Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 2014 I. Ullisch

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: Mittwoch, 7.5.2014 bis 12h00, in den Briefkästen Blatt 4

Aufgabe 1. Die Legendre-Polynome auf [−1, 1] sind gegeben durch

f_{n}(x) = \frac{1}{2^{n}n!} \frac{d^{n}}{dx^{n}} (x^{2} − 1)^{n} (n ∈ ℕ).

Beweisen Sie mittels (mehrfacher) partieller Integration die Orthogonalitätsrelation

∫_{−1}^{1} dx f_{n}(x)f_{m}(x) = \frac{δ_{nm}}{n + \frac{1}{2}} .

(Das Kronecker-Symbol ist definiert als δ_{mn} = 0 für m ≠ n und δ_{nn} = 1.)

Aufgabe 2. (a) Berechnen Sie

∫_{−π/2}^{π/2} \frac{dx}{a cos^{2} x + 2b cos x sin x + c sin^{2} x} (ac − b^{2} > 0).

(b) Zeigen Sie

∫_{0}^{1/\sqrt{2}} dx \frac{4\sqrt{2} − 8x^{3} − 4\sqrt{2}x^{4} − 8x^{5}}{1 − x^{8}} = π.

(Hinweise: Substitution x = y/\sqrt{2} und (y − 1)(y^{8} − 16) = (y^{2} − 2)(y^{2} − 2y + 2)(y^{5} + y^{4} + 2y^{3} − 4).)

Aufgabe 3. Entscheiden Sie, ob folgende Integrale existieren und geben Sie ggfs. die Werte an:

(a) ∫_{0}^{∞} dx e^{−zx} (z ∈ ℂ).

(b) ∫_{0}^{∞} dx sin^{n} x (n ≥ 1);

(c) ∫_{0}^{∞} dx \frac{ln x}{1+x^{2}} ; (Hinweis: Betrachten Sie ∫_{1}^{∞} dx \frac{ln x}{1+x^{2}} mit der Substitution x = \frac{1}{t}.)

(d) ∫_{0}^{π/2} \frac{dx}{\sqrt{tan x}} ; (Hinweise: Substitution tan x = t^{2}, Faktorisierung von 1 + t^{4} = P (t)Q(t) als Produkt zweier Polynome vom Grad 2 und anschließende Partialbruchzerlegung.)

Aufgabe 4. Beweisen oder widerlegen Sie:

(a) Ist f : [0, ∞) ⟶ ℝ eine Funktion mit konvergentem Integral ∫_{0}^{∞} dx f(x), so folgt f(x) → 0 für x → ∞.

(b) Das Produkt zweier uneigentlich integrierbarer Funktionen ist wieder uneigentlich integrierbar.