Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 2014 I. Ullisch

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: bis Donnerstag, 21.05.12 bis 12h00, in den Briefkästen Blatt 6

Aufgabe 1. Die Beta-Funktion B(a, b) ist für alle Zahlen a, b > 0 definiert durch B(a, b) = ∫_{0}^{1} dx x^{a−1}(1 − x)^{b−1}. Zeigen Sie:

(a) Das obige Integral konvergiert auch im Fall 0 < a, b < 1.

(b) B(a, 1) = \frac{1}{a}, B(a, b+1) = B(a, b)−B(a+1, b), bB(a+1, b) = aB(a, b+1).

(c) B(a, b) = \frac{b − 1}{a + b − 1}B(a, b − 1) für b > 1.

(d) B(a, n) = \frac{1 · 2 · 3 ⋯ (n − 1)}{a(a + 1) ⋯ (a + n − 1)} für n ∈ ℕ^{×}.

Aufgabe 2. Zeigen Sie:

(a) B(a, b) = ∫_{0}^{∞} dy \frac{y^{a−1}}{(1 + y)^{a+b}}. (Hinweis: Substitution x = \frac{y}{1+y})

(b) B(a, b) = 2 ∫0^{\frac{π}{2}} dφ sin^{2a−1} φ cos^{2b−1} φ. (Hinweis: Substitution x = sin^{2} φ)

(c) B(a, a) = \frac{1}{2^{2a−1}} B (\frac{1}{2}, a) für a > 0. (Hinweis: Substitution x = \frac{1}{2}(1 − \sqrt{z}))

(d) ∫_{0}^{1} dx x^{p−1}(1 − x^{m})^{q−1} = \frac{1}{m}B (\frac{p}{m}, q) für alle p, q, m > 0.

Aufgabe 3. (a) Sei a > 0 und sei γ(b) für b > 0 definiert durch

γ(b) = \frac{Γ(a + b)}{Γ(a)}B(a, b).

Zeigen Sie, daß die so definierte Funktion γ die Voraussetzungen des Satzes von Bohr-Mollerup erfüllt, und schlußfolgern Sie die Formel Γ(a)Γ(b) = Γ(a + b)B(a, b). (Hinweis: Höldersche Ungleichung)

(b) Zeigen Sie durch Kombination von Aufgaben 2(c), 3(a) sowie Satz 35.4 der Vorlesung den Legendreschen Verdoppelungssatz

Γ(a)Γ (a + \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{π}}{2^{2a−1}} Γ(2a) für alle a ∈ ℝ_{+}.

Aufgabe 4. Zeigen Sie:

(a)  ∫_{0}^{1} dx \frac{x^{p−1}}{\sqrt{1 − x^{n}}} = \frac{\sqrt{π}Γ (\frac{p}{n})}{nΓ (\frac{p}{n} + \frac{1}{2})} für alle p, n ∈ ℕ,
(b)  ∫0^{\frac{π}{2}} dx tan^{c} x = \frac{π}{2 cos \frac{cπ}{2}} für alle c ∈ ]−1, 1[.

(Hinweis: Entdecken Sie durch Substitution die versteckte Beta-Funktion und nutzen Sie alle bisherigen Ergebnisse.)