Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 2014 I. Ullisch

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: Mittwoch, 25.06.2014 bis 12h00, in den Briefkästen Blatt 10

Aufgabe 1. Bestimmen Sie die Determinanten folgender Matrizen:

( \begin{matrix}2 & 3 & −1 \\ 4 & 1 & −2 \\ −1 & 2 & 1 \end{matrix} ); ( \begin{matrix}1 & −1 & 2 & 1 \\ 2 & −1 & −1 & 4 \\ −4 & 5 & −10 & −6 \\ 3 & −2 & 10 & −1 \end{matrix} ) .

Aufgabe 2. Sei n ≥ 2 und K ein Körper mit x, a_{0}, a_{1}, …, a_{n−1} ∈ K. Berechnen Sie die Determinante der Matrix

( \begin{matrix}x & 0 & 0 & … & 0 & 0 & a_{0} \\ −1 & x & 0 & … & 0 & 0 & a_{1} \\ 0 & −1 & x & … & 0 & 0 & a_{2} \\ ⋮ & & & & & & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & −1 & x & a_{n−2} \\ 0 & 0 & 0 & … & 0 & −1 & a_{n−1} \end{matrix} ) .

Aufgabe 3. (Vandermonde-Determinante) Seien x_{1}, …, x_{n} ∈ ℂ und

B(n) = (\begin{matrix}1 & 1 & ⋯ & 1 \\ x_{1} & x_{2} & ⋯ & x_{n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ x_{1}^{n−1} & x_{2}^{n−1} & ⋯ & x_{n}^{n−1} \end{matrix}) .

Zeigen Sie per Induktion, daß det B(n) = ∏_{1≤i<j≤n}(x_{j} − x_{i}).

Aufgabe 4. (a) Seien n ∈ ℕ und 𝕂 ∈ {ℝ, ℂ}. Zeigen Sie, daß U_{n}(𝕂) = {A ∈ M(n × n, 𝕂) : AA^{∗} = E_{n}\} eine Untergruppe von GL(n, 𝕂) ist, wobei A^{∗} = \overline{A^{t}} die hermitesch Adjungierte bezeichnet. Diese Untergruppe heißt bei 𝕂 = ℝ die orthogonale und bei 𝕂 = ℂ die unitäre Gruppe und wird auch mit O_{n} = O(n) = O_{n}(ℝ) bzw. U_{n} = U(n) = U_{n}(ℂ) bezeichnet.

(b) Welche Werte kann det A für A ∈ U_{n} und für A ∈ O_{n} annehmen?

(c) Zeigen Sie, daß die spezielle orthogonale Gruppe SO_{n} = SO(n) = SO_{n}(ℝ) = {A ∈ O_{n} : det A = 1} und die spezielle unitäre Gruppe SU_{n} = SU(n) = SU_{n}(ℂ) = {A ∈ U_{n} : det A = 1} Untergruppen von O_{n} bzw. U_{n} bilden.

(d) Beweisen oder widerlegen Sie: G := { A ∈ M(2 × 2, ℤ) : det A ≠ 0 } ist eine Untergruppe von GL(2, ℝ). Bestimmen Sie ggfs. eine größtmögliche Teilmenge H von G, so daß H eine Untergruppe von GL(2, ℝ) ist.