Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 2014 I. Ullisch

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: Mittwoch, 18.06.2014 bis 12h00, in den Briefkästen Blatt 9

Aufgabe 1. Der Vektorraum ℝ^{4} sei mit dem kanonischen Skalarprodukt versehen. Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis für den Untervektorraum, der von den Vektoren (1, 1, 0, 1), (1, −2, 0, 0), (1, 0, −1, 2) aufgespannt wird.

Aufgabe 2. Für A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 2 \\ 2 & 8 & 0 \\ 2 & 0 & 10 \end{matrix} ) und x, y ∈ ℝ^{3} werde durch ⟨x, y⟩_{A} := ⟨x, Ay⟩

eine neues Skalarprodukt ⟨ , ⟩_{A} : ℝ^{3} × ℝ^{3} → ℝ definiert, wobei ⟨ , ⟩ das Standardskalarprodukt auf ℝ^{3} bezeichnet.

(a) Bestimmen Sie durch das Verfahren von Gram-Schmidt \underline{bezüglich des Skalarpro-}

\underline{dukts ⟨ , ⟩_{A}} eine Orthonormalbasis von U := span(v_{1}, v_{2}) mit v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ), v_{2} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ).

(b) Bestimmen Sie \underline{bezüglich des Skalarprodukts ⟨ , ⟩_{A}} das orthogonale Komplement U^{⊥} von U in ℝ^{3}.

(c) Berechnen Sie \underline{bezüglich des Skalarprodukts ⟨ , ⟩_{A}} den Abstand des Vektors

v = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) zu U.

Aufgabe 3. Beweisen Sie: Ist f : ℝ ⟶ ℝ eine gerade bzw. ungerade T -periodische Funktion, so hat die Fourier-Reihe von f die Gestalt

(Sf)(x) = \frac{a_{0}}{2} + ∑_{k=1}^{∞} a_{k} cos(ω_{T} kx) bzw. (Sf)(x) = ∑_{k=1}^{∞} b_{k} sin(ω_{T} kx) .

Wie berechnen sich die Koeffizienten a_{k}, b_{k} aus f?

Aufgabe 4. (a) Berechnen Sie die Fourier-Entwicklung der Funktion f(x) = x^{4} im Intervall [−π, π].

(b) Zeigen Sie mit dem Ergebnis aus (a), daß gilt

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{4}} = \frac{π^{4}}{90}.