Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 2015

Übungen zu “Mathematische Modelle der Statistischen Physik und Quantenfeldtheorie”

Abgabe: Bis 11.06.2015, 10 Uhr Blatt 06

Aufgabe 1. Die reduzierte Wightman-Distribution des freien Skalarfeldes war

W_{2}(ξ) = \frac{1}{(2π)^{D−1}} ∫_{ℝ^{D−1}} \frac{dp⃗}{2ω_{m}(p⃗)}e^{−iξ·p̃_{m}} , p_{m} = (ω_{m}(p⃗), p⃗) .

mit ω_{m}(p⃗) = \sqrt{∥p⃗∥^{2} + m^{2}}.

i) Zeigen Sie (ggf. erneut) Ŵ_{2}(q) = \frac{1}{(2π)^{\frac{D}{2}}} ∫_{ℝ} dξ^{0} \frac{e^{iξ^{0}(q^{0}−ω_{m}(q⃗))}}{2ω_{m}(q⃗)} .

ii) Berechnen Sie die zugehörige Schwinger-Funktion S_{2}(x, y) für x^{0} < y^{0} durch Berechnung des Integrals über q ∈ \overline{V_{+}}. Hinweis. Die Integrationsreihenfolge ist erst q^{0}, dann ξ^{0}.

iii) Zeigen Sie, daß das Ergebnis von ii) äquivalent ist zu (Euklidische Norm und Skalarprodukt)

S_{2}(x, y) = \frac{1}{(2π)^{D}} ∫_{ℝ^{D}} dq \frac{e^{i⟨x−y,q⟩}}{∥q∥^{2} + m^{2}}

Aufgabe 2. i) Bestimmen Sie ein Polynom P (x, y) minimalen Grades und ein möglichst kleines K ∈ ℕ, so daß für die Schwinger-2-Punktfunktion aus 1.iii) gilt

|S_{2}(x, y)| ≤ P (x, y)(1 + ∥x − y∥^{−K})

ii) Sei f ∈ S(ℝ^{D}) mit supp f ⊆ {x ∈ ℝ^{D} : 0 < x^{0}}. Überprüfen Sie für die Schwinger-2-Punktfunktion aus 1.iii) die Reflexionspositivität bezüglich der Folge (0, f, 0, …), d.h.

∫_{ℝ^{2D}} d(x, y) S_{2}(x, y)\overline{f(−x^{0}, x⃗)}f(y^{0}, y⃗) ≥ 0 .

iii) Welche weitere Positivität bezüglich einer Folge (0, f, 0, …) mit f ∈ S(ℝ^{D}) gilt für die Schwinger-2-Punktfunktion aus 1.iii)?

Aufgabe 3 Wir betrachten in D = 2 Dimensionen ein Quantenfeld Φ = Φ(x_{+}), das als Distribution nur von x_{+} := x^{0} + x^{1} abhängt, nicht aber von x_{−} := x^{0} − x^{1}. Entsprechend ist Φ(f) = ∫_{−∞}^{∞} dx_{+}Φ(x_{+})f_{+}(x_{+}) mit f_{+}(x_{+}) := \frac{1}{2} ∫_{−∞}^{∞} dx_{−}f(x_{+}, x_{−}).

i) Zeigen Sie: Ist x_{+} ≠ y_{+}, so folgt im distributionellen Sinn [Φ(x_{+}), Φ(y_{+})] = 0. Schließen Sie dann [Φ(x_{+}), Φ(y_{+})] = −i ∑_{k=0}^{n} c_{k}δ^{(2k+1)}(x_{+} − y_{+}) für ein n ∈ ℕ und c_{k} ∈ ℝ.

ii) Bestimmen Sie die allgemeinste Wightman-Distribution W_{2}(x_{+}, y_{+}) = ⟨Ω, Φ(x_{+})Φ(y_{+})Ω⟩, die mit der Lokalität nach i) sowie Translationsinvarianz verträglich ist.

iii) Sei ξ_{+} = x_{+} − y_{+} und W_{2}(ξ) = W_{2}(0, −ξ). Berechnen Sie die Fourier-Transformierte Ŵ_{2}(q) := \frac{1}{2π} ∫_{ℝ^{2}} dξ e^{iξ·q̃} W_{2}(ξ). Welche weitere Einschränkung an W_{2} ergibt sich aus der Trägereigenschaft von Ŵ_{2}(q)?

iv) Berechnen Sie schließlich W_{2}(ξ_{+} − iϵ) durch Laplace-Transformation unter Berücksichtigung der Trägereigenschaften.

Aufgabe 4. Berechnen Sie für die Boltzmann-Verteilung zum eindimensionalen quantenmechanischen harmonischen Oszillator explizit als Funktion der Temperatur:

i) die freie Energie F,

ii) die Entropie S,

iii) die Gesamtenergie U,

iv) die spezifische Wärme c.