Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 2015

Übungen zu “Mathematische Modelle der Statistischen Physik und Quantenfeldtheorie”

Abgabe: Bis 23.04.2015, 10 Uhr Blatt 02

Eine Abbildung f : X → Y zwischen lokal-konvexen Vektorräumen (X , P) und (Y, Q) ist stetig, wenn es zu jedem q ∈ Q ein c ≥ 0 sowie p_{1}, …, p_{n} ∈ P gibt mit q(f(x)) ≤ c max(p_{1}(x), …, p_{n}(x)).

Aufgabe 1. Sei (ϕ_{n})_{n∈ℕ} eine Folge im Hilbert-Raum H, die in der schwachen Topologie gegen ϕ ∈ H konvergiert.

Zeigen Sie: (ϕ_{n})_{n∈ℕ} konvergiert genau dann in der Norm-Topologie gegen ϕ, wenn ∥ϕ_{n}∥ in ℝ gegen ∥ϕ∥ konvergiert.

Aufgabe 2. Sei H unendlich-dimensionaler separabler Hilbert-Raum und A ∈ B(H). Zeigen Sie, daß die Abbildung A ↦ A^{∗} stetig in der Norm-Topologie und in der schwachen Operator-Topologie ist, aber nicht stetig in der starken Operator-Topologie ist.

Hinweis: Ein Gegenbeispiel läßt sich aus dem Adjungierten S^{∗} des Shift-Operators S(ψ_{n}) = ψ_{n+1} konstruieren.

Aufgabe 3. Eine lineare, nicht notwendig stetige, Abbildung f : B(H) → ℂ heißt positives lineares Funktional, falls f(A^{∗}A) ≥ 0 für alle A ∈ B(H), und Zustand, falls außerdem f(id_{H}) = 1.

Zeigen Sie folgende Eigenschaften für ein positives lineares Funktional f:

i) |f(B^{∗}A)|^{2} ≤ f(B^{∗}B)f(A^{∗}A) für alle A, B ∈ B(H) ii) |f(B^{∗}AB)| ≤ ∥A∥f(B^{∗}B) für A ≥ 0 iii) f ist automatisch norm-stetig

Hinweise: Zeigen Sie zunächst f(A^{∗}) = \overline{f(A)}, dann ist i) eine Variante von Cauchy-Schwarz. In ii) beweist man A ≤ ∥A∥id_{H} für A ≥ 0 und nutzt, daß sich jeder positive Operator A ≥ 0 als A = C^{∗}C schreiben läßt.

Aufgabe 4. Sei S(ℝ) der Schwartz-Raum, versehen mit dem Halbnormensystem p_{n,k}(f) := sup_{x∈ℝ}(1 + |x|^{n})|f^{(k)}(x)|.

Zeigen Sie durch Angabe konkreter c, p_{1}, …, p_{n}, daß folgende Abbildungen stetig sind: i) Q : S(ℝ) → S(ℝ) , (Qf)(x) := xf(x)

ii) P : S(ℝ) → S(ℝ) , (P f)(x) := −if′(x) (d.h. die Ableitung)

iii) I : S(ℝ) → ℂ , I(f) := ∫_{R} dxf(x) (mit der Standard-Topologie in ℂ)