Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 2015

Übungen zu “Mathematische Modelle der Statistischen Physik und Quantenfeldtheorie”

Abgabe: Bis 08.07.2015, 16 Uhr Blatt 08

Das klassische Heisenberg-Modell für die Zuordnung von Spin-Vektoren S⃗_{i} ∈ S^{2} ⊆ ℝ^{3} zu jedem Gitterpunkt i ∈ ℤ^{D} wird beschrieben durch die Hamilton-Funktion

H = −J ∑_{⟨i,j⟩} S⃗_{i} · S⃗_{j} .

Summmiert wird über Paare ⟨i, j⟩ nächster Nachbarn, und S⃗_{i} · S⃗_{j} meint das Skalarprodukt in ℝ^{3}. Für D = 1 und Übergang zu Spin-\frac{1}{2}-Operatoren lautet der Hamilton-Operator (mit σ_{N+1} = σ_{1})

H = −J ∑_{n=1}^{N}(\frac{1}{2}(σ_{n}^{+}σ_{n+1}^{−} + σ_{n}^{−}σ_{n+1}^{+}) + σ_{n}^{z}σ_{n+1}^{z} .

Dabei ist [σ_{n}^{+}, σ_{m}^{−}] = 2σ_{n}^{z}δ_{mn} und [σ_{n}^{z}, σ_{m}^{±}] = ±σ_{n}^{±}δ_{mn}.

Aufgabe 1. i) Geben Sie eine Darstellung von σ_{n}^{+}, σ_{n}^{−}, σ_{n}^{z} als 2 × 2-Matrizen

an. ii) Wir betrachten, für jedes n, die kanonische Basis (e_{n}^{+} = \binom{1}{0}, e_{n}^{−} = \binom{0}{1})

von ℂ^{2} und dann die Basis (e_{1}^{j_{1}} … e_{N}^{j_{N}})_{j_{k}=±} des Hilbert-Raums H = ℂ^{2^{N}}. Geben Sie die Wirkung von σ_{n}^{+}, σ_{n}^{−}, σ_{n}^{z} auf (e_{1}^{j_{1}} … e_{N}^{j_{N}}) an.

iii) Sei S^{z} = ∑_{n=1}^{N} σ_{n}^{z}. Zeigen Sie durch Lösen des Eigenwertproblems für S^{z}: Es gibt N +1 verschiedene Eigenräume V_{r} von S^{z}, mit r = 0, 1, …, N, und dim(V_{r}) = \binom{N}{r}.

iv) Zeigen Sie: [H, S^{z}] = 0 und HV_{r} ⊆ V_{r}.

Aufgabe 2. i) Sei Ω (das Vakuum) der (bis auf Phasenfaktor) eindeutige Ba-

sisvektor von V_{0}. Berechnen Sie HΩ. ii) Geben Sie Operatoren T_{i} an, so daß (T_{1}Ω, …, T_{N}Ω) eine ONB von V_{1} ist.

Geben Sie unter Verwendung dieser T_{i} eine ONB von V_{2} an. iii) Zeigen Sie: Eine andere ONB von V_{1} ist gegeben durch (ψ_{0}, …, ψ_{N−1}) mit

ψ_{k} := \frac{1}{\sqrt{N}} ∑_{j=1}^{N} e^{\frac{2πijk}{N}} T_{j}Ω , k = 0, 1, …, N − 1 .

iv) Zeigen Sie: ψ_{k} ist Eigenvektor von H. Bestimmen Sie den Eigenwert.

Aufgabe 3. Die in Aufgabe 2.ii) bestimmte ONB von V_{2} kann als (ϕ_{n_{1}n_{2}})_{1≤n_{1}<n_{2}≤N} aufgefaßt werden. Der Bethe-Ansatz zur Bestimmung eines Eigenvektors in V_{2} von H lautet

ψ := ∑_{n_{1}<n_{2}} (A_{12}e^{i(K_{1}n_{1}+K_{2}n_{2})} + A_{21}e^{i(K_{1}n_{2}+K_{2}n_{1})})ϕ_{n_{1}n_{2}} ,

wobei K_{i} zunächst beliebig ist (und nicht \frac{2πk_{1}}{N} wie für V_{1} gesetzt ist).

i) Zeigen Sie: Für ein geeignetes Verhältnis \frac{A_{12}}{A_{21}} =: e^{iΘ_{12}} ist ψ Eigenvektor von H. Geben Sie Θ_{12} = −Θ_{21} an.

ii) Nach i) gilt bis auf Normierung

ψ = ∑_{n_{1}<n_{2}} (e^{i(K_{1}n_{1}+K_{2}n_{2}+ \frac{Θ_{12}}{2} )} + e^{i(K_{1}n_{2}+K_{2}n_{1}+ \frac{Θ_{21}}{2} )})ϕ_{n_{1}n_{2}} .

Bestimmen Sie den Eigenwert E von H als Funktion von K_{1}, K_{2}. iii) Zeigen Sie: Translationsinvarianz n_{1} ↦ n_{1} + N und n_{2} ↦ n_{2} + N führt auf

K_{1} = \frac{2πl_{1} + Θ_{12}}{N} , K_{2} = \frac{2πl_{2} + Θ_{21}}{N}

mit l_{2} = 0, 1, …, N − 1 und l_{1} = 0, 1, …, l_{2}.

Aufgabe 4. Es sei N ein Vielfaches von 4. Diese Aufgabe untersucht die Bestimmungsgleichungen für den Eigenwert E aus Aufgabe 3.ii) in Abhängigkeit von l_{1}, l_{2} aus 3.iii).

i) Bestimmen Sie E für l_{1} = 0. Wieviele Lösungen sind das in Abhängigkeit von N?

ii) Sei l_{2} − l_{1} ≥ 2. Wieviele Lösungen sind das in Abhängigkeit von N? Zeigen Sie, daß in diesem Fall alle Lösungen K_{1}, K_{2} reell sind und sich aus

0 = 2 cot(N \frac{K_{1}}{2} ) − cot \frac{K_{1}}{2} + cot(\frac{π(l_{1}+l_{2})}{N} − \frac{K_{1}}{2} )  (1)

ergeben. In diese Klasse fällt auch die Lösung l_{1} = l_{2} = \frac{N}{4} . iii) Zeigen Sie: (1) hat auch reelle Lösungen für l_{2} = l_{1} + 1 ≥ 2, falls l_{1} + l_{2} ∈

{3, 5, …, L − 2} ist oder l_{1} + l_{2} ∈ {2N − L + 2, …, 2N − 3}, mit L der zu \frac{\sqrt{N}}{π} nächsten ungeraden natürlichen Zahl.

iv) Weitere Lösungen für l_{1} = l_{2} > 0 und l_{2} = l_{1} + 1 sind komplex und ergeben sich aus dem Ansatz K_{1} = \frac{π(l_{1}+l_{2})}{N} + iv, K_{2} = \frac{π(l_{1}+l_{2})}{N} − iv, der (1) in

cos \frac{π(l_{1} + l_{2})}{N} sinh(Nv) = sinh((N − 1)v) + (−1)^{l_{1}−l_{2}} sinh v  (2)

überführt. Zeigen Sie, daß diese Gleichung Lösungen hat • im Fall l_{1} = l_{2} falls l_{1} + l_{2} ∈ \{2, 4, …, \frac{N}{2} − 2\}

oder l_{1} + l_{2} ∈ \{\frac{3N}{2} + 2, …, 2N − 2\}

• im Fall l_{2} = l_{1} + 1 ≥ 2 falls l_{1} + l_{2} ∈ \{L, L + 2, …, \frac{N}{2} − 1\} oder l_{1} + l_{2} ∈ \{\frac{3N}{2} + 3, …, 2N − L + 2\} und L wie in 4.iii).