Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 2014 I. Ullisch

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: Mittwoch, 30.4.2014 bis 12h00, in den Briefkästen Blatt 3

Aufgabe 1. (a) Beweisen Sie: ∫_{0}^{1} dx \sqrt{x(1 − x)} = \frac{π}{8} .

Hinweis: Substitution x = sin^{2} φ

(b) Beweisen Sie: ∫_{0}^{1} dx \frac{ln(1+x)}{1+x^{2}} = \frac{π}{8} ln 2 .

Hinweise: Substitution x = tan φ, Verwendung von 1+tan φ = \sqrt{2}\frac{sin(π/4+φ)}{cos φ} (warum gilt diese Gleichung?) sowie Funktionalgleichung des Logarithmus und π/4 + φ = π/2 − ψ

Aufgabe 2. (a) Berechnen Sie ∫_{0}^{1} dx \frac{arctan x}{1+x} .

(b) Berechnen Sie ∫_{a}^{b} dx x^{n−1} e^{−x} für −∞ < a < b < ∞ und n ∈ ℕ, n ≥ 1 . Aufgabe 3. Bestimmen Sie Stammfunktionen zu folgenden Funktionen:

(a) x^{2} sin x;

(b) sin(ax) e^{bx} (a, b ∈ ℝ);

(c) x^{n}(ln x)^{m} (n, m ∈ ℕ; Substitution x = e^{t}). Aufgabe 4. Für n ∈ ℕ sei D_{n}(x) := ∫_{0}^{x} dt tan^{n} t, |x| < π/2. Beweisen Sie:

(a) Es ist D_{0}(x) = x, D_{1}(x) = − ln cos x, nD_{n+1}(x) = tan^{n} x − nD_{n−1}(x), n ≥ 1.

(b) Für d_{n} := D_{n}(π/4) ist lim_{n→∞} d_{n} = 0.

(c) Für m ∈ ℕ ist

d_{2m} = (−1)^{m} (\frac{π}{4} − ∑_{k=0}^{m−1} \frac{(−1)^{k}}{2k + 1}) , d_{2m+1} = (−1)^{m} (ln \sqrt{2} + ∑_{k=1}^{m} \frac{(−1)^{k}}{2k} ) .

(d) Folgern Sie aus (b) und (c) die Gleichungen

∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{2k + 1} = \frac{π}{4} ,  ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k−1}}{k} = ln 2.