Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 2015

Übungen zu “Mathematische Modelle der Statistischen Physik und Quantenfeldtheorie”

Abgabe: Bis 25.06.2015, 10 Uhr Blatt 07

Dieses Blatt diskutiert die van der Waals-Gleichung

(p + \frac{a}{V^{2}} )(V − b) = RT

als Modell für kritische Phänomene beim Phasenübergang flüssig↔ gasförmig. Nach Skalierung V ↦ bV, p ↦ \frac{a}{b^{2}} p, T ↦ \frac{a}{Rb}T können wir a = b = R = 1 annehmen.

Aufgabe 1. Für festes T heißt die Lösung p(V) eine Isotherme. Die freie Energie einer Isothermen ist definiert als F (V) = F (V_{0}) − ∫_{V_{0}}^{V} dV p(V).

i) Berechnen Sie F (V) für V, V_{0} > b.

ii) Zeigen Sie: Ist T genügend klein, aber positiv, dann gibt es ein p > 0, so daß V (p) drei Lösungen hat. Hinweis: Diskriminante der Cardanischen Formeln

iii) Aus Stabilitätsgründen muß für physikalische Systeme gelten: \frac{1}{κ} = −V \frac{∂p}{∂V} = \frac{∂^{2}F}{∂V^{2}} ≥ 0. Sei T so klein, daß V (p) drei Lösungen hat. Zeigen Sie: Die Stabilitätsbedingung ist für genau zwei der drei Lösungen erfüllt.

Aufgabe 2. Nach Maxwell ist die freie Energie F (V) zu ersetzen durch den Rand F^{conv}(V) ihrer konvexen Hülle. Letztere ist definiert als die Menge aller konvexen Linearkombinationen: Ist Γ(F) := {(V, F (V)} der Graph von F, dann ist

conv(Γ(F)) := {λγ_{1} + (1 − λ)γ_{2} : λ ∈ [0, 1] , γ_{1}, γ_{2} ∈ Γ(F)} .

i) Zeigen Sie: Gibt es zu T drei Lösungen V, so gibt es V_{f} < V_{g} derart, daß

F^{conv}(V) = \{ \begin{matrix}F (V) & für V < V_{f} oder V > V_{g} \\ \frac{(V −V_{f})F (V_{g})+(V_{g}−V)F (V_{f})}{V_{f} −V_{f}} & für V_{f} < V < V_{g} \end{matrix}

ii) Geben Sie ein System aus zwei Gleichungen an, aus denen sich zu gegebenem T die beiden Volumina V_{f}, V_{g} bestimmen (ohne das System zu lösen)

Aufgabe 3. Die kritische Punkt ist definiert als jenes Paar (T_{c}, p_{c}), an dem die van der Waals-Gleichung entartet zu (V − V_{c})^{3} = 0 mit dreifacher reeller Nullstelle.

i) Bestimmen Sie T_{c}, p_{c}, V_{c}.

ii) Formen Sie die van der Waals-Gleichung in eine Gleichung \frac{p−p_{c}}{p_{c}} =

f(\frac{T −T_{c}}{T_{c}} , \frac{V −V}{V_{c}} ) um.

Aufgabe 4. Berechnen Sie die kritischen Exponenten

i) des Verhaltens |V − V_{c}| ≃ |p − p_{c}|^{\frac{1}{δ}} für T = T_{c}

ii) der Kompressibilität κ = −\frac{1}{V} \frac{∂V}{∂p} |_{V =V_{c}} ≃ τ^{−γ} für τ = \frac{|T −T_{c}|}{T_{c}} → 0,

iii) der Dichtedifferenz V_{g} − V_{f} ≃ τ^{β} mit τ = \frac{|T −T_{c}|}{T_{c}} für T ↗ T_{c}

iv) der spezifische Wärme c = −T \frac{∂^{2}F}{∂T^{2}} |_{p=p_{c}} ≃ τ^{−α}