Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 2014 I. Ullisch

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: Mittwoch, 23.4.2014 bis 12h00, in den Briefkästen Blatt 2

Aufgabe 1.

(a) Zeigen Sie, daß die Signumfunktion

sign : ℝ ⟶ ℝ, x ↦ \begin{cases}−1 & , falls x < 0 \\ 0 & , falls x = 0 \\ 1 & , falls x > 0 \end{cases}

auf jedem Intervall [a, b], −∞ < a ≤ b < ∞, integrierbar ist.

Berechnen Sie ∫_{a}^{b} dx sign(x).

(b) Zeigen Sie, daß die Dirichlet-Funktion

f : ℝ ⟶ ℝ, x ↦ \begin{cases}0 & , falls x ∈ ℝ\ℚ \\ 1 & , falls x ∈ ℚ \end{cases}

auf keinem Intervall [a, b], −∞ < a ≤ b < ∞, integrierbar ist. In welchen Punkten ist f stetig?

Aufgabe 2. Sei die Funktion f : [−a, a] ⟶ ℝ, a > 0, integrierbar. Zeigen Sie:

(a) Ist f ungerade, d.h. f(x) = −f(−x), dann gilt ∫_{−a}^{a} dxf(x) = 0.

(b) Ist f gerade, d.h. f(x) = f(−x), dann existiert ∫_{0}^{a} dx f(x), und es gilt ∫_{−a}^{a} dx f(x) = 2 ∫_{0}^{a} dx f(x).

Aufgabe 3. Sei f: [a, b] → ℝ integrierbar, wobei 0 < a < b. Ferner sei q_{n} := \sqrt[n]{\frac{b}{a}} für alle n ∈ ℕ. Zeigen Sie:

(a) ∫_{a}^{b} dx f(x) = lim_{n→∞} S_{n}(f), wobei S_{n}(f) := ∑_{k=0}^{n−1} f(aq_{n}^{k})aq_{n}^{k}(q_{n} − 1).

Sei nun f(x) = x^{c} für alle x ∈ [a, b], wobei c ∈ ℝ \ {−1}. Zeigen Sie:

(b) S_{n}(f) = \frac{q_{n} − 1}{q_{n}^{c+1} − 1} (b^{c+1} − a^{c+1}) für alle n = 1, 2, …;

(c) lim_{n→∞} S_{n}(f) = \frac{1}{c + 1}(b^{c+1} − a^{c+1}). (Hinweis: Was ist lim_{q→1} \frac{q − 1}{q^{c+1} − 1}?)

Aufgabe 4. Beweisen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Integralrechnung den Mittelwertsatz der Differentialrechnung in der folgenden abgeschwächten Form: Ist eine Funktion f : [a, b] ⟶ ℝ, −∞ < a ≤ b < ∞, stetig differenzierbar, so gibt es ein x_{0} ∈ [a, b] mit f(b) − f(a) = (b − a)f′(x_{0}).