Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 2014 I. Ullisch

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: Mittwoch, 09.07.2014 bis 12h00, in den Briefkästen Blatt 12

Aufgabe 1. Untersuchen Sie, ob folgende Matrizen A über den jeweils angegebenen Körpern K diagonalisierbar sind. Geben Sie im Fall der Diagonalisierbarkeit eine Diagonalmatrix D und eine invertierbare Matrix B mit D = BAB^{−1} an.

(a) ( \begin{matrix}2 & 1 \\ −1 & 2 \end{matrix} ) über K ∈ \{ℝ, ℂ\}.

(b) (\begin{matrix}2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}) über K ∈ \{ℝ, ℂ, ℤ/3ℤ\}.

Dabei ist ℤ/3ℤ = {0, 1, 2} der Körper aus drei Elementen. In diesem Körper wird modulo 3 gerechnet: Bezeichnen +_{ℤ/3ℤ} und ·_{ℤ/3ℤ} die Addition bzw. die Multiplikation in ℤ/3ℤ, so ist a+_{ℤ/3ℤ}b := a+b mod 3 und a·_{ℤ/3ℤ}b := ab mod 3.

Aufgabe 2. Es werde vorausgesetzt, daß für eine beliebige Matrix A ∈ M(n×n, ℝ)

die Potenzreihe exp(A) := ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!} A^{k} mit A^{0} := E_{n} normal konvergiert, so daß die

Reihe beliebig umgeordnet werden kann.

(a) Berechnen Sie exp (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}). Hinweis: Blatt 11.

(b) Zeigen Sie: Kommutieren zwei Matrizen A, B ∈ M(n × n, ℝ), so auch exp(A) und exp(B), und es gilt

exp(A + B) = exp(A) exp(B).

(c) Seien a, b ∈ ℝ und A = (\begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a \end{matrix}), B = (\begin{matrix}0 & b \\ b & 0 \end{matrix}), C = A + B. Berechnen Sie

exp(C).