Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 2014 I. Ullisch

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: Mittwoch, 14.5.2014 bis 12h00, in den Briefkästen Blatt 5

Aufgabe 1. Berechnen Sie folgende Integrale:

(a) ∫_{0}^{π} dx x ln sin x; (Hinweise: Die Substitution x = π−t führt auf ∫_{0}^{π/2} dt ln sin t; anschließend wird t = 2s substituiert und das resultierende Integral über ln cos s wieder in ln sin u überführt.

(b) ∫_{0}^{1} dx \sqrt{1 − x^{2}} ln |1 − \frac{1}{x^{2}} | .

Hinweise: Substitution x = sin t und Verwendung von 2 cos^{2} t = 1 + cos(2t). Im Summanden zu cos(2t) partielle Integration, im Summanden zu 1 Substitution tan t = s und Verwendung von 3c) aus Blatt 4.

Aufgabe 2. (a) Es seien k, m ∈ ℕ\{0} und c ∈ (0, 1). Dann gilt

∫_{0}^{c} dx \frac{x^{k−1}}{1 − x^{m}} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{c^{nm+k}}{nm + k} .

(b) In (a) wähle man c = 1/\sqrt{2}, m = 8 sowie k = 1, 4, 5, 6 und schließe mit Aufgabe 2(b), Blatt 4, auf die Bailey-Borwein-Plouffe-Formel (BBP-Formel)

π = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{16^{n}} (\frac{4}{8n + 1} − \frac{2}{8n + 4} − \frac{1}{8n + 5} − \frac{1}{8n + 6}) .

Aufgabe 3. Beweisen Sie für −1 < t < 1 die Identität

∫_{0}^{1} dx \frac{1}{\sqrt{x(1 − tx)^{3}}} = \frac{2}{\sqrt{1 − t}}

als Potenzreihen in t unter Verwendung der Binomialreihen für \frac{1}{\sqrt{(1−tx)^{3}}} = (1 + (−tx))^{− \frac{3}{2}}

und \frac{1}{\sqrt{1−t}} = (1 + (−t))^{− \frac{1}{2}} .

Aufgabe 4. (a) Seien 0 ≤ k < 1 und x, c ∈ ℝ, |x| ≤ 1. Zeigen Sie, daß das Integral

v(x, k) := ∫_{0}^{x} dt \sqrt{\frac{1 − k^{2}t^{2}}{1 − t^{2}}}

existiert und für E(φ, k) := v(sin φ, k), φ ∈ ℝ, gilt

E(φ, k) = ∫_{0}^{φ} dψ \sqrt{1 − k^{2} sin^{2} ψ}.

(b) Sei A_{2n}(φ) := ∫_{0}^{φ} dx sin^{2n} x, n ∈ ℕ. Zeigen Sie, daß für alle φ ∈ ℝ und alle k mit 0 ≤ k < 1 gilt

E(φ, k) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{−1}{2n − 1}\binom{2n}{n} (\frac{k}{2})^{2n} A_{2n}(φ).