in der Standardbasis gegeben durch F (x) =

A · x mit A = ( \begin{matrix}2 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & −2 & 1 \end{matrix} ). Schritt 1 entfällt.

Schritt 2. Es gilt

det(A − tE_{n}) = det ( \begin{matrix}2 − t & 2 & 3 \\ 1 & 2 − t & 1 \\ 2 & −2 & 1 − t \end{matrix} )

= (2 − t) · det ( \begin{matrix}2 − t & 1 \\ −2 & 1 − t \end{matrix} ) − 2 · det ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 1 − t \end{matrix} ) + 3 · det ( \begin{matrix}1 & 2 − t \\ 2 & −2 \end{matrix} )

= (2 − t) · (t^{2} − 3t + 4) + 2(t + 1) + 3(2t − 6) = −t^{3} + 5t^{2} − 2t − 8 = −(t + 1)(t^{2} − 6t + 8) = −(t + 1)(t − 4)(t − 2) .

Damit hat F die Eigenwerte λ_{1} = −1, λ_{2} = 2, λ_{3} = 4. Insbesondere ist F diagonalisierbar.

Schritt 3. Die Eigenräume bestimmen sich (dank der Standardbasis) zu Eig(F; λ_{i}) = ker(A − λ_{i} · E_{3}), sie werden also als Lösung eines homogenen LGS erhalten. Wir bestimmen Eig(F; −1) = {v_{1} ∈ ℝ^{3} : (A − (−1)E_{3})v_{1} = 0} durch Zeilenumformungen zu

( \begin{matrix}3 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & −2 & 2 \end{matrix} ) ⟼^{IV_{12}(− \frac{1}{3} ), IV_{13}(− \frac{2}{3} )} ( \begin{matrix}3 & 2 & 3 \\ 0 & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & −\frac{10}{3} & 0 \end{matrix} ) ⟼^{IV_{23}( \frac{10}{7} ), III_{2}( \frac{3}{7} )} ( \begin{matrix}3 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

⟼^{IV_{21}(−2), III_{1}( \frac{1}{3} )} ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )  ⇒ v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} ) t_{1} ,  t_{1} ∈ ℝ .

Analog findet man v_{2} = ( \begin{matrix}2 \\ 3 \\ −2 \end{matrix} ) t_{2} und v_{3} = ( \begin{matrix}8 \\ 5 \\ 2 \end{matrix} ) t_{3}. Sämtliche Eigenräume

sind eindimensional.

Für t_{i} ≠ 0 bildet B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) eine Basis von ℝ^{3}. Aufgefaßt als Matrix vermittelt S = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ∈ GL(3, ℝ) die Transformation von der Standardbasis A = E in die Eigenbasis B von F, d.h. es gilt Φ_{B}(x) = S · x in den Bezeichnungen von Satz 38.3. Nach Satz 42.1 (bzw. dem kommuativen Diagramm davor) gilt M_{B}^{B}(F) = Φ_{B}^{−1} ∘ F ∘ Φ_{B} = S^{−1} · A · S. Für t_{1} = t_{2} = t_{3} = 1 ist

S = ( \begin{matrix}1 & 2 & 8 \\ 0 & 3 & 5 \\ −1 & −2 & 2 \end{matrix} ) ⇒ S^{−1} = \frac{1}{30} ( \begin{matrix}16 & −20 & −14 \\ −5 & 10 & −5 \\ 3 & 0 & 3 \end{matrix} )

und

S^{−1} · A · S = ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix} )  ◁

48 Diagonalisierbarkeit bei Vielfachheit

Sei F ∈ End(V) mit dim(V) = n und A = M_{A}^{A}(F) ∈ M(n, K) die darstellende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis A von V. Wir wissen:

i) Ist F diagonalisierbar, dann ist P_{A}(t) = (−1)^{n}(t − λ_{1})^{r_{1}} ⋯ (t − λ_{m})^{r_{m}}, d.h. das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren (wähle eine Basis aus Eigenvektoren).

ii) Ist P_{A}(t) = (−1)^{n}(t − λ_{1}) ⋯ (t − λ_{n}) und alle λ_{i} sind paarweise verschieden, dann ist F diagonalisierbar.

Es verbleibt also zu untersuchen, wann F diagonalisierbar ist im Falle von Vielfachheiten μ(P_{A}; λ) > 1 der Eigenwerte.

Satz 48.1 Sei F ∈ End(V) und A seine darstellende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis von V. Ist λ ein Eigenwert von F, dann gilt

1 ≤ dim(Eig(F; λ)) ≤ μ(P_{A}; λ) .

Beweis. Sei (v_{1}, …, v_{s}) eine Basis von Eig(F; λ). Dann ist s ≥ 1, da λ Eigenwert. Wir ergänzen (v_{1}, …, v_{s}) zu einer Basis A = (v_{1}, …, v_{s}, v_{s+1}, …, v_{n}) von V. Für die darstellende Matrix A = M_{A}^{A}(F) = (a_{ij}) gilt

A = ( \begin{matrix}λ & & 0 \\ & ... & & B \\ 0 & & λ \\ & 0 & & C \end{matrix} ) ,

wobei oben links der Block λE_{s} steht. Dann gilt für das charakteristische Polynom

P_{A}(t) := det(A − tE_{n}) = (−1)^{s}(t − λ)^{s} det(C − tE_{n−s}) .

Folglich ist s ≤ μ(P_{A}; λ). □

Der Fall dim(Eig(F; λ)) = μ(P_{A}; λ) ist von besonderem Interesse:

Satz 48.2 Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum, F ∈ End(V) und A = M_{A}^{A}(F) ∈ M(n, K) die darstellende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis A von V. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent:

i) F ist diagonalisierbar.

ii) Das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren und es gilt dim(Eig(F; λ)) = μ(P_{A}; λ) für jeden Eigenwert λ von F.

iii) Sind λ_{1}, …, λ_{k} die paarweise verschiedenen Eigenwerte von F, dann gilt V = Eig(F; λ_{1}) ⊕ ⋯ ⊕ Eig(F; λ_{k}).

Bemerkung: ii) liefert damit das entscheidende Kriterium für Diagonalisierbarkeit: Das charakteristische Polynom muß in Linearfaktoren zerfallen und die Dimensionen der Eigenräume müssen gleich den Vielfachheiten der Nullstellen sein.

Beweis. i)⇒ii) Ist F diagonalisierbar, so ordnen wir die zugehörige Basis aus Eigenvektoren wie folgt:

B = (v_{1}^{(1)}, …, v_{s_{1}}^{(1)}, v_{1}^{(2)}, …, v_{s_{2}}^{(2)}, …, v_{1}^{(k)}, …, v_{s_{k}}^{(k)}) .

Dabei ist (v_{1}^{(i)}, …, v_{s_{i}}^{(i)}) eine Basis von Eig(F; λ_{i}), und insbesondere gilt F (v_{j}^{(i)}) = λ_{i}v_{j}^{(i)} für 1 ≤ j ≤ s_{i}. In dieser Basis gilt für das charakteristische Polynom

P_{F} (t) = (λ_{1} − t)^{s_{1}}(λ_{2} − t)^{s_{2}} ⋯ (λ_{k} − t)^{s_{k}} ,

welches somit die Eigenschaften ii) besitzt.

ii)⇒iii) Durch W = Eig(F; λ_{i}) + ⋯ + Eig(F; λ_{k}) werde ein Untervektorraum von V definiert. Da Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten linear unabhängig sind, gilt W = Eig(F; λ_{1}) ⊕ ⋯ ⊕ Eig(F; λ_{k}). Dann folgt dim(W) = s_{1} + ⋯ + s_{k} = n und somit W = V.

iii)⇒i) Sei B_{i} = (v_{1}^{(i)}, …, v_{s_{i}}^{(i)}) eine Basis von Eig(F; λ_{i}). Dann ist

B = (v_{1}^{(1)}, …, v_{s_{1}}^{(1)}, v_{1}^{(2)}, …, v_{s_{2}}^{(2)}, …, v_{1}^{(k)}, …, v_{s_{k}}^{(k)})

eine Basis von V. Wegen F (v_{j}^{(i)}) = λ_{i}v_{j}^{(i)} für 1 ≤ j ≤ s_{i} ist B eine Basis aus Eigenvektoren von F, d.h. F ist diagonalisierbar. □

Wir sehen uns ein Beispiel zur Diagonalisierung an:

Beispiel 48.3 Es sei F ∈ End(ℝ^{3}) gegeben durch

F (x, y, z) := (y − z, 3x + 2y − 3z, 2x + 2y − 3z) .

1. Schritt: Bestimmung der darstellenden Matrix bezüglich einer Basis. Die Vektoren v = (x, y, z) und w = (y − z, 3x + 2y − 3z, 2x + 2y − 3z) sind bereits in der Standardbasis A = (e_{1}, e_{2}, e_{3}) des ℝ^{3} dargestellt. Daraus lesen wir

F (e_{1}) = 3e_{2} + 2e_{3} ,  F (e_{2}) = e_{1} + 2e_{2} + 2e_{3} ,  F (e_{3}) = −e_{1} − 3e_{2} − 3e_{3}

ab. Dann ist die darstellende Matrix bezüglich der Standardbasis A = (a_{ij}) = M_{A}^{A}(F) gegeben durch F (e_{j}) = ∑_{i=1}^{3} a_{ij} · e_{i}. Wir lesen ab:

A = ( \begin{matrix}0 & 1 & −1 \\ 3 & 2 & −3 \\ 2 & 2 & −3 \end{matrix} ) .

(Die Bilder der Basisvektoren ergeben die Spalten von A.)

2. Schritt: Berechnung des charakteristischen Polynoms. Zu berechnen ist det(A− t · E_{3}), z.B. durch elementare Zeilenumformungen in eine obere Dreiecksmatrix:

det(A − t · E_{3}) = det ( \begin{matrix}−t & 1 & −1 \\ 3 & 2 − t & −3 \\ 2 & 2 & −3 − t \end{matrix} ) =^{P_{13}} − det ( \begin{matrix}2 & 2 & −3 − t \\ 3 & 2 − t & −3 \\ −t & 1 & −1 \end{matrix} )

=^{Q_{12}(− \frac{3}{2} )·Q_{13}( \frac{t}{2} )} − det ( \begin{matrix}2 & 2 & −3 − t \\ 0 & −1 − t & \frac{3}{2} + \frac{3}{2}t \\ 0 & 1 + t & −1 − \frac{3}{2}t − \frac{1}{2}t^{2} \end{matrix} )

=^{Q_{23}(1)} − det ( \begin{matrix}2 & 2 & −3 − t \\ 0 & −1 − t & \frac{3}{2} + \frac{3}{2}t \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} − \frac{1}{2}t^{2} \end{matrix} ) = −2(−1 − t)(\frac{1}{2} − \frac{1}{2}t^{2}) = (1 + t)(1 − t^{2})

= −(t − 1)(t − (−1))^{2} .

Damit zerfällt das charakteristische Polynom in Linearfaktoren. Seine Nullstellen sind λ_{1} = 1 mit Vielfachheit μ(P_{A}, 1) = 1 und λ_{2} = −1 mit Vielfachheit μ(P_{A}, −1) = 2.

3. Schritt: Bestimmen der Eigenräume. Zum Eigenwert λ_{1} = 1 lösen wir das lineare Gleichungssystem (A−λ_{1} ·E_{3})x = 0 durch elementare Zeilenumformungen:

( \begin{matrix}−1 & 1 & −1 \\ 3 & 1 & −3 \\ 2 & 2 & −4 \end{matrix} ) ⟶^{Q_{12}(3) Q_{13}(2)} ( \begin{matrix}−1 & 1 & −1 \\ 0 & 4 & −6 \\ 0 & 4 & −6 \end{matrix} ) ⟶^{Q_{23}(−1)} ( \begin{matrix}−1 & 1 & −1 \\ 0 & 4 & −6 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

⟶^{Q_{12}(− \frac{1}{4} )} ( \begin{matrix}−1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 4 & −6 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ⟶^{S_{1}(−1) S_{2}( \frac{1}{4} )} ( \begin{matrix}1 & 0 & −\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & −\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Damit gilt dim(Eig(F; 1)) = 1, genauer

Eig(F; 1) = ℝv_{1}^{(1)} , v_{1}^{(1)} = ( \begin{matrix}1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix} ) .

Zur Bestimmung des Eigenraums Eig(F; −1) ist das LGS (A+E_{3})x = 0 zu lösen:

( \begin{matrix}1 & 1 & −1 \\ 3 & 3 & −3 \\ 2 & 2 & −2 \end{matrix} ) ⟶^{Q_{12}(−3) Q_{13}(−2)} ( \begin{matrix}1 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Damit gilt dim(Eig(F; 1)) = 2, und die Lösungsvektoren sind

( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}w_{1} \\ w_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−w_{1} + w_{2} \\ w_{1} \\ w_{2} \end{matrix} ) .

Damit finden wir die beiden Basisvektoren

v_{1}^{(2)} = ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , v_{2}^{(2)} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) .

Also sind die Dimensionen der Eigenräume gleich der Vielfachheit der Nullstellen, und F ist diagonalisierbar. Eine Basis von V, welche F diagonalisiert, ist also

B = ( ( \begin{matrix}1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) ) , ⇒ S = ( \begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

In dieser Basis gilt

Λ := M_{B}^{B}(F) = S^{−1} · A · S = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) .  ◁

Über die Diagonalisierung lassen sich Polynome und sogar geeignete Potenzreihen von Matrizen bequem ausrechnen. Es sei A = S · Λ · S^{−1} ∈ M(n, K) diagonalisierbar, wobei Λ = (λ_{ij}) mit λ_{ij} = δ_{ij}λ_{i} ∈ M(n, K) die aus den Eigenwerten gebildete Diagonalmatrix ist und S ∈ GL(n, K) die Transformation in die Eigenbasis vermittelt, d.h. die i-te Spalte von S ist Eigenvektor zu λ_{i}. Dann gilt A^{k} = S · Λ^{k} · S^{−1} mit Λ^{k} = (λ_{i}^{k}δ_{ij}). Insbesondere ist A^{0} = E_{n} zu setzen. In der Lösungstheorie für Differentialgleichungen besonders wichtig ist exp(A) := ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}A^{k}. Diese Matrix-Exponentialreihe konvergiert für beliebige A ∈ M(n, K). Für diagonalisierbare Matrizen läßt sie sich ausrechnen zu exp(A) = S · exp(Λ) · S^{−1}.

Beispiel 48.4 Es sei A = ( \begin{matrix}2 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & −2 & 1 \end{matrix} ) aus Beispiel 47.12. Dann ist

exp(A) = ( \begin{matrix}1 & 2 & 8 \\ 0 & 3 & 5 \\ −1 & −2 & 2 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}e^{−1} & 0 & 0 \\ 0 & e^{2} & 0 \\ 0 & 0 & e^{4} \end{matrix} ) \frac{1}{30} ( \begin{matrix}16 & −20 & −14 \\ −5 & 10 & −5 \\ 3 & 0 & 3 \end{matrix} )

= \frac{1}{30} ( \begin{matrix}16e^{−1} − 10e^{2} + 24e^{4} & −20e^{−1} + 20e^{2} & −14e^{−1} − 10e^{2} + 24e^{4} \\ −15e^{2} + 15e^{4} & 30e^{2} & −15e^{2} + 15e^{4} \\ −16e^{−1} + 10e^{2} + 6e^{4} & 20e^{−1} − 20e^{2} & 14e^{−1} + 10e^{2} + 6e^{4} \end{matrix} ) . ◁

In Beispiel 48.3 ist Λ^{2} = E_{3} und damit auch A^{2} = (SΛS^{−1}) · (SΛS^{−1}) = E_{3} oder

(A − λ_{1}E_{3})(A − λ_{2}E_{3}) = 0 .

Ganz allgemein gilt, wenn man im charakteristischen Polynom P_{A}(t) die formale Variable t durch A ersetzt, der

Satz 48.5 (Cayley-Hamilton) Es sei F ∈ End(V) Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums und P_{F} ∈ K[t] das charakteristische Polynom. Dann gilt P_{F} (F) = 0 ∈ End(V). Ausgedrückt durch Matrizen: Für beliebige A ∈ M(n, K) mit charakteristischem Polynom P_{A} ∈ K[t] gilt P_{A}(A) = 0.

Der Beweis findet sich z.B. in G. Fischer, Lineare Algebra, §4.5. □

In Beispiel 48.3 hatten wir P_{A}(t) = (t − 1)(t + 1)^{2} und damit (A − E_{3})(A + E_{3})^{2} = 0. Tatsächlich gilt bereits (A−E_{3})(A+E_{3}) = 0 für ein Polynom kleineren Grades. Allgemein läßt sich zu F ∈ End(V) ein eindeutiges Minimalpolynom M_{F} [t] finden mit M_{F} (F) = 0 bzw. M_{A}(A) = 0. Das Minimalpolynom ist stets Teiler des charakteristischen Polynoms und ein wichtiges Hilfsmittel in Beweisen.

Zum Abschluß der Betrachtungen zur Diagonalisierbarkeit untersuchen wir folgendes Problem: Gegeben seien zwei diagonalisierbare Endomorphismen F, G ∈ End(V). Unter welchen Bedingungen sind F, G simultan diagonalisierbar, d.h. es gibt eine Basis von V aus Eigenvektoren von F und G gleichzeitig?

Satz 48.6 Zwei diagonalisierbare Endomorphismen F, G ∈ End(V) sind genau dann simultan diagonalisierbar, wenn sie miteinander kommutieren, d.h. wenn F ∘ G = G ∘ F.

Beweis. (⇒) Sind F, G simultan diagonalisierbar, dann existiert eine Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) von V mit F (v_{i}) = λ_{i}v_{i} und G(v_{i}) = μ_{i}v_{i}. Dann gilt für einen beliebigen Vektor v = ∑_{i=1}^{n} κ_{i}v_{i} ∈ V

(F ∘ G)(v) = F (G(∑_{i=1}^{n} κ_{i}v_{i})) = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}κ_{i}μ_{i}v_{i} = (G ∘ F)(v) .

(⇐) 1) Wir zerlegen den Vektorraum V in die Eigenräume:

V = Eig(F; λ_{1}) ⊕ ⋯ ⊕ Eig(F; λ_{k})
= Eig(G; μ_{1}) ⊕ ⋯ ⊕ Eig(G; μ_{l}) .

Kommutieren F und G, dann gilt F (Eig(G; μ_{j})) ⊆ Eig(G; μ_{j}) für alle 1 ≤ j ≤ l, denn für w_{j} ∈ Eig(G; μ_{j}) folgt

G(F (w_{j})) = F (G(w_{j})) = F (μ_{j}w_{j}) = μ_{j}F (w_{j}) .

2) Sei nun W_{ij} := Eig(F; λ_{i}) ∩ Eig(G; μ_{j}). Dann ist W_{ij} ⊆ V ein Untervektorraum, und es gilt Eig(F; λ_{i}) = W_{i1} ⊕ ⋯ ⊕ W_{il}. Denn sei v_{i} ∈ Eig(F; λ_{i}), dann gibt es w_{1} ∈ Eig(G; μ_{1}), …, w_{l} ∈ Eig(G; μ_{l}) mit v_{i} = w_{1} + ⋯ + w_{l} (verwende Basis von V aus Eigenvektoren von G). Anwenden von F liefert

F (v_{i}) = F (w_{1}) + ⋯ + F (w_{l}) = λ_{i}v_{i} = λ_{i}w_{1} + ⋯ + λ_{i}w_{l} .

Nun ist F (w_{j}) ⊆ Eig(G; μ_{j}), und da Vektoren w_{j}, w′_{j} linear unabhängig sind für j ≠ j′, folgt F (w_{j}) = λ_{i}w_{j} für alle 1 ≤ j ≤ l. Damit ist w_{j} ⊆ Eig(F; λ_{i}), also Eig(F; λ_{i}) = W_{i1} + ⋯ + W_{il}, und aus der linearen Unabhängigkeit folgt die Behauptung.

3) Sei B_{ij} = (v_{1}^{(ij)}, … v_{s_{ij}}^{(ij)}) eine Basis von W_{ij}, dann ist

(B_{11}, …, B_{1l}, B_{21}, …, B_{2l}, …, B_{k1}, …, B_{kl})

eine Basis von V, in der F und G simultan diagonalisierbar sind, mit F (v_{r}^{(ij)}) = λ_{i}v_{r}^{(ij)} und mit G(v_{r}^{(ij)}) = μ_{j}v_{r}^{(ij)}. □

Simultane Diagonalisierbarkeit (in verallgemeinerter Form) ist wichtig in der Quantenmechanik, wo man in einem System zwei physikalische Größen nur dann gleichzeitig messen kann, wenn die entsprechenden Endomorphismen (des Hilbert-Raums) miteinander kommutieren. Im Wasserstoffatom sind das die Energie, der Gesamtdrehimpuls, eine Komponente des Drehimpulses (üblicherweise die z-Komponente) und der Spin. Entsprechend schreibt sich der Hilbert-Raum als direkte Summe von Eigenunterräumen der linearen Abbildungen, welche diesen physikalischen Größen entsprechen.

49 Trigonalisierung

Diagonalisierbarkeit eines Endomorphismus erfordert zwei Bedingungen: (1) Das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren.

(2) Die Vielfachheit der Nullstellen ist gleich der Dimension der Eigenräume. Wir werden nun sehen, daß für Endomorphismen, die nur (1) erfüllen, eine Basis existiert, so daß die darstellende Matrix eine obere Dreiecksmatrix ist. Das genügt zur Lösung von Gleichungssystemen.

Definition 49.1 Sei F ∈ End(V). Ein Untervektorraum W ⊆ V heißt F -invariant, wenn F (W) ⊆ W.

Offenbar sind die Eigenräume Eig(F; λ) automatisch F -invariant. Für die Triagonalisierung sind invariante Unterräume interessant, die keine Eigenräume sind.

Satz 49.2 Sei W ⊆ V ein F -invarianter Unterraum und F |_{W} : W → W die Einschränkung von F auf W. Dann ist das charakteristische Polynom P_{F |_{W}} (t) ein Teiler von P_{F} (t).

Beweis. Sei dim(V) = n und dim(W) = r ≤ n. Wir ergänzen eine Basis B|_{W} von W zu einer Basis B = (B|_{W} , B′) von V. Sei A|_{W} := M_{B|_{W}}^{B|_{W}} (F |_{W}), dann gilt

A = M_{B}^{B}(F) = ( \begin{matrix}A|_{W} & ∗ \\ 0 & A′ \end{matrix} ) .

Damit ist P_{A}(t) = det(A − t · E_{n}) = P_{A|_{W}} (t) · det(A′ − t · E_{n−r}). □

Sei F ∈ End(K^{n}) in der Standardbasis durch eine obere Dreiecksmatrix A ∈ M(n, K), d.h. a_{ij} = 0 für i > j, dargestellt. Definieren wir W_{i} := span(e_{1}, …, e_{r}), dann gilt F (W_{r}) ⊆ W_{r}, d.h. alle W_{r} mit 1 ≤ r ≤ n sind F -invariant. Abstrakter formuliert:

Definition 49.3 Eine Fahne (V_{r}) in einem n-dimensionalen Vektorraum V ist eine Kette

{0} = V_{0} ⊆ V_{1} ⊆ V_{2} ⋯ ⊆ V_{n} = V

von Untervektorräumen mit dim(V_{r}) = r. Ist F ∈ End(V), dann heißt die Fahne F -invariant, wenn F (V_{r}) ⊆ V_{r} für alle 0 ≤ r ≤ n.

Jede Basis von V definiert eine Fahne. Entscheidend ist, daß in einer F - invarianten Fahne gilt F (V_{1}) ⊆ V_{1} mit dim(V_{1}) = 1, so daß es einen Eigenvektor von F geben muß. Aus der Definition folgt direkt:

Satz 49.4 Für F ∈ End(V) sind folgende Bedingungen äquivalent:

i) Es gibt eine F -invariante Fahne von V. ii) Es gibt eine Basis B von V, so daß M_{B}^{B}(F) eine obere Dreiecksmatrix

ist.

Ist das der Fall, dann heißt F trigonalisierbar.

Nun der entscheidende Satz:

Satz 49.5 Für F ∈ End(V) mit dim(V) = n sind folgende Bedingungen äquivalent:

i) F ist trigonalisierbar.

ii) Das charakteristische Polynom von F zerfällt in Linearfaktoren, d.h.

P_{F} (t) = (−1)^{n}(t − λ_{1})(t − λ_{2}) ⋯ (t − λ_{n}) , λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K .

Insbesondere gilt: Jeder Endomorphismus eines endlich-dimensionalen komplexen Vektorraums ist trigonalisierbar.

Beweis. i)⇒ii) ist klar, denn ist die darstellende Matrix A von F bezüglich der Basis B aus Satz 49.4 eine obere Dreiecksmatrix, so gilt T_{F} (t) = P_{A}(t) = det(A− t · E_{n}) = (a_{11} − t) ⋯ (a_{nn} − t), d.h. λ_{i} = a_{ii}.

ii)⇒i) durch Induktion nach n = dim(V). Der Fall n = 1 ist klar. Sei also n ≥ 2, dann wählen wir einen Eigenvektor v_{1} zum Eigenwert (Nullstelle) λ_{1} und ergänzen v_{1} zu einer Basis B = (v_{1}, w_{1}, …, w_{n−1}) von V. Dann ist

V = V_{1} ⊕ W mit V_{1} := span(v_{1}) , W = span(w_{1}, …, w_{n−1}) .

Nun ist V_{1} ein F -invarianter Untervektorraum, W im allgemeinen aber nicht:

A = M_{B}^{B}(F) = ( \begin{matrix}λ_{1} & a_{1} & … & a_{n−1} \\ 0 \\ ⋮ & & B \\ 0 \end{matrix} ) .

Diese Darstellung definiert zwei lineare Abbildungen

G : W → W ,  G(w_{j}) = ∑_{i=1}^{n−1} B_{ij} · w_{i} ,
H : W → V_{1} ,  H(w_{j}) = a_{j} · v_{1} .

Nun gilt für das charakteristische Polynom P_{A}(t) = −(t−λ_{1})P_{B}(t). Da P_{A}(t) nach Voraussetzung in Linearfaktoren zerfällt, zerfällt auch P_{B}(t) in Linearfaktoren. Nach Induktionsvoraussetzung ist die durch B definierte lineare Abbildung G ∈ End(W) trigonalisierbar. Es gibt also eine G-invariante Fahne {0} = W_{0} ⊆ W_{1} ⊆ ⋯ ⊆ W_{n−1} = W. Wir setzen V_{r} := V_{1}+W_{r−1} für 1 ≤ r ≤ n. Ist v = μv_{1}+w ∈ V_{r}, also w ∈ W_{r−1}, dann gilt

F (v) = μF (v_{1}) + F (w) = μλ_{1}v_{1} + G(w) + H(w) ∈ V_{1} + W_{r−1}

wegen H(w) ∈ V_{1} und G(w) ∈ W_{r−1}. Somit ist {0} = V_{0} ⊆ V_{1} ⊆ ⋯ ⊆ V_{n} = V eine F -invariante Fahne, und F ist trigonalisierbar. □

Beispiel 49.6 Eine gedämpfte Schwingung wird durch die Differentialgleichung

x^{..} (t) + 2μẋ(t) + ω^{2}x(t) = 0 , x(0) = x_{0} , ẋ(0) = v_{0}

beschrieben. Wir setzen y_{1}(t) = x(t), y_{2}(t) = ẋ(t), dann ergibt sich ein System von zwei gekoppelten linearen Differentialgleichungen erster Ordnung

ẏ = A · y mit y = ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix} ) , A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −ω^{2} & −2μ \end{matrix} ) , y(0) = ( \begin{matrix}x_{0} \\ v_{0} \end{matrix} ) .

Da A unabhängig von t ist, ist die formale (und korrekte) Lösung gegeben durch

y(t) = exp(At) · y(0) mit exp(At) = E_{2} + ∑_{n=1}^{∞} \frac{t^{n}}{n!} \underbrace{A ⋯ A}_{n} ,

jedoch lassen sich diese Produkte so nicht leicht berechnen. Der Ausweg besteht in der Trigonalisierung von A.

Zunächst hat P_{A}(t) = t^{2} + 2μt + ω^{2} die komplexen Nullstellen λ_{1,2} = −μ ± \sqrt{μ^{2} − ω^{2}}. Für μ = ω hat die Nullstelle λ = −μ die Vielfachheit 2, die uns näher interessieren wird. Für μ = ω bestimmen wir den Eigenraum zu λ = −ω:

(A + ω · E_{2}) · v = ( \begin{matrix}ω & 1 \\ −ω^{2} & −ω \end{matrix} ) ( \begin{matrix}v_{1} \\ v_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} )

⇒ ( \begin{matrix}ω & 1 \\ −ω^{2} & −ω \end{matrix} ) ⟶^{IV_{12}(ω)} ( \begin{matrix}ω & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} )  ⇒ v = ( \begin{matrix}1 \\ −ω \end{matrix} ) · t .

Damit ist dim(Eig(A; −ω)) = 1, aber die Nullstelle hat Vielfachheit 2. Folglich ist A nicht diagonalisierbar.

Zur Trigonalisierung wählen wir die Basis B = (v, e_{2}), dann ist

A = \underbrace{( \begin{matrix}1 & 0 \\ −ω & 1 \end{matrix} )}_{S} ( \begin{matrix}−ω & 1 \\ 0 & −ω \end{matrix} ) \underbrace{( \begin{matrix}1 & 0 \\ ω & 1 \end{matrix} )}_{S^{−1}} .

Somit gilt

A^{n} = S ( \begin{matrix}−ω & 1 \\ 0 & −ω \end{matrix} )^{n} S^{−1} = S ( \begin{matrix}(−ω)^{n} & n(−ω)^{n−1} \\ 0 & (−ω)^{n} \end{matrix} ) S^{−1}

⇒ exp(At) = S ( \begin{matrix}e^{−ωt} & te^{−ωt} \\ 0 & e^{−ωt} \end{matrix} ) S^{−1}

und damit insbesondere

(S^{−1}y)(t) = ( \begin{matrix}e^{−ωt} & te^{−ωt} \\ 0 & e^{−ωt} \end{matrix} ) S^{−1}y(0)

Unter Verwendung von S^{−1}y = ( \begin{matrix}x \\ ωx + ẋ \end{matrix} ) erhalten wir für die 2. Komponente

ωx + ẋ = e^{−ωt}(ωx_{0} + v_{0})
⇒  e^{−ωt} \frac{d}{dt}(e^{ωt}x) = e^{−ωt}(ωx_{0} + v_{0})
⇒  (e^{ωt}x) = const + t(ωx_{0} + v_{0}) , t = 0 ⇒ const = x_{0}
⇒  x(t) = e^{−ωt}(x_{0} + tωx_{0} + tv_{0}) .

Die Lösung beschreibt die Auslenkung x(t) im aperiodischen Grenzfall. ◁

Für großes n enthält eine allgemeine obere Dreiecksmatrix T ∈ M(n, K) noch immer zu viele Einträge ≠ 0, so daß Berechnungen von Polynomen oder Potenzreihen in T zu aufwendig werden. Es läßt sich zeigen, daß die Basis derart gewählt werden kann, daß die zugehörige darstellende Matrix eines trigonalisierbaren Endomorphismus F block-diagonal ist, wobei die Blöcke selbst obere Dreiecksmatrizen sind:

M_{B}^{B}(F) = ( \begin{matrix}T_{1} & O & … & O \\ O & T_{2} & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & O \\ O & … & O & T_{k} \end{matrix} ) , T_{i} = ( \begin{matrix}λ_{i} & ∗ & … & ∗ \\ 0 & λ_{i} & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ∗ \\ 0 & … & 0 & λ_{i} \end{matrix} ) ∈ M(r_{i}, K) .

Für Polynome und Potenzreihen werden deshalb nur Potenzen von T_{i} ∈ M(r_{i}, K) benötigt. Diese sind durch folgende Überlegung leicht zu berechnen: Es gilt T_{i} = λ_{i}E_{r_{i}} + N_{i}, wobei N_{i} ∈ M(r_{i}, K) eine obere Dreiecksmatrix ist, deren Diagonalelemente identisch Null sind. Für eine solche Matrix gilt N_{i}^{d} = 0 für alle d ≥ r_{i}. Allgemein heißen Endomorphismen N, für die es ein d ∈ ℕ gibt mit N^{d} = 0, nilpotent. Da λ_{i}E_{r_{i}} und N_{i} kommutieren, gilt einfach

T_{i}^{p} = ∑_{j=0}^{min(p,r_{i}−1)} \binom{p}{j}λ_{i}^{p−j}N_{i}^{j} .

Schließlich kann man durch geeignete Basiswahl den nilpotenten Endomorphismen N = (n_{kl}) eine Standardform geben, die Jordansche Normalform. In dieser sind auch alle Einträge oberhalb der ersten Nebendiagonalen gleich 0, d.h. n_{kl} = 0 für alle l ≠ k+1, und in der ersten Nebendiagonalen (l = k+1) stehen abwechselnde Folgen von 1 und 0. Genauer gibt es zu N = (n_{kl}) ∈ M(r, K) mit N^{d} = 0, d minimal, eindeutig bestimmte s_{1}, …, s_{d} ∈ ℕ mit r = ds_{d}+(d−1)s_{d−1}+⋯+2s_{2}+s_{1} und eine Basis J von K^{r}, so daß M_{J}^{J} (N) = (j_{k}δ_{l,k+1}) mit

(j_{1}, …, j_{r−1}, 0)

= ( \underbrace{\underbrace{1, …, 1, 0}_{d}, …, \underbrace{1, …, 1, 0}_{d}}_{s_{d}}, \underbrace{\underbrace{1, …, 1, 0}_{d−1}, …, \underbrace{1, …, 1, 0}_{d−1}}_{s_{d−1}}, …, \underbrace{\underbrace{0}_{1}, …, \underbrace{0}_{1}}_{s_{1}} ) .

50 Selbstadjungierte und unitäre Endomorphismen

Definition 50.1 Sei V ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum und F ∈ End(V). Ein Endomorphismus F^{∗} ∈ End(V) heißt zu F adjungiert, wenn

⟨v, F (w)⟩ = ⟨F^{∗}(v), w⟩ ∀v, w ∈ V .

Satz 50.2 Sei V ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Falls der zu F adjungierte Endomorphismus F^{∗} ∈ End(V) existiert, so gilt:

i) F^{∗} ist eindeutig.

ii) ker(F^{∗}) = (im(F))^{⊥}

iii) im(F^{∗}) = (ker(F))^{⊥}

Beweis. i) Gäbe es zwei Lösungen F_{1}^{∗} und F_{2}^{∗} mit ⟨v, F (w)⟩ = ⟨F_{1}^{∗}(v), w⟩ = ⟨F_{2}^{∗}(v), w⟩ für alle v, w ∈ V, so folgt

0 = ⟨F_{1}^{∗}(v), w⟩ − ⟨F_{2}^{∗}(v), w⟩ = ⟨F_{1}^{∗}(v) − F_{2}^{∗}(v), w⟩

für alle v, w, insbesondere für w = F_{1}^{∗}(v) − F_{2}^{∗}(v). Damit ist F_{1}^{∗} = F_{2}^{∗}.

ii) Sei v ∈ (im(F))^{⊥}, so ist 0 = ⟨v, F (w)⟩ = ⟨F^{∗}(v), w⟩ für alle w ∈ V, und damit ker(F^{∗}) = (im(F))^{⊥}.

iii) Sei w ∈ ker(F), dann ist 0 = ⟨v, F (w)⟩ = ⟨F^{∗}(v), w⟩ für alle v ∈ V. Das bedeutet im(F^{∗}) = (ker(F))^{⊥}. □

Satz 50.3 Sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Dann gibt es zu jedem F ∈ End(V) den adjungierten Endomorphismus F^{∗}, und bezüglich einer Orthonormalbasis B von V gilt M_{B}^{B}(F^{∗}) = (M_{B}^{B}(F))^{∗} :=

\overline{(M_{B}^{B}(F))^{t}}.

Beweis. Nach Satz 43.8 besitzt V eine Orthonormalbasis B = (v_{1}, …, v_{n}). In dieser Basis sei F (v_{j}) = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}v_{i}, d.h. M_{B}^{B}(F) = (a_{ij}). Dann gilt

⟨v_{k}, F (v_{j})⟩ = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}⟨v_{k}, v_{i}⟩ = a_{kj} = ∑_{i=1}^{n}⟨\overline{a_{ki}}v_{i}, v_{j}⟩ .

Damit hat F^{∗}(v_{k}) := ∑_{i=1}^{n} b_{ik}v_{i} mit b_{ik} = \overline{a_{ki}} die Eigenschaft eines adjungierten Endomorphismus, und M_{B}^{B}(F^{∗}) = (b_{ij}) = \overline{(a_{ij})^{t}}. □

Definition 50.4 Es sei (V, ⟨ , ⟩) ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum. Ein Endomorphismus F ∈ End(V) heißt

i) selbstadjungiert (für 𝕂 = ℝ auch symmetrisch), wenn F = F^{∗} gilt, d.h. ⟨v, F (w)⟩ = ⟨F (v), w⟩ für alle v, w ∈ V,

ii) orthogonal bzw. unitär, wenn F ∘ F^{∗} = F^{∗} ∘ F = id_{V} gilt, d.h. ⟨F (v), F (w)⟩ = ⟨v, w⟩ für alle v, w ∈ V,

iii) normal, falls F ∘ F^{∗} = F^{∗} ∘ F gilt.

Orthogonale, unitäre und selbstadjungierte Endomorphismen sind folglich auch normal. Die Definition überträgt sich wegen Satz 50.3 auf Matrizen: Eine Matrix A ∈ M(n, K) heißt selbstadjungiert oder hermitesch, wenn A = A^{∗} = \overline{A^{t}} gilt, und orthogonal bzw. unitär, wenn A^{∗} = A^{−1} ist. Es folgt | det A| = 1 für orthogonale bzw. unitäre Matrizen. Die Bedingungen A^{t} · A = E_{n} bzw. A^{∗} · A = E_{n} bedeuten, daß die Spalten von A eine Orthonormalbasis von 𝕂^{n} bilden. Analog bedeutet A · A^{t} = E_{n} bzw. A · A^{∗} = E_{n}, daß die Zeilen von A eine Orthonormalbasis von 𝕂^{n} bilden.

Satz 50.5 • O(n) := {A ∈ GL(n; ℝ) : A^{−1} = A^{t}} ist Untergruppe der GL(n; ℝ) (orthogonale Gruppe).

• SO(n) := {A ∈ O(n) : det A = 1} ist Untergruppe der GL(n; ℝ) (spezielle orthogonale Gruppe).

• U(n) := {A ∈ GL(n; ℂ) : A^{−1} = A^{∗}} ist Untergruppe der GL(n; ℂ) (unitäre Gruppe).

• SU(n) := {A ∈ U(n) : det A = 1} ist Untergruppe der GL(n; ℂ) (spezielle unitäre Gruppe).

Beweis. Für A, B ∈ O(n) ist (AB)^{−1} = B^{−1}A^{−1} = B^{t}A^{t} = (AB)^{t} sowie (A^{−1})^{−1} = A = (A^{−1})^{t}, damit ist O(n) Untergruppe. Für A, B ∈ SO(n) ist det(AB) = (det A)(det B) = 1, damit ist SO(n) Untergruppe. Analog für U(n) und SU(n). □

Beispiel 50.6 Im ℝ^{2} mit dem kanonischen Skalarprodukt ist die Standardbasis eine Orthonormalbasis. Die Bedingung für orthogonale Matrizen lautet

O(2) := \{A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) : a, b, c, d ∈ ℝ , A^{t} · A = E_{2}

⇔ a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2} = 1 und ac + bd = 0} .

Setzen wir a = cos ϕ, b = sin ϕ, c = sin θ, d = cos θ, so verbleibt sin(ϕ + θ) = 0 mit den beiden verschiedenen Lösungen ϕ = −θ und ϕ = π − θ. Somit gilt:

O(2) = \{( \begin{matrix}cos θ & − sin θ \\ sin θ & cos θ \end{matrix} ) : θ ∈ [0, 2π[\} ∪ \{( \begin{matrix}cos ϕ & sin ϕ \\ sin ϕ & − cos ϕ \end{matrix} ) : ϕ ∈ [0, 2π[\}.

Die erste Menge beschreibt Drehungen im ℝ^{2} und die zweite eine Kombination aus Drehungen und einer Spiegelung. Das sind gerade die Transformationen im ℝ^{2}, welche Winkel und Abstände erhalten. Die Gruppe SO(2) besteht nur aus der ersten durch θ parametrisierten Menge. ◁

Satz 50.7 Ist F ∈ End(V) orthogonal bzw. unitär, so gilt i) ∥F (v)∥ = ∥v∥ ∀v ∈ V.

ii) Ist umgekehrt ∥F (v)∥ = ∥v∥ für alle v ∈ V, so ist F orthogonal bzw. unitär.

iii) v ⊥ w ⇒ F (v) ⊥ F (w).

iv) F ist Isomorphismus und F^{−1} ist ebenfalls orthogonal bzw. unitär.

v) Ist λ ∈ 𝕂 Eigenwert von F, so ist |λ| = 1.

Beweis. i) und iii) sind klar.

ii) In euklidischen oder unitären Vektorräumen gelten die Polarisationsformeln

⟨v, w⟩ = \frac{1}{4}(∥v + w∥^{2} − ∥v − w∥^{2} − i∥v + iw∥^{2} + i∥v − iw∥^{2}) für 𝕂 = ℂ ,
⟨v, w⟩ = \frac{1}{4}(∥v + w∥^{2} − ∥v − w∥^{2})  für 𝕂 = ℝ

Somit folgt aus ii) auch ⟨F (v), F (w)⟩ = ⟨v, w⟩ für alle v, w ∈ V.

iv) Aus i) folgt, daß F injektiv ist: Wäre F (v) = F (w), so ist 0 = ∥F (v − w)∥ = ∥v − w∥. Wegen F (F^{∗}(v)) = v ist F surjektiv, also bijektiv. Die Ersetzung v ↦ F^{−1}(v) liefert Orthogonalität/Unitarität von F^{−1}.

v) Ist v Eigenvektor von F zum Eigenwert λ, so ist

∥v∥ = ∥F (v)∥ = ∥λv∥ = |λ|∥v∥  ⇒ |λ| = 1 wegen v ≠ 0 .  □

Damit erhalten orthogonale/unitäre Endomorphismen die Normen, Abstände und Winkel und haben somit eine wichtige geometrische Interpretation als Isometrien.

Satz 50.8 Ist F ∈ End(V) selbstadjungiert, dann sind alle Eigenwerte von F reell. Insbesondere hat eine hermitesche Matrix nur reelle Eigenwerte.

Beweis. Ist F (v) = λv mit v ≠ 0, so gilt

λ⟨v, v⟩ = ⟨v, F (v)⟩ = ⟨F (v), v⟩ = \overline{λ}⟨v, v⟩

und damit λ = \overline{λ}. □

Satz 50.9 Es sei (V, ⟨ . ⟩) ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und F ∈ End(V) normal. Dann gilt:

i) ker F = ker F^{∗}

ii) Ist λ Eigenwert von F, dann ist λ̄ Eigenwert von F^{∗}, und es gilt Eig(F; λ) = Eig(F^{∗}; λ̄).

iii) Sind λ_{1}, λ_{2} Eigenwerte von F mit λ_{1} ≠ λ_{2}, so gilt Eig(F; λ_{1}) ⊥ Eig(F; λ_{2}).

Beweis. i) Sei v ∈ ker F, so folgt

0 = ⟨F (v), F (v)⟩ = ⟨F^{∗} ∘ F (v), v⟩ = ⟨F ∘ F^{∗}(v), v⟩ = ⟨F^{∗}(v), F^{∗}(v)⟩ ,

also auch v ∈ ker F^{∗}. Ebenso ker F^{∗} ⊆ ker F.

ii) Es gilt (F − λid_{V})^{∗} = F^{∗} − \overline{λ}id_{V}. Mit F ist auch F − λid_{V} normal. Dann folgt aus i)

Eig(F; λ) = ker(F − λ id_{V}) = ker(F − λ id_{V})^{∗} = ker(F^{∗} − \overline{λ} id_{V}) = Eig(F^{∗}; λ̄) .

Sei v ∈ Eig(F; λ_{1}), w ∈ Eig(F; λ_{2}), so folgt

λ_{2}⟨v, w⟩ = ⟨v, λ_{2}w⟩ = ⟨v, F (w)⟩ = ⟨F^{∗}(v), w⟩ = ⟨\overline{λ_{1}}v, w⟩ = λ_{1}⟨v, w⟩

also 0 = (λ_{2} − λ_{1})⟨v, w⟩. □

Trigonalisierung ist entscheidend für:

Theorem 50.10 Es sei (V, ⟨ . ⟩) ein endlich-dimensionaler \underline{unitärer} Vektorraum und F ∈ End(V) normal. Dann besitzt V eine Orthonormalbasis B = (v_{1}, …, v_{n}) aus Eigenvektoren von F. Insbesondere ist F diagonalisierbar.

Es seien λ_{1}, …, λ_{k} die paarweise verschiedenen Eigenwerte von F und Eig(F; λ_{i}), i = 1, …, k die zugehörigen paarweise orthogonalen Eigenräume. Nach Satz 43.8 besitzt Eig(F; λ_{i}) eine Orthonormalbasis B_{i} = (v_{i1}, …, v_{in_{i}}). Nach Satz 50.9 ist B′ = B_{1} ∪ ⋯ ∪ B_{k} ein Orthonormalsystem aus Eigenvektoren von F. Wir zeigen: B′ ist Orthonormalbasis von V.

Sei W := ⨁_{i=1}^{k} Eig(F; λ_{i}). Nach Satz 43.11 ist V = W ⊕ W^{⊥}. Angenommen, es gäbe ein 0 ≠ v ∈ W^{⊥}. Dann gilt für beliebiges w ∈ W die Identität ⟨F (v), w⟩ = ⟨v, F^{∗}(w)⟩ = 0, da F^{∗}(W) ⊆ W. Somit ist F |_{W^{⊥}} ∈ End(W^{⊥}) und damit nach Satz 49.5 in W^{⊥} trigonalisierbar. Insbesondere besitzt F |_{W^{⊥}} einen Eigenvektor (Definition 49.3). Dieser ist aber auch Eigenvektor von F ∈ End(V) und damit bereits in W enthalten, Widerspruch. □

Wir können nicht erwarten, daß sich dieses Theorem auf den reellen Fall überträgt, da Endomorphismen eines reellen Vektorraums nicht trigonalisierbar sein müssen. Insbesondere lassen sich die Matrizen aus SO(2) nicht diagonalisieren. Es gilt aber:

Satz 50.11 Jeder \underline{selbstadjungierte} Endomorphismus eines endlichdimensionalen euklidischen Vektorraums V ist diagonalisierbar.

Beweis. Wie im vorigen Theorem bis zur Konstruktion von F ∈ End(W^{⊥}). Einziger Unterschied ist, daß W^{⊥} = V sein könnte. Offenbar ist F |_{W^{⊥}} auch auf W^{⊥} selbstadjungiert. Das charakteristische Polynom zerfällt zunächst über ℂ in komplexe Linearfaktoren. Nach Satz 50.8 sind alle Eigenwerte reell, d.h. das charakteristische Polynom zerfällt sogar in reelle Linearfaktoren. Damit ist F |_{W^{⊥}} ∈ End(W^{⊥}) in W^{⊥} reell trigonalisierbar, und es gibt einen Eigenvektor.□

Satz 50.12 Ist A ∈ M(n, 𝕂) eine reelle symmetrische bzw. hermitesche Matrix, dann gibt es eine orthogonale bzw. unitäre Matrix T ∈ O(n) bzw. T ∈ U(n) mit

A = T ΛT^{∗} , Λ = ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ_{n} \end{matrix} ) ,

wobei λ_{i} ∈ ℝ die Eigenwerte von A sind.

Beweis. Die Matrix A = \overline{A^{t}} = (a_{ij}), also a_{ji} = \overline{a_{ij}}, definiert einen selbstadjungierten Endomorphismus F = F^{∗} ∈ End(𝕂^{n}) durch F (e_{j}) = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}e_{i}, wobei (e_{1}, …, e_{n}) die Standardbasis ist. Sei (v_{1}, …, v_{n}) eine orthonormale Basis von 𝕂^{n} aus Eigenvektoren von F, d.h. F (v_{i}) = λ_{i}v_{i}. Wir zerlegen v_{i} nach der Standardbasis: v_{i} = ∑_{k=1}^{n} t_{ki}e_{k}. Aus der Orthonormalität folgt ⟨v_{i}, v_{j}⟩ = ∑_{k=1}^{n} \overline{t_{ki}}t_{kj} = δ_{ij}, und damit T^{∗}T = E_{n} für T = (t_{ij}). Andererseits gilt nach der Parsevalschen Gleichung

δ_{kj} = ⟨e_{k}, e_{j}⟩ = ∑_{i=1}^{n}⟨e_{k}, v_{i}⟩⟨v_{i}, e_{j}⟩ = ∑_{i=1}^{n} t_{ki}\overline{t_{ji}} ,

also T T^{∗} = E_{n} und damit T ∈ O(n) bzw. T ∈ U(n). Nun gilt

F (v_{k}) = ∑_{j=1}^{n} t_{jk}F (e_{j}) = ∑_{i,j=1}^{n} t_{jk}a_{ij}e_{i} = λ_{k}v_{k} = ∑_{l=1}^{n} λ_{k}t_{lk}e_{l} .

Da die e_{i} linear unabhängig sind, folgt ∑_{j=1}^{n} a_{ij}t_{jk} = t_{ik}λ_{k} für alle k. Wir multiplizieren mit \overline{t_{lk}} und summieren über k:

∑_{k,j=1}^{n} a_{ij}t_{jk}\overline{t_{lk}} = a_{il} = ∑_{k=1}^{n} t_{ik}λ_{k}\overline{t_{lk}} = (T ΛT^{∗})_{il} .  □

Wir wissen, daß die Spalten (v_{1}, …, v_{n}) von T eine Orthonormalbasis bilden, mit Av_{i} = λ_{i}v_{i}. Die Matrix T dreht also die Standardorthonormalbasis (e_{i}) in die Eigenbasis (v_{1}, …, v_{n}), in der A diagonal ist. Diese Drehung heißt Hauptachsentransformation. Sie ist z.B. wichtig bei der Rotation asymmetrischer Körper.

Solchen Körpern läßt sich ein Trägheitstensor zuordnen, was im wesentlichen einer symmetrischen Matrix I = (I_{kl}) entspricht. Dann läßt sich das Trägheitsmoment des Körpers bezüglich Rotation um eine durch den Schwerpunkt gehende Achse ω = (ω_{1}, ω_{2}, ω_{3}) berechnen zu

J_{ω} = \frac{1}{∥ω^{2}∥}⟨ω, Iω⟩ = \frac{1}{∥ω^{2}∥} ∑_{k,l=1}^{3} I_{kl}ω_{k}ω_{l} .

Wir wissen, daß I als symmetrische Matrix diagonalisierbar ist und der ℝ^{3} eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von I besitzt. Diese Basisvektoren heißen die Hauptträgheitsachsen des Körpers. Es zeigt sich, daß im allgemeinen nur die Rotation um zwei orthogonale Achsen stabil ist, nämlich um die Eigenvektoren von I zum größten und kleinsten Eigenwert. (Aus physikalischen Gründen sind sämtliche Eigenwerte von I positiv.)

Die Drehung der Standardbasis in die Basis der Hauptträgheitsachsen vermittelt durch ein T ∈ SO(3) parametrisiert man zweckmäßigwerweise durch Eulersche Winkel:

T = (\begin{matrix}cos γ & − sin γ & 0 \\ sin γ & cos γ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos β & − sin β \\ 0 & sin β & cos β \end{matrix}) (\begin{matrix}cos α & − sin α & 0 \\ sin α & cos α & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

Zuerst wird die ONB (e_{1}, e_{2}, e_{3}) um einen Winkel α um e_{3} gedreht. Es entsteht die ONB (e′_{1}, e′_{2}, e_{3}). Es folgt eine Rotation um den Winkel β um e′_{1} zur ONB (e′_{1}, e′′_{2}, e′′_{3}). Schließlich dreht man um den Winkel γ um e′′_{3}.

Ist (V, ⟨ , ⟩) ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum, dann definiert jeder Endomorphismus F ∈ End(V) eine Abbildung L : V × V → 𝕂 durch L(v, w) := ⟨v, F (w)⟩, die linear in der 2. Komponente (Axiom (S1) aus Definition 15.1) und semilinar in der 1. Komponente ist. Abbildungen L : V × V → 𝕂 mit diesen beiden Eigenschaften heißen Bilinearformen bzw. Sesquilinearformen. Gilt zusätzlich (S2) aus Definition 15.1, so heißt die Bilinearform symmetrisch bzw. die Sesquilinearform hermitesch. Wegen

⟨v, F (w)⟩ = ⟨F^{∗}(v), w⟩ = \overline{⟨w, F^{∗}(v)⟩}

(falls F^{∗} existiert) gilt (S2) für L(v, w) := ⟨v, F (w)⟩ genau dann, wenn F selbstadjungiert ist. Schließlich kann man sich fragen, wann (S3) gilt:

Definition 50.13 Sei V ein Vektorraum über 𝕂. Eine symmetrische Bilinearform bzw. hermitesche Sesquilinearform L : V × V → 𝕂 heißt

• positiv semidefinit, wenn L(v, v) ≥ 0 für alle v ∈ V,

• nicht ausgeartet, wenn L(v, v) = 0 ⇔ v = 0,

• positiv definit, wenn L positiv semidefinit und nicht-ausgeartet ist.

Ein Skalarprodukt auf V ist damit eine positiv definite symmetrische Bilinearform bzw. positiv definite hermitesche Sesquilinearform.

Wir interessieren uns nun für die Frage, wie man entscheiden kann, ob eine symmetrische Bilinearform positiv definit ist (und somit ein Skalarprodukt definiert).

Satz 50.14 Es sei (V, ⟨ , ⟩) ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Die durch einen selbstadjungierten Endomorphismus F = F^{∗} ∈ End(V) über L(v, w) = ⟨v, F (w)⟩ definierte Bilinearform bzw. Sesquilinearform L ist genau dann positiv definit, wenn alle Eigenwerte von F positiv sind.

Beweis. Nach Theorem 50.10 bzw. Satz 50.11 besitzt V eine Orthonormalbasis B = (v_{1}, …, v_{n}) aus Eigenvektoren von F. Es sei F (v_{i}) = λ_{i}v_{i} mit λ_{i} ∈ ℝ nach Satz 50.8. Dann gilt für einen beliebigen Vektor v = μ_{1}v_{1} + ⋯ + μ_{n}v_{n} ∈ V

L(v, v) = ⟨v, F (v)⟩ = ⟨ ∑_{j=1}^{n} μ_{j}v_{j}, ∑_{j=1}^{n} μ_{i}F (v_{i})⟩ = ∑_{i,j=1}^{n} \overline{μ_{j}}μ_{i}λ_{i}⟨v_{i}, v_{j}⟩
= λ_{1}|μ_{1}|^{2} + ⋯ + λ_{n}|μ_{n}|^{2} .

Daraus folgt die Behauptung. □

Allerdings ist die Bestimmung der Eigenwerte meist nur numerisch möglich. Ein einfacheres Kriterium im reellen Fall kann wie folgt erhalten werden:

Satz 50.15 Sei A ∈ M(n, ℝ) eine symmetrische Matrix und A_{k} ∈ M(k, ℝ) die linke obere Teilmatrix von A aus k Zeilen und Spalten. Dann ist A genau dann positiv definit, wenn det A_{k} > 0 für alle 1 ≤ k ≤ n.

Beweis. (⇒) Ist A = A^{t} ∈ M(n, ℝ) positiv definit, dann ist det A = det(T ΛT^{t}) = det Λ(det T)^{2} = λ_{1} · · · · · · λ_{n} > 0. Die Matrix A_{k} beschreibt die Einschränkung der durch A definierten Bilinearform auf den Untervektorraum

V_{k} := {x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} : x_{k+1} = ⋯ = x_{n} = 0} .

Ist A positiv definit, dann ist auch ⟨x, Ax⟩ > 0 für alle x ∈ V_{k} mit x ≠ 0. Folglich ist det A_{k} > 0.

(⇐) wird durch Induktion nach n bewiesen. Sei in Blockdarstellung

A = A^{t} = ( \begin{matrix}B & b \\ b^{t} & c \end{matrix} ) ∈ M(n, ℝ) B = B^{t} ∈ M(n − 1, ℝ) , c ∈ ℝ
b ∈ ℝ^{n−1} (Spaltenvektor) .

Nach Induktionsvoraussetzung folgt aus det A_{k} = det B_{k} > 0 für 1 ≤ k ≤ n − 1, daß B positiv definit ist. Damit gilt B = T ΛT^{t}, wobei T ∈ O(n − 1) und Λ ∈ M(n − 1, ℝ) eine Diagonalmatrix mit positiven Eigenwerten λ_{1}, …, λ_{n−1} von B auf der Diagonale ist. Dann ist

A = ( \begin{matrix}T & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}Λ & T^{t}b \\ b^{t}T & c \end{matrix} ) ( \begin{matrix}T & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )^{t}

= (\begin{matrix}T & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}E_{n−1} & 0 \\ b^{t}T Λ^{−1} & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}Λ & 0 \\ 0 & c − b^{t}T Λ^{−1}T^{t}b \end{matrix}) (\begin{matrix}E_{n−1} & Λ^{−1}T^{t}b \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}T & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})^{t} .

Nun ist det A = (det T)^{2}(det Λ)(c − b^{t}T Λ^{−1}T^{t}b) genau dann positiv, wenn c − b^{t}T Λ^{−1}T^{t}b > 0. Andererseits ist x^{t}Ax > 0 für alle x ∈ ℝ^{n} genau dann, wenn

y^{t} ( \begin{matrix}Λ & 0 \\ 0 & c − b^{t}T Λ^{−1}T^{t}b \end{matrix} ) y > 0 für alle y ∈ ℝ^{n}. □

Achtung: In obiger Darstellung für A ist (\begin{matrix}E_{n−1} & Λ^{−1}T^{t}b \\ 0 & 1 \end{matrix}) keine orthogonale

Matrix für b ≠ 0, so daß λ_{1}, …, λ_{n+1}, c − b^{t}T Λ^{−1}T^{t}b nicht die Eigenwerte von A sind!

51 Lineare beschränkte Operatoren auf Hilbert-Räumen

Hilbert-Räume sind unitäre (oder euklidische) Vektorräume (H, ⟨ , ⟩), die bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Metrik vollständig sind, d.h. jede Cauchy-Folge von Vektoren aus H ist konvergent. Diese Vollständigkeit erlaubt es, viele der in endlich-dimensionalen Vektorräumen vorgestellten Strukturen zu übertragen. Hilbert-Räume besitzen immer Orthonormalbasen. In einer wichtigen Klasse, den separablen Hilbert-Räumen, sind diese ONB (v_{n})_{n∈ℕ} abzählbar und durch das Verfahren von Gram-Schmidt konstruierbar. Damit besitzt jeder Vektor v ∈ H eine konvergente Fourier-Entwicklung v = ∑_{n=0}^{∞}⟨v_{n}, v⟩v_{n}. Wir behandeln in diesem Abschnitt das Analogon der Endomorphismen endlich-dimensionaler Vektorräume. Dabei spielt der Dualraum eine entscheidende Rolle.

Definition 51.1 Es sei (V, ∥ ∥) ein normierter Vektorraum über 𝕂. Eine lineare Abbildung f : V → 𝕂 heißt beschränkt, wenn es ein 0 ≤ C < ∞ gibt, so daß für alle v ∈ V gilt |f(v)| ≤ C∥v∥.

Satz 51.2 Es sei (V, ∥ ∥) ein normierter Vektorraum über 𝕂. Die Menge

V′ = B(V, 𝕂) := {f : V → 𝕂 : f linear und beschränkt }

aller linearen beschränkten Abbildungen von V nach 𝕂 ist ein Banach-Raum bezüglich der Operator-Norm

∥f∥_{op} := sup_{v∈V , ∥v∥≤1} |f(v)| .

Dieser Banach-Raum V′ heißt der Dualraum von V.

Beweis. Betrachtet man nur die Linearität, dann ist V′ = Hom(V, 𝕂) als Homomorphismus von Vektorräumen selbst wieder ein Vektorraum. Zu zeigen ist jedoch, daß aus f, g ∈ V′ auch f + g ∈ V′ folgt. Das ergibt sich jedoch aus dem Beweis, daß ∥ ∥_{op} eine Norm ist. ∥λf∥_{op} = |λ|∥f∥_{op} ist klar. Die Dreiecksungleichung folgt aus

∥f + g∥_{op} = sup_{v∈V , ∥v∥≤1} |f(v) + g(v)| ≤ sup_{v∈V , ∥v∥≤1}(|f(v)| + |g(v)|)

≤ sup_{v∈V , ∥v∥≤1} |f(v)| + sup_{w∈V , ∥w∥≤1} |g(v)| = ∥f∥_{op} + ∥g∥_{op} .

Schließlich bedeutet ∥f∥_{op} = 0, daß f(v) = 0 für alle v ∈ V, also ist f die Nullabbildung.

Wegen |f(v) − f(w)| ≤ ∥f∥_{op}∥v − w∥ ist f Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante ∥f∥_{op}, insbesondere stetig. Sei X = {v ∈ V : ∥v∥ = 1} die Einheitssphäre in V, dann ist die Einschränkung f|_{X} : X → 𝕂 ebenfalls stetig. In Satz 33.4 hatten wir bewiesen, daß für einen metrischen Raum X der Vektorraum C_{b}(X) = {f : X → 𝕂 stetig : ∥f∥ := sup_{x∈X} |f(x)| < ∞} vollständig ist. Hier ist X = {v ∈ V : ∥v∥ ≤ 1} der Einheitsball und ∥f∥ = ∥f∥_{op}. □

In Hilbert-Räumen (vollständigen unitären/euklidischen Verktorräumen) entsteht der Dualraum durch eine besondere Konstruktion. Ein Untervektorraum U eines Hilbert-Raums heißt abgeschlossen, wenn U ⊆ H als Teilmenge metrischer Räume abgeschlossen ist, d.h. wenn der Grenzwert jeder in H konvergenten Folge von Punkten aus U bereits in U enthalten ist.

Satz 51.3 Sei (H, ⟨ , ⟩) ein Hilbert-Raum und U ⊆ H ein abgeschlossener Untervektorraum. Dann gilt:

i) Zu jedem v ∈ H existiert genau ein w ∈ U mit ∥v − w∥ = min_{u∈U} ∥v − u∥ =: d(v, U).

ii) Es gilt v − w ∈ U^{⊥}, so daß P_{U}(v) := w die orthogonale Projektion von v auf U definiert.

iii) H = U ⊕ U^{⊥}.

Beweis. i) Sei γ := inf_{u∈U} ∥v − u∥. Dann gibt es eine Folge (u_{n})_{n∈ℕ} von Vektoren u_{n} ∈ U, so daß die Folge (γ_{n})_{n∈ℕ} mit γ_{n} := ∥v − u_{n}∥ gegen γ konvergiert. In jedem unitären Vektorraum gilt die Parallelogrammgleichung

∥v + w∥^{2} + ∥v − w∥^{2} = 2∥v∥^{2} + 2∥w∥^{2} für alle v, w ∈ V .

Somit gilt

∥u_{m} − u_{n}∥^{2} = ∥(v − u_{n}) − (v − u_{m})∥^{2}
= 2∥v − u_{n}∥^{2} + 2∥v − u_{m}∥^{2} − 4∥v − \frac{1}{2}(u_{n} + u_{m})∥^{2} .

Wegen \frac{1}{2}(u_{n} + u_{m}) ∈ U ist γ ≤ ∥v − \frac{1}{2}(u_{n} + u_{m})∥ ≤ \frac{1}{2}(∥v − u_{n}∥ + ∥v − u_{m}∥). Da ∥v − u_{n}∥ und ∥v − u_{m}∥ gegen γ konvergieren, konvergiert auch ∥v − \frac{1}{2}(u_{n} + u_{m})∥^{2} gegen γ und ∥u_{m} − u_{n}∥^{2} gegen 0 für m, n → ∞. Somit ist (u_{n})_{n∈ℕ} eine Cauchy-Folge. Wegen der Vollständigkeit konvergiert diese gegen ein w ∈ H, und wegen der Abgeschlossenheit von U gilt sogar w ∈ U.

Wir zeigen anschließend v − w ∈ U^{⊥}, dann folgt die Eindeutigkeit von w wie in Satz 43.5.

ii) Sei also 0 ≠ u ∈ U beliebig und λ := \frac{⟨v−w,u⟩}{∥u∥^{2}} ∈ 𝕂. Dann bedeutet die Minimalität ∥v − w∥^{2} ≤ ∥v − w − λu∥^{2}. Andererseits ist

∥v − w − λu∥^{2} = ∥v − w∥^{2} + |λ|^{2}∥u∥^{2} − λ⟨v − w, u⟩ − \overline{λ}⟨u, v − w⟩
= ∥v − w∥^{2} − |λ|^{2}∥u∥^{2} ,

also λ = 0 und damit v − w ∈ U^{⊥}.

iii) Somit ist v = (v − P_{U}(v)) + P_{U}(v) ∈ U^{⊥} + U, also H = U + U^{⊥} und U ∩ U^{⊥} = {0} nach Satz 43.11. □

Satz 51.4 (Riesz) Sei H ein Hilbert-Raum, (H′, ∥ ∥_{op}) sein Dualraum und j : H → H′ definiert durch j(v)(w) := ⟨v, w⟩. Dann gilt:

i) j ist antilinear, d.h. j(λv + μw) = \overline{λ}j(v) + \overline{μ}j(w).

ii) j ist isometrisch, also injektiv.

iii) j ist surjektiv, also ein Anti-Isomorphismus. (gilt nicht für Prä-Hilbert-Räume!)

Beweis. i) folgt aus der Definition.

ii) Zu zeigen ist ∥j(v)∥_{op} = ∥v∥ für alle v ∈ H. Das ist klar für v = 0. Ansonsten (v ≠ 0) betrachten wir

∥j(v)∥_{op} = sup_{w∈H , ∥w∥≤1} |j(v)(w)| = sup_{w∈H , ∥w∥≤1} |⟨v, w⟩| ≤ ∥v∥ ,

also ∥j(v)∥_{op} ≤ ∥v∥. Andererseits ist für die spezielle Wahl j(v)(\frac{v}{∥v∥}) = ∥v∥ und damit ∥j(v)∥_{op} ≥ ∥v∥.

iii) Sei 0 ≠ f ∈ H′ und sei U := ker f ⊆ H. Nach Definition ist f Lipschitzstetig mit Lipschtz-Konstanten ∥f∥_{op}, also stetig und deshalb U = f^{−1}{0} abgeschlossen als Urbild einer abgeschlossenen Menge unter einer stetigen Abbildung.

Da f ≠ 0, gibt es Vektoren 0 ≠ v ∈ H mit f(v) ≠ 0, insbesondere ist U ≠ H. Wegen H = U ⊕ U^{⊥} gibt es 0 ≠ v ∈ U^{⊥} mit ∥v∥ = 1. Sei λ := f(v). Dann gilt für alle w ∈ H

f(f(w)v − f(v)w) = f(w)f(v) − f(v)f(w) = 0 ,

also f(w)v − f(v)w ∈ U und weiter

0 = ⟨\underbrace{v}_{∈U^{⊥}}, \underbrace{f(w)v − f(v)w}_{∈U}⟩ = f(w)∥v∥^{2} − f(v)⟨v, w⟩ ,

also f(w) = λ⟨v, w⟩ = ⟨\overline{λ}v, w⟩ und damit f = j(\overline{λ}v). □

Man kann zeigen, daß eine Norm auf V genau dann aus einem Skalarprodukt auf V hervorgeht, wenn die Parallelogrammgleichung gilt, und in diesem Fall liefern die Polarisationsformeln das Skalarprodukt zurück. Da in H′ die Parallelogrammgleichung gilt, wird H′ mit dieser Konstruktion wieder ein Hilbert-Raum.

Wir nutzen den Rieszschen Darstellungssatz, um die Existenz des adjungierten Operators zu beweisen.

Definition 51.5 Es sei H ein Hilbert-Raum. Ein linearer beschränkter Operator A auf H ist eine lineare Abbildung A : H → H mit ∥A∥_{op} := sup_{v∈H , ∥v∥≤1} ∥Av∥ < ∞. Mit B(H) wird die Menge aller linearen beschränkten Operatoren auf H bezeichnet.

Analog zu Satz 51.2 beweist man, daß B(H) ein Banach-Raum ist.

Satz 51.6 Es sei H ein Hilbert-Raum und A ∈ B(H) ein linearer beschränkter Operator. Dann existiert genau ein linearer beschränkter Operator A^{∗} ∈ B(H), der zu A adjungierte Operator, mit ⟨A^{∗}v, w⟩ = ⟨v, Aw⟩ für alle v, w ∈ H. Es gilt ∥A^{∗}∥_{op} = ∥A∥_{op}.

Beweis. Für jedes v ∈ H ist das lineare Funktional f_{v} : H → 𝕂 mit f_{v}(w) := ⟨v, Aw⟩ beschränkt wegen

|f_{v}(w)| = |⟨v, Aw⟩| ≤ ∥v∥∥Aw∥ ≤ ∥A∥_{op}∥v∥∥w∥ .

Nach dem Rieszschen Darstellungssatz existiert genau ein Vektor A^{∗}v ∈ H mit f_{v} = j(A^{∗}v), d.h. f_{v}(w) = ⟨v, Aw⟩ = ⟨A^{∗}v, w⟩. Die so konstruierte Abbildung A^{∗} : H → H ist linear:

⟨A^{∗}(λ_{1}v_{1} + λ_{2}v_{2}), w⟩ = ⟨(λ_{1}v_{1} + λ_{2}v_{2}), Aw⟩ = \overline{λ_{1}}⟨v_{1}, Aw⟩ + \overline{λ_{2}}⟨v_{2}, Aw⟩

= \overline{λ_{1}}⟨A^{∗}(v_{1}), w⟩ + \overline{λ_{2}}⟨A^{∗}(v_{2}), w⟩ = ⟨λ_{1}A^{∗}(v_{1}) + λ_{2}A^{∗}(v_{2}), w⟩,

also ⟨A^{∗}(λ_{1}v_{1} + λ_{2}v_{2}) − (λ_{1}A^{∗}(v_{1}) + λ_{2}A^{∗}(v_{2})), w⟩ = 0 für alle w ∈ H, und daraus A^{∗}(λ_{1}v_{1} + λ_{2}v_{2}) = λ_{1}A^{∗}(v_{1}) + λ_{2}A^{∗}(v_{2}). Für die Operatornormen sei v ∈ H mit ∥v∥ ≤ 1 gegeben, dann gilt mit Cauchy-Schwarz

∥A^{∗}v∥^{2} = ⟨A^{∗}v, A^{∗}v⟩ = ⟨v, AA^{∗}v⟩ ≤ ∥v∥∥AA^{∗}v∥ ≤ ∥A∥_{op}∥A^{∗}v∥ ,

also ∥A^{∗}∥_{op} ≤ ∥A∥_{op}. Durch analoge Abschätzung von ∥Aw∥ beweist man die Umkehrung ∥A^{∗}∥_{op} ≤ ∥A∥_{op}. Daraus folgt A^{∗} ∈ B(H). □

Satz 51.7 Für A ∈ B(H) gilt:

i) ∥A^{∗}A∥_{op} = ∥A∥_{op}^{2} (C^{∗}-Eigenschaft)

ii) ker A = (im A^{∗})^{⊥}
iii) ker A^{∗} = (im A)^{⊥}

Beweis. ii)+iii) folgen wie in Satz 50.2. Wegen ∥A^{∗}A∥_{op} = sup_{v,∥v∥≤1} ∥A^{∗}Av∥ und ∥A^{∗}Av∥ ≤ ∥A^{∗}∥_{op}∥Av∥ ≤ ∥A^{∗}∥_{op}∥A∥_{op}∥v∥ sowie ∥A^{∗}∥_{op} = ∥A∥_{op} folgt ∥A^{∗}A∥_{op} ≤ ∥A∥_{op}^{2}. Für die Umkehrung gilt mit Cauchy-Schwarz

∥Av∥^{2} = ⟨Av, Av⟩ = ⟨A^{∗}Av, v⟩ ≤ ∥A^{∗}Av∥ ∥v∥ ≤ ∥A^{∗}A∥_{op} ∥v∥^{2}

und dann ∥A∥_{op} = sup_{v∈B_{H_{1}}} ∥Av∥ ≤ \sqrt{∥A^{∗}A∥_{op}}. □

Die folgenden Definitionen besonderer Operatoren sind von großer Bedeutung: Definition 51.8 Sei H Hilbert-Raum und A, N, E, P, U, S ∈ B(H). Mit id_{H} ∈ B(H) werde der identische Operator bezeichnet, id_{H}v = v für alle v ∈ H.

i) A heißt selbstadjungiert (oder hermitesch), falls A = A^{∗}.

ii) N heißt normal, falls N^{∗}N = NN^{∗}. iii) E heißt idempotent, falls E^{2} = E. iv) P heißt (Orthogonal-)Projektor oder (orthogonale) Projektion, falls P =

P^{2} = P^{∗}.

v) U heißt unitär, falls U^{∗}U = id_{H} und UU^{∗} = id_{H}. vi) S heißt isometrisch oder Isometrie, falls S^{∗}S = id_{H}. vii) S heißt partielle Isometrie, falls S^{∗}S = P Projektor ist.

Einige offensichtliche Konsequenzen sind:

i) Jeder selbstadjungierte Operator (somit jeder Projektor) und jeder unitäre Operator ist normal.

ii) Für jeden Operator B ∈ B(H) ist B^{∗}B ∈ B(H) selbstadjungiert. Für

B ∈ B(H) ist B + B^{∗} selbstadjungiert. iii) Ist H komplexer Hilbert-Raum, dann besitzt jeder Operator B ∈ B(H) eine eindeutige Zerlegung B = A_{1}+iA_{2} mit A_{1}, A_{2} selbstadjungiert: Setze A_{1} := \frac{1}{2}(B + B^{∗}) und A_{2} := \frac{1}{2i}(B − B^{∗}). iv) Jeder unitäre Operator ist isometrisch.

Lemma 51.9 Sei P ∈ B(H) Projektor. Dann gilt:

i) P = 0 oder ∥P ∥_{op} = 1

ii) im P = ker(id_{H} − P), insbesondere ist im P abgeschlossen.

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Preliminary version – 9. Oktober 2014

iii) H = im P ⊕ ker P.

Beweis. i) folgt aus ∥P ∥_{op} = ∥P^{2}∥_{op} = ∥P^{∗}P ∥_{op} = ∥P ∥_{op}^{2}.

ii) Sei w ∈ im P, also w = P v für ein v ∈ H. Dann gilt (id_{H} − P)w = (P − P^{2})v = 0, also im P ⊆ ker(id_{H} − P). Ist umgekehrt (id_{H} − P)w = 0, dann w = P w ∈ im P.

iii) H = ker P ⊕ (ker P)^{⊥} = ker P ⊕ \overline{im P^{∗}} = ker P ⊕ im P. □

Man kann zeigen:

Satz 51.10 In einem komplexen Hilbert-Raum H ist A ∈ B(H) genau dann selbstadjungiert, wenn ⟨v, Av⟩ reell ist für alle v ∈ H. Es gilt ∥A∥_{op} = sup_{v∈H : ∥v∥≤1} |⟨v, Av⟩|.

Definition 51.11 Ein Operator A ∈ B(H) heißt positiv, geschrieben A ≥ 0, falls ⟨v, Av⟩ ≥ 0 für alle v ∈ H. Für selbstadjungierte Operatoren A, B ∈ B(H) schreiben wir A ≥ B, falls A − B ≥ 0.

Aus der Definition folgt, daß in einem komplexen Hilbert-Raum jeder positive Operator auch selbstadjungiert ist. Sind A, B positiv und α, β ∈ ℝ_{+}, so ist auch αA + βB ≥ 0. Für alle B ∈ B(H) ist A = B^{∗}B positiv, denn ⟨v, B^{∗}Bv⟩ = ⟨Bv, Bv⟩ ≥ 0 für alle v ∈ H. Insbesondere ist jeder Projektor positiv wegen P = P^{∗}P.

Definition 51.12 Sei H komplexer Hilbert-Raum und A ∈ B(H). Eine komplexe Zahl λ ∈ ℂ heißt Spektralwert von A, wenn die lineare beschränkte Abbildung A − λid_{H} : H → H nicht bijektiv ist. Die Menge sp(A) aller Spektralwerte von A heißt das Spektrum von A. Dabei heißt λ Eigenwert, falls ker(A − λid_{H}) ≠ {0}, d.h. wenn A − λid_{H} nicht injektiv ist. Ein Vektor 0 ≠ v ∈ ker(A − λid_{H}) heißt Eigenvektor.

Es läßt sich zeigen, daß das Spektrum von A eine lichtleere kompakte Teilmenge der Kreisscheibe {z ∈ ℂ : ∥z∥ ≤ ∥A∥_{op}} ist. Im Gegensatz zum endlichdimensionalen Fall gibt es Spektralwerte λ, für die A − λid_{H} zwar injektiv, aber nicht surjektiv ist.

Beispiel 51.13 Das Standardbeispiel ist der Verschiebungsoperator S. Sei (v_{n})_{n∈ℕ} eine abzählbare ONB in H, so wird durch Sv_{n} := v_{n+1} der Operator S ∈ B(H) eindeutig definiert, und nach Zerlegung v = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}v_{n} folgt ⟨Sv, Sv⟩ = ⟨v, v⟩. Somit ist S eine Isometrie, S^{∗}S = id_{H}. Dann ist S − λid_{H} für beliebige λ injektiv. Aber S ist nicht surjektiv, denn v_{0} liegt nicht im Bild von S. Somit ist 0 Spektralwert, aber es gibt keinen einzigen Eigenwert. ◁

Man kann zeigen:

Theorem 51.14 Sei H Hilbert-Raum. i) Ein Operator A ∈ B(H) ist genau dann selbstadjungiert, d.h. A = A^{∗}, wenn das Spektrum von A eine kompakte Teilmenge des reellen Intervalls [−∥A∥_{op}, ∥A∥_{op}].

ii) Ein Operator A ∈ B(H) ist ganau dann positiv, wenn sp(A) eine kompakte Teilmenge des reellen Intervalls [0, ∥A∥_{op}] ist.

iii) Ein Operator P ∈ B(H) ist genau dann Projektor, wenn sp(P) ⊆ {0, 1} höchstens aus den Zahlen 0 und 1 besteht.

iv) Ein Operator U ∈ B(H) ist genau dann unitär, d.h. U^{∗}U = UU^{∗} = id_{H}, wenn das Spektrum von U eine kompakte Teilmenge des Einheitskreises S^{1} ⊆ ℂ ist.

Ferner gilt für normale Operatoren N: sp(N^{∗}) = {λ̄ : λ ∈ sp(N)}. Ist N invertierbar, dann gilt sp(N^{−1}) = {λ^{−1} : λ ∈ sp(N)}.

Eine zentrale Rolle spielen sogenannte Funktionalkalküle. Ist f : V → ℂ in einer Umgebung V des Spektrums eines Operators A ∈ B(H) erklärt und dort stetig, so läßt sich der Operator f(A) ∈ B(H) definieren. Damit kann z.B. der Betrag |A| := (A^{∗}A)^{\frac{1}{2}} eines Operators eingeführt werden. Es gilt dann die Polarzerlegung A = S|A|, wobei S ∈ B(H) eine partielle Isometrie (von (ker A)^{⊥} nach (ker A^{∗})^{⊥}) ist.

Die Spektraltheorie linearer Operatoren auf Hilbert-Räumen bildet die Grundlage für die mathematische Beschreibung der Quantenmechanik. In vereinfachter Betrachtung werden die Zustände eines Systems durch Vektoren v ∈ H im Hilbert-Raum beschrieben, und physikalische Größen sind lineare Operatoren A auf H. Eine Messung der Größe A überführt den ursprünglichen Zustand v in einen Eigenzustand v_{e} von A, und der zugehörige Eigenwert λ_{e} von A zum Eigenvektor v_{e} ist der Meßwert. Dieser wird mit einer Wahrscheinlichkeit |⟨v_{e}, v⟩|^{2} gemessen. Tatsächlich benötigt die Quantenmechanik unbeschränkte Operatoren und ihre Spektraltheorie, welche einige abweichende Eigenschaften hat.