Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 2014 I. Ullisch

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: Mittwoch, 02.07.2014 bis 12h00, in den Briefkästen Blatt 11

Aufgabe 1. Berechnen Sie für einen Körper K und beliebiges x ∈ K die Determinante folgender n × n-Matrix:

(\begin{matrix}x & 1 & 1 & … & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 & … & 1 & 1 \\ 1 & 1 & x & … & 1 & 1 \\ ⋮ & & & & & ⋮ \\ 1 & 1 & 1 & … & 1 & x \end{matrix})

(in der alle Hauptdiagonalglieder gleich x und alle sonstigen Koeffizienten gleich 1 sind).

Aufgabe 2. Bestimmen Sie die charakteristischen Polynome und die Eigenräume folgender Endomorphismen von ℝ^{2} bzw. ℝ^{3}:

(a) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix});

(b) (\begin{matrix}1 & c − 1 & 0 \\ 0 & 1 & c^{2} − 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) mit c ∈ ℚ;

(c) ( \begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix} ) mit a, b ∈ ℚ.

Aufgabe 3. Sei (f_{n})_{n∈ℕ} die durch f_{0} = 0, f_{1} = 1, f_{n} = f_{n−1} + f_{n−2} (n ≥ 2) rekursiv definierte Fibonacci-Folge.

(a) Zeigen Sie, daß es genau ein A ∈ M(2 × 2, ℝ) gibt mit

A (\begin{matrix}f_{n} \\ f_{n+1} \end{matrix}) = (\begin{matrix}f_{n+1} \\ f_{n+2} \end{matrix}) ,

und geben Sie A explizit an.

(b) Berechnen Sie A^{n} für n ∈ ℕ.

(Hinweis: Ist D eine Diagonal- und S eine invertierbare Matrix mit A = SDS^{−1}, so gilt A^{n} = SD^{n}S^{−1}.)

(c) Geben Sie eine geschlossene Formel für f_{n}, n ∈ ℕ, an.

Aufgabe 4. Es seien F, G Endomorphismen des n-dimensionalen Vektorraums V mit F^{2} = F und G^{2} = id_{V}.

(a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von F bzw. G.

(b) Zeigen Sie: V besitzt eine Basis aus Eigenvektoren von F. Im Falle 1_{K} +1_{K} ≠ 0 gilt gleiches für G.