1 Hilbert-Räume

Wir beschränken uns auf komplexe Hilbert-Räume und verwenden die Konvention der Physik für das Skalarprodukt.

Definition 1.1 Ein Skalarprodukt auf einem ℂ-Vektorraum X ist eine Abbildung ⟨ , ⟩ : X × X → ℂ mit

i) ⟨w, λ_{1}v_{1} + λ_{2}v_{2}⟩ = λ_{1}⟨w, v_{1}⟩ + λ_{2}⟨w, v_{2}⟩
ii) ⟨w, v⟩ = \overline{⟨v, w⟩}
iii) ⟨v, v⟩ ≥ 0 für alle v ∈ X und ⟨v, v⟩ = 0 genau dann, wenn v = 0.

(X, ⟨ , ⟩) heißt Prä-Hilbert-Raum (oder unitärer Vektorraum), in dem durch ∥v∥ := \sqrt{⟨v, v⟩} eine Norm induziert wird. Ist (X , ∥ ∥) vollständig, so heißt dieser ein Hilbert-Raum und wird von nun an mit H bezeichnet.

Beispiel 1.2 Hilbert-Räume sind:

i) ℂ^{n} mit ⟨v, w⟩ = ∑_{i=1}^{n} \overline{v_{i}}w_{i} wenn v = (v_{1}, …, v_{n}), w = (w_{1}, …, w_{n}).
ii) ℓ^{2} = ℓ^{2}(ℕ) mit ⟨v, w⟩ = ∑_{i=0}^{∞} \overline{v_{i}}w_{i} wenn v = (v_{i})_{i∈ℕ}, v = (w_{i})_{i∈ℕ}.
iii) L^{2}(X, μ) für beliebige Maßräume mit (X, μ) mit ⟨f, g⟩ = ∫_{X} dμ f̄g.

Satz 1.3 (Cauchy-Schwarz) In Hilbert-Räumen gilt |⟨w, v⟩|^{2} ≤ ⟨v, v⟩⟨w, w⟩ für alle v, w ∈ H mit Gleichheit genau dann, wenn v und w linear abhängig sind.

Insbesondere ist das Skalarprodukt beidseitig stetig.

Satz 1.4 Eine Norm ∥ ∥ geht genau dann aus einem Skalarprodukt hervor, wenn die Parallelogrammgleichung ∥v + w∥^{2} + ∥v − w∥^{2} = 2∥v∥^{2} + 2∥w∥^{2} gilt, und in diesem Fall wird das Skalarprodukt aus der Polarisationsformel zurückgewonnen:

⟨v, w⟩ = \frac{1}{4}(∥v + w∥^{2} − ∥v − w∥^{2} − i∥v + iw∥^{2} + i∥v − iw∥^{2}) .

Definition 1.5 i) Zwei Vektoren v, w ∈ H heißen orthogonal, geschrieben v ⊥ w, wenn ⟨v, w⟩ = 0.

ii) Eine Familie (v_{i})_{i∈I} heißt Orthogonalsystem, falls v_{i} ⊥ v_{i′} für alle i, i′ ∈ I mit i ≠ i′, und Orthonormalsystem (ONS), falls zusätzlich ∥v_{i}∥ = 1.

iii) Ist W ⊆ H eine beliebige Teilmenge, dann heißt W^{⊥} := {v ∈ H : v ⊥ w für alle w ∈ W } der Orthogonalraum zu W.

W^{⊥} ist stets abgeschlossener Untervektorraum von H, und für jeden abgeschlossener Untervektorraum X ⊆ H gilt H = X ⊕ X^{⊥} als direkte Summe von Hilbert-Räumen.

Definition 1.6 Sei I ≠ ∅ eine Indexmenge. Eine Familie (v_{i})_{i∈I} von Vektoren aus H heißt summierbar zu v, wenn es zu jedem ϵ > 0 eine endliche Teilmenge J_{ϵ} ⊆ I gibt, so daß für alle endlichen Teilmengen J ⊆ I mit J_{ϵ} ⊆ J gilt |x − ∑_{j∈J} x_{j}| < ϵ.

In einer summierbaren Familie sind nur abzählbar viele v_{j} ≠ 0, und jede Abzählung liefert die gleiche Summe.

Lemma 1.7 Sei (v_{i})_{i∈I} ein ONS in H, dann gilt:

i) Pythagoras: (v_{i})_{i∈I} ist genau dann in H summierbar, wenn (∥v_{i}|^{2})_{i∈I} in ℝ summierbar ist, und es gilt ∥ ∑_{i∈I} v_{i}∥^{2} = ∑_{i∈I} ∥v_{i}∥^{2}.

ii) Besselsche Ungleichung: ∑_{i∈I} |⟨v_{i}, v⟩|^{2} ≤ ∥v∥^{2} für alle v ∈ H, mit

Gleichheit genau dann, wenn v = ∑_{i∈I}⟨v_{i}, v⟩v_{i} (Parsevalsche Gleichung).

Satz/Definition 1.8 (Orthonormalbasis) Für ein ONS (v_{i})_{i∈I} in einem Hilbert-Raum H sind äquivalent:

i) (v_{i})_{i∈I} ist maximal, d.h. für jedes ONS (w_{i})_{i∈I}, welches (v_{i})_{i∈I} enthält, gilt (v_{i})_{i∈I} = (w_{i})_{i∈I} als Mengen.

ii) Gilt v ⊥ v_{i} für alle v ∈ X, so folgt v = 0.

iii) H = \overline{span\{v_{i} : i ∈ I\}} (Norm-Abschluß).

iv) Die Abbildung T : ℓ^{2}(I) ∋ (x_{i})_{i∈I} ↦ ∑_{i∈I} x_{i}v_{i} ∈ H ist ein isometrischer Isomorphismus mit Umkehrabbildung T^{−1}(v) = (⟨v_{i}, v⟩)_{i∈I}.

v) Für alle v ∈ H gilt v = ∑_{i∈I}⟨v_{i}, v⟩v_{i} (Fourier-Entwicklung).

vi) Für alle v, w ∈ H gilt ⟨v, w⟩ = ∑_{i∈I}⟨v, v_{i}⟩⟨v_{i}, w⟩.

vii) Für alle v ∈ H gilt ∥v∥^{2} = ∑_{i∈I} |⟨v_{i}, v⟩|^{2} (Parsevalsche Gleichung).

Ein ONS (v_{i})_{i∈I}, das eine (und damit alle) der Bedingungen i)–vii) erfüllt, heißt \underline{Orthonormalbasis} (ONB).

Insbesondere besitzt jeder Hilbert-Raum H ≠ {0} eine ONB und ist isometrisch isomorph zu ℓ^{2}(I) für eine geeignete Index-Menge I. Der Hilbert-Raum heißt separabel, wenn I abzählbar ist, und in diesem Fall kann eine ONB über das Verfahren von Gram-Schmidt konstruiert werden. Hilbert-Räume der Quantenmechanik und auch der Quantenfeldtheorie sind immer separabel.

2 Lineare beschränkte Operatoren auf Hilbert-Räumen

Satz 2.1 Seien H_{1}, H_{2} Hilbert-Räume. Dann ist

B(H_{1}, H_{2}) := {A : H_{1} → H_{2} linear+stetig}

ein Banach-Raum bezüglich der Operator-Norm ∥A∥ = sup_{v∈H_{1} , ∥v∥≤1} ∥Av∥.

Wir schreiben B(H) := B(H, H).

Satz 2.2 (Riesz) Der Dualraum H′ = B(H, ℂ) eines Hilbert-Raums H ist isometrisch anti-isomorph zu H selbst vermöge der durch j(v)(w) = ⟨v, w⟩ definierten antilinearen Bijektion j : H → H′ mit ∥j(v)∥ = ∥v∥.

Satz/Definition 2.3 Zu A ∈ B(H_{1}, H_{2}) gibt es genau ein A^{∗} ∈ B(H_{2}, H_{1}), so daß für alle v ∈ H_{1} und w ∈ H_{2} gilt:

⟨w, Av⟩ = ⟨A^{∗}w, v⟩ .  (*)

Diese durch (*) eindeutig bestimmte lineare stetige Abbildung A^{∗} ∈ B(H_{2}, H_{1}) heißt der zu A adjungierte Operator. Es gilt ∥A^{∗}∥ = ∥A∥.

Satz 2.4 Für B(H_{1}, H_{2}) gilt:

i) ∥A^{∗}A∥ = ∥A∥^{2} (C^{∗}-Eigenschaft)
ii) ker A = (im A^{∗})^{⊥} und (ker A)^{⊥} = \overline{im A^{∗}}
iii) ker A^{∗} = (im A)^{⊥} und (ker A^{∗})^{⊥} = \overline{im A}

Definition 2.5 Seien H_{1}, H_{2} Hilbert-Räume, A, N, E, P ∈ B(H_{1}) und U, S ∈ B(H_{1}, H_{2}). Mit id_{H_{i}} werde der identische Operator bezeichnet.

i) A heißt selbstadjungiert (oder hermitesch), falls A = A^{∗}.

ii) N heißt normal, falls N^{∗}N = NN^{∗}.

iii) E heißt idempotent, falls E^{2} = E.

iv) P heißt (Orthogonal-)Projektor oder (orthogonale) Projektion, falls P = P^{2} = P^{∗}.

v) S heißt isometrisch oder Isometrie, falls S^{∗}S = id_{H_{1}}.

vi) U heißt unitär, falls U^{∗}U = id_{H_{1}} und UU^{∗} = id_{H_{2}}.

vii) S heißt partielle Isometrie, falls S^{∗}S ∈ B(H_{1}) Projektor ist.

Neben vielen offensichtlichen Querverbindungen gilt:

Lemma 2.6 i) S ∈ B(H_{1}, H_{2}) ist genau dann Isometrie, wenn ∥Sv∥ = ∥v∥ für alle v ∈ H_{1}. ii) U ∈ B(H_{1}, H_{2}) ist genau dann unitär, wenn U \underline{surjektiv} und Isometrie

ist.

iii) In einem komplexen Hilbert-Raum H ist A ∈ B(H) genau dann selbstadjungiert, wenn ⟨v, Av⟩ reell ist für alle v ∈ H.

Eine Isometrie ist automatisch injektiv. In endlich-dimensionalen Vektorräumen ist jede injektive lineare Abbildung auch surjektiv. Im Unendlich-dimensionalen gilt das nicht!

Beispiel 2.7 Sei H separabler unendlich-dimensionaler Hilbert-Raum mit ONB (v_{n})_{n∈ℕ}. Dann wird durch Sv_{n} := v_{n+1} für alle n ∈ ℕ und lineare Fortsetzung eine Isometrie definiert, der einseitiger Shift. Diese ist nicht surjektiv. Der adjungierte Operator S^{∗} ist eine partielle Isometrie, denn SS^{∗} = id_{H} − P für den Projektor P v = ⟨v_{0}, v⟩v_{0}. ◁

Definition 2.8 Ein Operator A ∈ B(H) heißt positiv, geschrieben A ≥ 0, falls ⟨v, Av⟩ ≥ 0 für alle v ∈ H. Für selbstadjungierte Operatoren A, B ∈ B(H) schreiben wir A ≥ B, falls A − B ≥ 0.

Definition 2.9 Eine komplexe Zahl λ ∈ ℂ heißt Spektralwert von A ∈ B(H), wenn die lineare stetige Abbildung A − λid_{H} : H → H nicht bijektiv ist. Die Menge aller Spektralwerte von A heißt das Spektrum von A, bezeichnet mit σ(A). Dabei heißt λ Eigenwert, falls ker(A − λid_{H}) ≠ {0}, und ein Vektor 0 ≠ v ∈ ker(A − λid_{H}) heißt Eigenvektor.

Das Komplement ϱ(A) := ℂ \ σ(A) ist die Resolventenmenge von A, und Werte μ ∈ ϱ(A) heißen reguläre Werte von A. Die Funktion ϱ(A) ∋ μ ↦ R_{μ}(A) := (A − μid_{H})^{−1} ∈ B(H) heißt Resolventenfunktion.

Es gilt μ ∈ ϱ(A) genau dann, wenn A − μid_{H} beidseitig beschränkt invertierbar ist (nach Satz vom inversen Operator).

Jeder Eigenwert ist Spektralwert, insbesondere auch die Eigenwerte quadratischer Matrizen. Es gibt aber auch andere Arten von Spektralwerten:

Beispiel 2.10 i) Sei (X, μ) ein Maßraum und H = L^{2}(X, μ). Dann definiert jede stetige beschränkte Funktion f ∈ C_{b}(X) durch Multiplikation einen linearen beschränkten Operator f ∈ B(H). Das Spektrum von f besteht aus den Funktionswerten: Denn ist f(x) = λ für ein x ∈ X, so gibt es zu f −λ1 keine inverse Funktion. Aber λ ist (außer für f konstant) kein Eigenwert.

ii) Der Shift S aus Beispiel 2.7 hat den Spektralwert 0, da S nicht surjektiv ist. Dagegen hat S keinen Eigenwert. ◁

Bemerkung 2.11 Man unterscheidet für A ∈ B(H) folgende Spektraltypen:

i) σ_{p}(A) = {λ ∈ ℂ : A − λid_{H} nicht injektiv } heißt Punktspektrum.

ii) σ_{c}(A) = {λ ∈ ℂ : A−λid_{H}X injektiv, nicht surjektiv, aber mit dichtem Bild } heißt kontinuierliches Spektrum.

iii) σ_{r}(A) = {λ ∈ ℂ : A − λid_{H} injektiv, ohne dichtes Bild } heißt Residualspektrum.

Satz 2.12 Für A ∈ B(H) gilt:

i) ϱ(A) ist offen.

ii) σ(A) ist kompakt, nicht leer und enthalten in der Kreisscheibe in ℂ mit Mittelpunkt 0 und Radius ∥A∥.

Theorem 2.13 Sei H Hilbert-Raum und A, P, U ∈ B(H).

i) A ist genau dann selbstadjungiert, wenn σ(A) eine kompakte Teilmenge des reellen Intervalls [−∥A∥, ∥A∥] ist.

ii) A ist genau dann positiv, wenn σ(A) eine kompakte Teilmenge des reellen Intervalls [0, ∥A∥] ist.

iii) P ist genau dann Projektor, wenn σ(P) höchstens aus den Zahlen 0 und 1 besteht.

iv) U ist genau dann unitär, wenn σ(U) kompakte Teilmenge des Einheitskreises S^{1} ⊆ ℂ ist.

Ferner gilt σ(A^{∗}) = {λ̄ : λ ∈ σ(A)} für beliebige und σ(A^{−1}) = {λ^{−1} : λ ∈ σ(A)} für invertierbare A ∈ B(H). Jedes Polynom p = p(t) = ∑_{k=0}^{n} c_{k}t^{k} mit c_{k} ∈ ℂ defininiert durch p(A) = ∑_{k=0}^{n} c_{k}A^{k}, mit A^{0} := id_{H}, einen linearen stetigen Operator p(A) ∈ B(H). Für diesen gilt σ(p(A)) = {p(λ) : λ ∈ σ(A)} =: p(σ(A)).

Theorem 2.14 (stetiger Funktionalkalkül) Ist H komplexer Hilbert-Raum, A = A^{∗} ∈ B(H) selbstadjungiert und f eine stetige Funktion auf dem kompakten Hausdorff-Raum σ(A) ⊆ [−∥A∥, ∥A∥]. Dann gibt es genau ein f(A) ∈ B(H) derart, daß die Zuordnung C(σ(A)) ∋ f ↦ f(A) ∈ B(H) stetig ist und für Polynome die elementare Bedeutung hat.

Die Theoreme 2.13 und 2.14 haben fundamentale Bedeutung für die Theorie der Operatoralgebren. Wir geben eine Reihe von Anwendungen an:

Theorem 2.15 Sei H komplexer Hilbert-Raum.

i) Jeder selbstadjungierte Operator A = A^{∗} ∈ B(H) besitzt eine eindeutige Zerlegung A = A_{+} − A_{−} mit A_{+}, A_{−} ≥ 0 und A_{+}A_{−} = A_{−}A_{+} = 0. Es gilt ∥A∥ = max(∥A_{+}∥, ∥A_{−}∥). Insbesondere ist jeder lineare stetige Operator eine eindeutige Linearkombination von (höchstens) 4 positiven Operatoren. ii) Jeder positive Operator 0 ≤ A ∈ B(H) hat eine eindeutige positive Qua-

dratwurzel 0 ≤ A^{\frac{1}{2}} ∈ B(H), mit A = (A^{\frac{1}{2}} )^{2}.

iii) (Polarzerlegung) Zu A ∈ B(H) existiert eindeutig eine partielle Isometrie S ∈ B(H) von (ker A)^{⊥} nach (ker A^{∗})^{⊥}, so daß gilt A = S|A|. Dabei ist |A| := (A^{∗}A)^{\frac{1}{2}} ∈ B(H) der Betrag von A.

iv) Jeder lineare Operator A ∈ B(H) ist Linearkombination von höchstens 4 unitären Operatoren.