Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 2015

Übungen zu “Mathematische Modelle der Statistischen Physik und Quantenfeldtheorie”

Abgabe: Bis 22.05.2015, 10 Uhr Blatt 05

Aufgabe 1. Wir betrachten den Hilbert-Raum L^{2}(ℝ^{3}, dμ_{m}) mit dem Skalarprodukt ⟨v̂, ŵ⟩ = ∫_{ℝ^{3}} \frac{dp⃗}{2\sqrt{m^{2}+∥p⃗∥^{2}}} \overline{v̂(p⃗)}ŵ(p⃗).

i) Nach (dreidimensionaler) Fourier-Transformation läßt sich dieses Skalarprodukt als ⟨v̂, ŵ⟩ = ∫_{ℝ^{3}×ℝ^{3}} dx⃗ dy⃗ \overline{v(x⃗)}K(x⃗ − y⃗)w(y⃗) schreiben. Geben Sie den Intergralkernoperator K(ξ⃗) an.

ii) Verwenden Sie die Identität \frac{1}{\sqrt{m^{2}+∥p⃗∥^{2}}} = \frac{1}{Γ( \frac{1}{2} )} ∫_{0}^{∞} \frac{dα}{\sqrt{α}}e^{−α(m^{2}+∥p⃗∥^{2})}, um in

K(ξ⃗) das p⃗-Integral zu berechnen (Vertauschen der p⃗, α-Integrale darf als erlaubt angesehen werden).

iii) Diskutieren Sie das Verhalten von K(ξ⃗) für ∥ξ⃗∥ → 0 und ∥ξ⃗∥ → ∞. Bemerkung: Das α-Integral ist eine modifizierte Bessel-Funktion.

Aufgabe 2. Der (eindimensionale) harmonische Oszillator H = \frac{1}{2}(P^{2} + Q^{2} − 1) kann als (D = 1)-dimensionale Quantenfeldtheorie aufgefaßt werden. Dabei ist Ω = ψ_{0} der Grundzustand und Φ(f) := \sqrt{2} ∫_{−∞}^{∞} dt f(t)e^{iHt}Qe^{−iHt} das Quantenfeld.

i) Zeigen Sie, daß U_{(a)}ψ = e^{iHa}ψ das Axiom [WA1] erfüllt.

Hinweis: Die Poincaré-Gruppe besteht nur aus Translationen in ℝ.

ii) Auf welche Forderung reduziert sich die Spektrumsbedingung [WA2]? Ist diese erfüllt?

iii) Berechnen Sie Q(t) := e^{iHt}Qe^{−iHt}.

Hinweis: Man drücke Q, H durch a, a^{∗} aus und löse die aus \frac{d}{dt}e^{iHt}ae^{−iHt} und \frac{d}{dt}e^{iHt}a^{∗}e^{−iHt} folgenden Differentialgleichungen.

iv) Berechnen Sie die Wightman-Distributionen W_{n}(f_{1}, …, f_{n}) := ⟨Ω, Φ(f_{1}) ⋯ Φ(f_{n})Ω⟩.

Aufgabe 3. Diese Aufgabe konstruiert die Zeit-0-Felder, symbolisch φ_{m}(x⃗) = Φ(0, x⃗) und π_{m}(x⃗) = ∂_{t}Φ(t, x⃗)|_{t=0}. Sie sind nicht Poincaré-kovariant, sondern liefern Anfangsdaten für die Lösung Φ(t, x⃗) der Klein-Gordon-Gleichung. Wir können z.B. D = 4 annehmen, d.h. p⃗, x⃗ ∈ ℝ^{3}.

Ausgehend von der in der Vorlesung behandelten QFT (H, D, Φ, U, Ω) des freien Skalarfeldes werde eingeführt:

• eine Abbildung C : L^{2}(X_{m}, dμ_{m}) → L^{2}(X_{m}, dμ_{m}) durch (Cv)(p_{m}) :=

\overline{v(p̃_{m})}, mit { \atop (p^{0}, p⃗)} = (p^{0}, −p⃗),

• zu jedem f ∈ S(ℝ^{4}) Operatoren φ_{m}(f), π_{m}(f) : D → D, definiert für reellwertige f durch

φ_{m}(f) = a^{∗}(F_{m}f)+a(CF_{m}f) , π_{m}(f) = ia^{∗}(ω_{m}·F_{m}f)−ia(ω_{m}·CF_{m}f) ,

dann ℂ-linear fortgesetzt wie in der Konstruktion von Φ(f).

i) Zeigen Sie: [φ_{m}(f_{1}), φ_{m}(f_{2})] = [π_{m}(f_{1}), π_{m}(f_{2})] = 0 für alle f_{1}, f_{2} ∈ S(ℝ^{4}). ii) Berechnen Sie [φ_{m}(f_{1}), π_{m}(f_{2})]. iii) Zeigen Sie, daß der Kommutator [φ_{m}(f_{1}), π_{m}(f_{2})] sinnvoll bleibt, wenn

f_{i}(x^{0}, x⃗) → (δf̌_{i})(x^{0}, x⃗) := δ(x^{0})f̌_{i}(x⃗) konvergiert. Dabei ist δ die Dirac-Distribution, ∫_{−∞}^{∞} dx^{0} δ(x^{0})f(x^{0}) = f(0). [Hintergrund: S(ℝ^{k}) ist dicht in (S(ℝ^{k}))′]. Geben Sie [φ_{m}(δf̌_{1}), π_{m}(δf̌_{2})] an.

Aufgabe 4. Ist W_{N} die Wightman-Distribution einer Quantenfeldtheorie, dann definieren wir eine Distribution

T W_{N}(x_{1}, …, x_{N})

:=∑_{σ∈S_{N}} Θ(x_{σ(1)}^{0}−x_{σ(2)}^{0})Θ(x_{σ(2)}^{0}−x_{σ(3)}^{0}) ⋯ Θ(x_{σ(N−1)}^{0}−x_{σ(N)}^{0})W_{N}(x_{σ(1)}, …, x_{σ(N)}) .

Dabei ist Θ(x) = \{ \begin{matrix}1 & für x ≥ 0 \\ 0 & für x < 0 \end{matrix} die Heaviside-Funktion (eigentlich eine Dis-

tribution). Summiert wird über alle Permutationen, wobei jedoch für paarweise verschiedene x_{j} diese Summe aus nur einem einzigen Summanden besteht. Die Multiplikation von Distributionen erfordert große Vorsicht; in diesem Fall läßt sich aber alles rechtfertigen. Entsprechend setzt man

T W_{N}(f_{1}, …, f_{N}) := ∫_{ℝ^{ND}} d(x_{1}, …, x_{N}) T W_{N}(x_{1}, …, x_{N})f_{1}(x_{1}) ⋯ f_{N}(x_{N})
≡ ⟨Ω, T Φ(f_{1}) ⋯ Φ(f_{N})Ω⟩ .

Man nennt den so definierten Operator T Φ(f_{1}) ⋯ Φ(f_{N}) das zeitgeordnete Produkt. Die folgenden Teilaufgaben beziehen sich auf das freie Skalarfeld: i) Geben Sie den Integralkern T W_{2}(x, y) an.

ii) Zeigen Sie: T W_{2}(x, y) = lim_{ϵ→0} \frac{i}{(2π)^{D}} ∫_{ℝ^{D}} dp \frac{e^{−ip·{ \atop (x−y)}}}{p·p̃−m^{2}+iϵ} für x ≠ y.

iii) Drücken Sie T W_{N}(x_{1}, …, x_{N}) als Funktion von T W_{2} aus.

Bemerkungen: Die Distribution T W_{2}(x, y) heißt kausale 2-Punktfunktion oder Feynman-Propagator. Der Beweis von ii) benutzt den Residuensatz. Der Limes ϵ → 0 ist erst nach Anwendung des Residuensatzes zu bilden.