Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 2015

Übungen zu “Mathematische Modelle der Statistischen Physik und Quantenfeldtheorie”

Abgabe: Bis 07.05.2015, 10 Uhr Blatt 04

Aufgabe 1. Sei T ein kompakter Operator auf einem unendlich-dimensionalen separablen Hilbert-Raum H und λ ∈ ϱ(T) regulärer Wert (insbesondere λ ≠ 0). Dann werde durch (T − λ id)^{−1} = S − \frac{1}{λ}id ein Operator S ∈ B(H) definiert.

Zeigen Sie:

i) S ist kompakt.

ii) ker S = ker T und im S ⊆ im T.

iii) Ist T zusätzlich selbstadjungiert, dann ist jeder Eigenvektor von T auch Eigenvektor von S. Geben Sie den zugehörigen Eigenwert an.

iv) Sei T wieder kompakt und selbstadjungiert. Geben Sie Sψ für beliebiges ψ ∈ H an, ausgedrückt durch Größen aus dem Spektraltheorem für T.

Aufgabe 2. Wir betrachten die Abbildung

h : ℝ^{4} ∋ x = (x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}) ↦ h(x) := ( \begin{matrix}x^{0} + x^{3} & x^{1} − ix^{2} \\ x^{1} + ix^{2} & x^{0} − x^{3} \end{matrix} ) ∈ M_{2}(ℂ)_{sa} ,

wobei M_{2}(ℂ)_{sa} den Vektorraum der hermiteschen komplexen (2 × 2)-Matrizen bezeichnet. Außerdem sei x̃ = (x^{0}, −x^{1}, −x^{2}, −x^{3}).

i) Überzeugen Sie sich, daß h bijektiv ist und x·x̃ = det h(x) erfüllt. Wie läßt sich x · ỹ durch Determinanten ausdrücken?

ii) Zeigen Sie: Es gibt ein C ∈ GL(2, ℂ) mit h(x̃) = C^{−1}\overline{h(x)}C.

iii) Jedes T ∈ M_{2}(ℂ) induziert durch x ↦ F_{T} (x) := h^{−1}(T^{∗}h(x)T) einen Endomorphismus von ℝ^{4}. Für welche solche T gilt F_{T} (x) · { \atop F_{T} (x)} = x · ỹ für alle x, y ∈ ℝ^{4}? Welche Gruppe G wird durch diese T erzeugt?

iv) Zeigen Sie, daß F_{T} die Zeitorientierung erhält.

Aufgabe 3. Die Standard-Darstellung γ : ℝ^{4} → Cℓ_{1,3}, die nicht von der Form M_{2}(ℍ) ist, ist

γ(x) := ( \begin{matrix}0 & h(x̃) \\ h(x) & 0 \end{matrix} )

mit h(x) wie in Aufgabe 2.

i) Geben Sie die allgemeine Form von Elementen aus Spin(1, 3) in dieser Darstellung an. Hinweis: Verwenden Sie die Matrix C aus Aufgabe 2.ii)

ii) Bestimmen Sie durch Vergleich der Gruppenwirkung a^{−1}γ(x)a =: γ(R_{a}(x)), für a ∈ Spin(1, 3), mit der in Aufgabe 2.iii) bestimmten Gruppenwirkung F_{T} (x) = h^{−1}(T^{∗}h(x)T), für T ∈ G, den gemeinsamen Durchschnitt von G mit Spin(1, 3). Hinweis: Beweisen Sie C(A^{t})^{−1}C^{−1} = \frac{A}{det A} für beliebiges A ∈ GL(2, ℂ), wenn C wieder die Matrix aus Aufgabe 2.ii) ist.

Aufgabe 4. Seien a_{j}^{∗}, a_{j} mit j = 1, …, N Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren auf dem Fock-Raum von ℂ^{N}, d.h.

[a_{j}, a_{k}] = 0 , [a_{j}^{∗}, a_{k}^{∗}] = 0 , [a_{j}, a_{k}^{∗}] = δ_{jk} .

i) Zeigen Sie: Es gibt λ_{lj}, μ_{lj} ∈ ℂ (nicht alle μ_{lj} gleich 0) derart, daß auch c_{l} := ∑_{j=1}^{N}(λ_{lj}a_{j} + μ_{lj}a_{j}^{∗}) und c_{l}^{∗} := ∑_{j=1}^{N}(\overline{λ_{lj}}a_{j}^{∗} + \overline{μ_{lj}}a_{j}) die Relationen

[c_{j}, c_{k}] = 0 , [c_{j}^{∗}, c_{k}^{∗}] = 0 , [c_{j}, c_{k}^{∗}] = δ_{jk}

erfüllen.

ii) Geben Sie eine Konstruktion an für ein neues Vakuum Ω_{c} mit c_{l}Ω_{c} = 0 für alle l ∈ {1, …, N}.

Bemerkung: Schon die Fälle N = 1 und N = 2 sind lehrreich.