Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 2014 I. Ullisch

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: Mittwoch, 04.06.2014 bis 12h00 in den Briefkästen Blatt 8

Aufgabe 1. Es sei ( \begin{matrix}3 & −1 & 2 \\ 4 & 4 & 0 \\ 3 & 7 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ) die darstellende Matrix der linearen Abbildung

F : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{4} bzgl. der Basis (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) von ℝ^{3} und der Standardbasis

von ℝ^{4}. Bestimmen Sie die darstellende Matrix von F bzgl. der Standardbasis von ℝ^{3} und

der Basis (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 3 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) von ℝ^{4}.

Aufgabe 2. Untersuchen Sie, ob die folgenden Matrizen invertierbar sind, und bestimmen Sie gegebenenfalls die Inverse:

A = (\begin{matrix}1 & −2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & −1 & 0 & 5 \\ −1 & 4 & 2 & 3 \end{matrix}) ,  B = (\begin{matrix}1 & t & 1 \\ 0 & 1 & t \\ t & 1 & 0 \end{matrix}) mit t ∈ ℝ.

Aufgabe 3. (a) Eine Matrix A ∈ M(m × n, K) habe (Zeilen-)rang r, und d sei die Dimension des Lösungsraums des homogenen linearen Gleichungssystems mit Koeffizientenmatrix A. Welche Relation besteht zwischen d und r?

(b) Eine Matrix A′ ∈ M(m × n, K) stimme mit A bis auf die letzte Zeile überein. Es seien r′ und d′ für A′ entsprechend definiert wie r, d für A. Zeigen Sie: r′ muß mit einem der Werte r, r + 1, r − 1 übereinstimmen, und entsprechendes gilt für d′.

Aufgabe 4. Bestimmen Sie für die Matrix

A = (\begin{matrix}1 & 4 & 3 \\ 2 & 8 & 7 \end{matrix})

ein r ∈ ℕ und quadratische Matrizen L, R, so daß

A = L (\begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) R^{−1}.