1 Topologische Räume

Definition 1.1 Eine topologischer Raum ist eine Menge X zusammen mit einer Familie T von Teilmengen, den offenen Mengen, so daß

i) X ∈ T und ∅ ∈ T .
ii) Aus U_{i} ∈ T folgt ⋃_{i} U_{i} ∈ T .
iii) Aus U_{1}, …, U_{n} ∈ T folgt ⋂_{i=1}^{n} U_{i} ∈ T .

Eine Teilfamilie B ⊆ T heißt Basis, falls jedes U ∈ T eine Darstellung U = ⋃_{i} U_{i} mit U_{i} ∈ B hat.

Definition 1.2 Sei (X, T ) ein topologischer Raum.

• Eine Teilmenge A ⊆ X heißt abgeschlossen, falls X \ A offen ist.

• Eine Teilmenge V ⊆ X heißt Umgebung eines Punktes x ∈ X, falls es ein U ∈ T gibt mit x ∈ U ⊆ V.

• (X, T ) heißt Hausdorff-Raum, falls es zu x, y ∈ X mit x ≠ y eine Umgebung V_{x} von x und eine Umgebung V_{y} von y gibt mit V_{x} ∩ V_{y} = ∅.

• Eine Folge (x_{n})_{n∈ℕ} in (X, T ) heißt konvergent gegen x ∈ X, falls es zu jeder Umgebung V von x ein N ∈ ℕ gibt mit x_{n} ∈ V für alle n ≥ N.

• Eine Teilmenge K ⊆ X heißt kompakt (bzgl. T ), falls jede offene Überdeckung K ⊆ ⋃_{i∈I} U_{i} mit U_{i} ∈ T auf eine endliche reduziert werden kann: ∃i_{1}, … i_{n} ∈ I mit K ⊆ U_{i_{1}} ∪ ⋯ ∪ U_{i_{n}}.

Definition 1.3 Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen (X, T_{X}) und (Y, T_{Y}) und heißt stetig, falls f^{−1}(U) ∈ T_{X} für alle U ∈ T_{Y}.

Oft ist es notwendig, dieselbe Menge X mit verschiedenen Topologien T_{1}, T_{2} auszustatten. Dabei heißt eine eine Topologie T_{1} schwächer (eigentlich besser gröber) als eine Topologie T_{2}, und T_{2} stärker (eigentlich besser feiner) als T_{1}, wenn T_{1} ⊆ T_{2} ist, d.h. wenn jede in T_{1} offene Menge auch in T_{2} offen ist. Die schwächere Topologie enthält also weniger offene Mengen als die feinere. Es gilt

i) Y ⊆ X : T_{1}-offen ⇒ T_{2}-offen

ii) Y ⊆ X : T_{1}-abgeschlossen ⇒ T_{2}-abgeschlossen

iii) (x_{n}) : T_{1}-konvergent ⇐ T_{2}-konvergent

iv) K ⊆ X : T_{1}-kompakt ⇐ T_{2}-komkakt

v) f : X → Y : T_{1}-stetig ⇒ T_{2}-stetig

vi) f : Y → X : T_{1}-stetig ⇐ T_{2}-stetig Das bedeutet, daß Konvergenz und Kompaktheit leichter in einer schwächeren Topologie erreicht werden kann. Umgekehrt ist in den schwächeren Topologien die Stetigkeit von Abbildungen f : X → Y (bei gleichem Y; Stetigkeit wird schwieriger, wenn man Y mit einer stärkeren Topologie ausstattet) schwieriger zu sichern. Ideal ist deshalb eine möglichst schwache Topologie, in der eine gewisse Klasse von Abbildungen gerade noch stetig bleibt.

Definition 1.4 Sei (X, ∥ ∥) normierter Vektorraum und X′ = {f : X → ℂ linear+stetig} der Dualraum. Dann ist die schwache Topologie auf X die schwächste Topologie, in der alle f ∈ X′ stetig sind.

Man wird auch versuchen, die Hausdorff-Eigenschaft zu bewahren, denn diese sichert (bei Existenz) eindeutige Grenzwerte von Folgen. Für die schwache Topologie auf normierten Vektorräumen folgt Hausdorff aus Hahn-Banach. Verliert man das erste Abzählbarkeitsaxiom, dann kann die Topologie eines Raumes nicht mehr durch Folgen erfaßt werden; man braucht Netze:

Definition 1.5 Eine nichtleere Menge Λ heißt gerichtet, falls es eine Relation ≤ auf Λ gibt mit

i) λ_{1} ≤ λ_{2} und λ_{2} ≤ λ_{3} ⇒ λ_{1} ≤ λ_{3}.
ii) Für alle λ_{1}, λ_{2} ∈ Λ gibt es ein λ_{3} ∈ Λ mit λ_{1} ≤ λ_{3} und λ_{2} ≤ λ_{3}.

Sei (X, T ) ein topologischer Raum und Λ eine gerichtete Menge. Ist x_{λ} ∈ X für alle λ ∈ Λ, so heißt (x_{λ})_{λ∈Λ} ein Netz in X. Ein Netz (x_{λ})_{λ∈Λ} heißt konvergent gegen ein x ∈ X, falls es zu jeder Umgebung V von x ein μ ∈ Λ gibt mit x_{λ} ∈ V für alle λ ≥ μ. Wir schreiben dann x_{λ} → x.

Jede Folge (x_{n})_{n∈ℕ} ist ein Netz bezüglich der gerichteten Menge ℕ mit der üblichen ≤-Relation, und die Konvergenzbegriffe stimmen überein. Alle Beziehungen zwischen Topologie metrischer Räume und Konvergenz von Folgen bleiben auch in allgemeinen topologischen Räumen richtig, wenn man Folgen durch Netze ersetzt. Die einzige Falle ist, daß ein konvergentes Netz nicht beschränkt sein muß.

Satz 1.6 Ein topologischer Raum (X, T ) ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn jedes konvergente Netz einen eindeutigen Grenzwert hat.

Satz 1.7 Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen ist genau dann stetig, wenn für jedes gegen x ∈ X konvergente Netz (x_{λ})_{λ∈Λ} gilt, daß das Netz (f(x_{λ}))_{λ∈Λ} gegen f(y) konvergiert.

Satz 1.8 Eine Teilmenge K ⊆ X ist genau dann kompakt, wenn jedes Netz (x_{λ})_{λ∈Λ} mit x_{λ} ∈ K ein konvergentes Teilnetz hat.

Schließlich:

Definition 1.9 Ein topologischer Raum (X, T ) erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom, falls es zu jedem x ∈ X eine abzählbare Umgebungsbasis gibt, d.h. es gibt abzählbar viele Umgebungen (U_{i})_{i∈ℕ} von x, so daß es zu jeder Umgebung V von x ein U_{i} ⊆ V gibt.

Das Axiom gilt in metrischen Räumen (Wähle \frac{1}{n}-Kugeln um x). Für schwache Topologien auf Hilbert-Räumen und für schwache Operator-Topologien gilt es nur, wenn der Hilbert-Raum separabel ist die Teilmengen beschränkt sind.

2 Lokal-konvexe Vektorräume

In einer wichtigen Klasse von toplogischen Räumen ist die Topologie durch ein System von Halbnormen erklärt. Viele Techniken der Analysis und Funktionalanalysis bleiben in diesen Räumen gültig.

Definition 2.1 Eine Halbnorm auf einem reellen oder komplexen Vektorraum X ist eine Abbildung p : X → ℝ mit p(λx) = |λ|p(x) und p(x + y) ≤ p(x) + p(y).

Definition 2.2 Sei P = {p_{i} : i ∈ I} ein System von Halbnormen p_{i} : X → ℝ auf einem Vektorraum X. Für x ∈ X, p_{1}, …, p_{n} ∈ P und ϵ > 0 setze

U(x; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) := {y ∈ X : p_{k}(x − y) < ϵ ∀k = 1, …, n} .

Eine (nichtleere) Teilmenge O ⊆ X heißt offen bezüglich P (oder P-offen), falls es zu jedem x ∈ O ein ϵ > 0 und p_{1}, …, p_{n} ∈ P gibt mit U(x; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) ⊆ O.

Ist P = {∥ ∥} für eine Norm ∥ ∥ auf X, so ist U(x; ∥ ∥, ϵ) = U_{ϵ}(x) genau die ϵ-Umgebung von x.

Satz 2.3 Sei P ein System von Halbnormen auf einem Vektorraum X und T := {O ⊆ X offen bzgl. P}. Dann ist (X , T ) ≡ (X , P) ein topologischer Vektorraum (den wir einen lokal-konvexen Vektorraum nennen). Ferner gilt:

i) U_{x} := {U(x; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) : ϵ > 0 , n ∈ ℕ , p_{1}, …, p_{n} ∈ P} ist Umgebungsbasis von x ∈ X.

ii) T ist die schwächste Topologie, in der alle p ∈ P stetig sind.

iii) Ein Netz (x_{λ})_{λ∈Λ} in X konvergiert genau dann in T gegen x ∈ X, wenn p(x_{λ} − x) → 0 für alle p ∈ P.

Beispiel 2.4 Sei X ein topologischer Raum. Auf dem Vektorraum der stetigen Funktionen C(X) betrachten wir die Familie P := {p_{x} : x ∈ X} der Halbnormen p_{x}(f) = |f(x)|. Nach Satz 2.3.iii) konvergiert eine Folge (f_{n}) in C(X) genau dann bezüglich P gegen f ∈ C(X), wenn p_{x}(f_{n} − f) → 0 für alle x ∈ X. Offenbar ist das die punktweise Konvergenz der Folge (f_{n}). Es gilt f = 0 ⇔ p_{x}(f) = 0 ∀x ∈ X, d.h. Grenzwerte sind eindeutig (Hausdorff-Eigenschaft). ◁ Allgemein gilt:

Satz 2.5 Ein lokal-konvexer Vektorraum (X , P) ist geanu dann ein Hausdorff-Raum, wenn aus p(x) = 0 für alle p ∈ P folgt x = 0.

Beispiel 2.6 Stetige Funktionen auf ganz ℝ müssen nicht beschränkt sein. Durch {p_{n}}_{n=1}^{∞} mit p_{n}(f) := sup_{x∈[−n,n]} |f(x)| wird ein System von Halbnormen auf C(ℝ) erklärt. Wieder gilt f = 0 ⇔ p_{n}(f) = 0 ∀n ∈ ℕ^{×}, so daß ein sinnvoller Konvergenzbegriff erhalten wird (gleichmäßige Konvergenz auf Kompakta). ◁

Beispiel 2.7 Sei X normierter Vektorraum, dann ist die schwache Topologie auf X die lokal-konvexe Topologie erzeugt durch das Halbnormensystem P = {p_{x′} : x′ ∈ X′}, mit p_{x′}(x) = |x′(x)|. Nach Hahn-Banach-Theorem ist es ein Hausdorff-Raum. ◁

Ist H Hilbert-Raum, dann ist H = H′ nach Rieszschem Darstellungssatz. Somit konvergiert eine Folge (ψ_{n})_{n∈ℕ} in der schwachen Topologie gegen ψ ∈ H, wenn für alle ϕ ∈ H gilt lim_{n→∞} |⟨ϕ, ψ_{n} − ψ⟩| = 0.

Sei jetzt (ψ_{n}) eine ONB in H. Als Folge ist (ψ_{n}) natürlich nicht normkonvergent, denn ∥ψ_{n} − ψ_{n+1}∥ = \sqrt{2}. Dagegen ist (ψ_{n}) schwach-konvergent gegen 0. Denn ϕ = ∑_{k} c_{k}ψ_{k} und dann |⟨ϕ, ψ_{n} − 0⟩| = |c_{n}|. Wegen (c_{n})_{n∈ℕ} ∈ ℓ^{2}(ℕ) ist (c_{n})_{n∈ℕ} eine Nullfolge. Insbesondere folgt, daß die Einheitssphäre in H nicht schwach-abgeschlossen ist (der Einheitsball ist es).

Beispiel 2.8 Sei X normierter Vektorraum, dann ist die schwach-*-Topologie auf dem Dualraum X′ die lokal-konvexe Topologie erzeugt durch das Halbnormensystem P = {p_{x} : x ∈ X }, mit p_{x}(x′) = |x′(x)|. Es ist wieder eine Hausdorff-Topologie mit folgender sehr wichtiger Eigenschaft:

Theorem 2.9 (Banach-Alaoglu) Der Einheitsball B_{X′} := {x′ ∈ X′ : ∥x′∥ ≤ 1} ist schwach-*-kompakt.

Hier ist zu betonen, daß der Einheitsball genau dann norm-kompakt ist, wenn der normierte Vektorraum endlich-dimensional ist. ◁

Beispiel 2.10 Seien X , Y normierte Vektorräume, dann werden auf B(X , Y) folgende Operator-Topologien eingeführt:

i) Die starke Operator-Topologie wird durch das Halbnormensystem P = {p_{x} : x ∈ X } mit p_{x}(T) := ∥T (x)∥ erzeugt. Ist ∥T (x)∥ = 0, so T (x) = 0 für alle x ∈ X, somit T = 0, und T trennt die Punkte. Ein Netz (T_{λ})_{λ∈Λ} in B(X , Y) konvergiert somit genau dann gegen T ∈ B(X , Y), wenn T_{λ}(x) → T (x) für alle x ∈ X. Die starke Operator-Topologie ist schwächer als die (Operator-)Norm-Topologie. ii) Die schwache Operator-Topologie wird erzeugt durch das Halbnormensystem P = {p_{x,y′} : x ∈ X , y′ ∈ Y′} mit p_{x,y′}(T) := |y′(T (x))|. Da Y′ die Punkte aus Y trennt, ist p_{x,y′}(T) = 0 für alle p_{x,y′} ∈ P genau dann, wenn T = 0, somit ist die schwache Operatortopologie hausdorffsch. Ein Netz (T_{λ})_{λ∈Λ} in B(X , Y) konvergiert somit genau dann gegen T ∈ B(X , Y), wenn y′(T_{λ}(x)) → y′(T (x)) für alle x ∈ X und alle y′ ∈ Y′. Speziell ist (T_{λ})_{λ∈Λ} in B(H) schwach-konvergent gegen T, falls lim_{λ} |⟨ϕ, (T_{λ}−T)⟩| = 0 für alle ψ, ϕ ∈ H. Die schwache Operator-Topologie ist schwächer als die starke Operator-Topologie und noch schwächer als die (Operator-)Norm-Topologie. ◁

Da es in der Quantenmechanik nur auf die Erwartungswerte von Operatoren ankommt, ist die schwache Operator-Topologie die natürlichste Wahl. Das folgende durch von Neumann bewiesene Theorem hat weitreichende Konsequenzen:

Theorem 2.11 Sei M ⊆ B(H) eine ∗-Unteralgebra, die id_{H} enthält. Dann sind äquivalent:

i) M = M′′

ii) M ist abgeschlossen in der starken Operator-Topologie.

iii) M ist abgeschlossen in der schwachen Operator-Topologie.

Dabei ist M′ := {T ∈ B(H) : [T, A] = 0 ∀A ∈ M} die Kommutante von M und M′′ = (M′)′. Eine Algebra nach Theorem 2.11 heißt von Neumann-Algebra.

Beispiel 2.12 Während der Vektorraum C^{k}(ℝ^{D}) der k-mal stetig differenzierbaren Funktionen ein Banach-Raum ist, kann auf C^{∞}(ℝ^{D}) keine Norm erklärt werden. Jedoch definiert p_{n,α}(x) := sup_{t∈[−n−1,n+1]^{D}} |(∂^{α}x)(t)| für n ∈ ℕ und α ∈ ℕ^{D} (Multi-Index) eine Halbnorm auf C^{∞}(ℝ^{D}). Dann definiert P = {p_{n,α}} ein Halbnormensystem, welches C^{∞}(ℝ^{D}) zu einem lokal-konvexen Vektorraum macht. ◁

Beispiel 2.13 Der Schwartz-Raum S(ℝ^{D}) ist der Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen, welche im Unendlichen schneller als jede Potenz verschwinden. Durch das Halbnormensystem P = {p_{n,α} : n ∈ ℕ , α ∈ ℕ^{D}} mit p_{n,α}(x) := sup_{t∈ℝ^{D}} |(1 + ∥t∥^{n})(∂^{α}x)(t)| wird S(ℝ^{D}) zu einem lokalkonvexen Vektorraum. ◁

Satz 2.14 Sei (X , T ) lokal-konvexer Vektorraum. Dann sind äquivalent:

i) (X , T ) ist metrisierbar, d.h. es gibt eine Metrik d auf X, welche T erzeugt.

ii) 0 ∈ X besitzt eine abzählbare Umgebungsbasis. iii) Es gibt ein abzählbares Halbnormensystem P = {p_{n} : n ∈ ℕ}, welches

T erzeugt.

Eine solche Metrik kann durch d(x, y) := ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{2^{n}} \frac{p_{n}(x − y)}{1 + p_{n}(x − y)} definiert werden.

Als wichtige Konsequenz gilt das erste Abzählbarkeitsaxiom, und die Topologie kann durch Folgen erfaßt werden.

Definition 2.15 Ein metrisierbarer lokal-konvexer Vektorraum X, der bezüglich einer translations-invarianten Metrik vollständig ist, heißt Fréchet-Raum.

Metrisierbarkeit von C^{∞}(ℝ^{D}) und S(ℝ^{D}) sind offensichtlich, Fréchet kann bewiesen werden.

Satz 2.16 Seien (X , P) und (Y, Q) lokal-konvexe Vektorräume. Eine lineare Abbildung T : X → Y ist genau dann stetig, wenn es für jedes q ∈ Q ein c ≥ 0 und p_{1}, …, p_{n} ∈ P mit q(T (x)) ≤ c max(p_{1}(x), …, p_{n}(x) für alle x ∈ X.

Insbesondere kann so der Dualraum X′ aller bezüglich P stetigen linearen Abbildungen f : X → ℂ erklärt werden. War (X , ∥ ∥) normierter Vektorraum und (X , ∥ ∥)′ sein Dualraum bezüglich der Norm-Topologie, dann definiert dieser einen lokal-konvexen Vektorraum (X , P = {p_{x′}}), von dem wieder der Dualraum (X , P)′ bezüglich der schwachen Topologie erklärt ist. Dieses ist aber der gleiche Raum!

Hahn-Banach gilt auch in lokal-konvexen Vektorräumen, so daß der Dualraum immer ein Hausdorff-Raum ist.

Beispiel 2.17 Der Dualraum (S(ℝ^{D}))′ des Schwartz-Raums heißt Vektorraum der temperierten Distributionen. Diese spielen eine große Rolle in der Quantenfeldtheorie und allgemeiner in der Theorie partieller Differentialgleichungen. Es sind sozusagen die langsam wachsenden Distributionen. Ein wichtiges Beispiel ist die Diracsche δ-Distribution δ_{t}(f) := f(t) für f ∈ S(ℝ^{D}). Diese ist linear, und |δ_{t}(f)| ≤ p_{0,0}(f) = sup_{t∈ℝ^{D}} |f(t)|, d.h. δ_{t} ist stetig. ◁