Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 2015

Übungen zu “Mathematische Modelle der Statistischen Physik und Quantenfeldtheorie”

Abgabe: Bis 30.04.2015, 10 Uhr Blatt 03

Sei H unendlich-dimensionaler separabler Hilbert-Raum und K(H) ⊆ B(H) der Vektorraum der kompakten Operatoren auf H. Ist T ∈ K(H), so auch T^{∗}T ∈ K(H), und nach Spektralsatz für selbstadjungierte kompakte Operatoren gilt:

H hat eine ONB (ψ_{n})_{n∈ℕ} aus Eigenvektoren von T^{∗}T, genauer T^{∗}T ψ_{n} = μ_{n}^{2}ψ_{n} für eine monoton fallende Nullfolge (μ_{n}^{2})_{n∈ℕ}, wobei μ_{n}^{2} > 0 endliche Vielfachheit hat.

Die positiven Wurzeln μ_{1} ≥ μ_{2} ≥ ⋯ > 0 heißen singuläre Werte von T, meist bezeichnet mit s_{n}(T) := μ_{n}. Man sagt, T gehört zum Schatten-Ideal L^{p}(H) für ein 1 ≤ p ≤ ∞, falls (s_{n+1}(T))_{n∈ℕ} ∈ ℓ^{p}(ℕ). Operatoren T ∈ L^{1}(H) heißen Spurklasse-Operatoren, Operatoren T ∈ L^{2}(H) heißen Hilbert-Schmidt-Operatoren.

Aufgabe 1 Sei (μ_{n+1})_{n∈ℕ} die Folge der singulären Werte von T ∈ K(H). Zeigen Sie:

i) Es gibt (nicht notwendig vollständige) Orthonormalsysteme (ψ_{n})_{n∈M} und (ϕ_{n})_{n∈M} in H mit T ψ = ∑_{n∈M} μ_{n}⟨ψ_{n}, ψ⟩ϕ_{n} für alle ψ ∈ H.

ii) μ_{n} = inf_{η_{1},...,η_{n−1}∈H} ( sup_{ξ∈(span(η_{1},...,η_{n−1}))^{⊥},∥ξ∥=1} ∥T ξ∥)

mit μ_{1} = sup_{ξ∈H,∥ξ∥=1} ∥T ξ∥ ≡ ∥T ∥.

Hinweise: i) Nach einzig sinnvoller Wahl der ψ_{n} ergeben sich die ϕ_{n} durch Wahl von ψ ↦ ψ_{n} in der zu zeigenden Formel. Zu diskutieren ist aber ker T. ii) Hier sind getrennt ≥ und ≤ zu zeigen. In einem Fall wählt man η_{k} = ψ_{k} und ψ_{k} nach i). Im anderen Fall zeigt man, daß es zu jedem (n − 1)-dimensionalen Untervektorraum von H ein dazu orthogonales ψ ∈ span(ψ_{1}, …, ψ_{n}) gibt. Dieses liefert eine untere Schranke für ∥T ξ∥.

Aufgabe 2. Ist T ∈ L^{1}(H) ein Spurklasse-Operator und (η_{n})_{n∈ℕ} eine ONB in H, dann heißt Tr(T) := ∑_{n=0}^{∞}⟨η_{n}, T η_{n}⟩ die Spur von T. Zeigen Sie:

i) Die Reihe konvergiert absolut für beliebige ONB in H, und jede ONB liefert den gleichen Wert für die Spur. ii) Ist U ein unitärer Operator, d.h. U^{∗}U = UU^{∗} = id_{H}, dann gilt Tr(U^{∗}T U) =

Tr(T). iii) L^{1}(H) ist ein Vektorraum, auf dem durch ∥T ∥_{1} := ∥(μ_{n})_{n=1}^{∞}∥_{1} = ∑_{n=1}^{∞} μ_{n} =

Tr((T^{∗}T)^{\frac{1}{2}} ) für T ∈ L^{1}(H) eine Norm definiert ist. iv) Für A ∈ B(H) sind T A, AT ∈ L^{1}(H) und Tr([A, T]) = 0.

Hinweise: i) kann mit Aufgabe 1.i) gezeigt werden. Eine Möglichkeit, iii) zu beweisen, ist zunächst mittels 1.i) zu zeigen:

∥T ∥_{1} = sup{∑_{j∈J} |⟨ξ_{j}, T η_{j}⟩| : (ξ_{j})_{j∈J}, (η_{j})_{j∈J} ONS in H} .

In iv) genügt zu zeigen (weshalb?), daß UT und T U Spurklasse sind für U unitär, und daß Tr(T U) = Tr(UT) gilt.

Aufgabe 3.+4. Seien P_{j}, Q_{j}, L_{j} und H = \frac{1}{2}P^{2}−\frac{1}{\sqrt{Q^{2}}} Impuls-, Orts-, Drehimpuls-

und Hamilton-Operatoren auf H = L^{2}(ℝ^{3}) und A_{l} := \frac{Q_{l}}{\sqrt{Q^{2}}} − \frac{1}{2} ∑_{j,k=1}^{3} ϵ_{jkl}(P_{j}L_{k}+

L_{k}P_{j}). Dabei ist j, k, l ∈ {1, 2, 3},

ϵ_{jkl} = \{ \begin{matrix}1 & falls (jkl) eine gerade Permutation von (123) ist, \\ −1 & falls (jkl) eine ungerade Permutation von (123) ist, \\ 0 & falls (jkl) zwei oder drei gleiche Indizes enthält, \end{matrix}

sowie X · Y = ∑_{j=1}^{3} X_{j}Y_{j} und X^{2} := X · X.

Zeigen Sie:

[L_{j}, A_{k}] = i ∑_{l=1}^{3} ϵ_{jkl}A_{l} ,  0 = L · A = A · L , [H, A_{j}] = 0 ,

[A_{j}, A_{k}] = −i ∑_{l=1}^{3} ϵ_{jkl}L_{l}H ,  A^{2} = 1 + 2H + 2HL^{2} .

Auf dem Unterraum H_{−} := χ_{ℝ_{−}^{×}}(H)H von H, auf dem der Hamilton-Operator negativ ist, werden folgende Operatoren erklärt:

J_{j} := \frac{1}{2}(L_{j} + (−2H)^{− \frac{1}{2}} A_{j}) , K_{j} := \frac{1}{2}(L_{j} − (−2H)^{− \frac{1}{2}} A_{j}) .

Zeigen Sie:

[J_{j}, J_{k}] = i ∑_{l=1}^{3} ϵ_{jkl}J_{l} ,  [K_{j}, K_{k}] = i ∑_{l=1}^{3} ϵ_{jkl}K_{l} ,
[J_{j}, K_{k}] = 0 ,  J^{2} = K^{2} = −\frac{1}{4}(1 + (2H)^{−1}) .