Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 2014 I. Ullisch

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: Mittwoch, 28.05.14 bis 12h00 in den Briefkästen Blatt 7

Aufgabe 1. Bestimmen Sie, welche der folgenden Abbildungen linear ist:

(a) F: C([0, 1]) → ℂ, f ↦ ∫_{0}^{1} dx f(x)x^{2}, wobei C([0, 1]) als Vektorraum bezüglich der punktweise definierten Skalarmultiplikation und Addition aufgefaßt wird;

(b) G: ℝ^{2} → ℝ, (x, y) ↦ (x + y)^{2} − (x − y)^{2};

(c) H: ℝ^{2} → ℝ, (x, y) ↦ 2x + 3y − 1;

(d) K: ℝ^{2} → ℝ, (x, y) ↦ |x − y| + |x + y|.

Aufgabe 2.

(a) Zeigen Sie, daß die Vektoren b_{1} = (2, 3, −1), b_{2} = (−4, 5, 0) und b_{3} = (6, −2, 2) eine Basis des ℝ^{3} bilden.

(b) Durch F (b_{1}) = (1, 0), F (b_{2}) = (0, 1), F (b_{3}) = (1, −1) werde eine lineare Abbildung F : ℝ^{3} → ℝ^{2} definiert. Bestimmen Sie ker(F).

(c) Bestimmen Sie die darstellende Matrix der in 2(b) definierten linearen Abbildung F : ℝ^{3} → ℝ^{2} bezüglich der Basis (b_{1}, b_{2}, b_{3}) von ℝ^{3} und der Basis (e_{1}, e_{1} − e_{2}) von ℝ^{2}, wobei e_{1} = (1, 0) und e_{2} = (0, 1).

Aufgabe 3. Bezeichne V_{n} den komplexen Vektorraum aller Polynome P (X) = a_{n}X^{n} + a_{n−1}X^{n−1} + ⋯ + a_{1}X + a_{0} vom Grad kleiner gleich n und Koeffizienten a_{0}, …, a_{n} ∈ ℂ. Wir definieren Abbildungen D, T_{a}: V_{n} → V_{n} durch

D(P) := P′ = \frac{∂}{∂X} P und (T_{a}P)(X) := P (X + a) für ein festes a ∈ ℂ.

Bestimmen Sie für diese Abbildungen jeweils (a) den Kern, (b) das Bild, (c) die Darstellungsmatrix bezüglich der Basis X^{0}, …, X^{n}.

Aufgabe 4. Es sei v_{1}, …, v_{n}, n ≥ 1, ein System von Vektoren des K-Vektorraumes V und es gelte Rang(v_{1}, …, v_{n}) = n − 1. Es besteht dann eine nichttriviale Relation der Gestalt a_{1}v_{1} + ⋯ + a_{n}v_{n} = 0. Zeigen Sie: Gilt auch b_{1}v_{1} + ⋯ + b_{n}v_{n} = 0 mit b_{i} ∈ K, so gibt es ein c ∈ K mit b_{i} = ca_{i} für alle i.