Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 2015

Übungen zu “Mathematische Modelle der Statistischen Physik und Quantenfeldtheorie”

Abgabe: Bis 15.07.2015, 16 Uhr Blatt 09

Das klassische zweidimensionale Heisenberg-Modell für die Zuordnung von Spin-Vektoren S⃗_{i} ∈ S^{1} ⊆ ℝ^{2} zu jedem periodischen zweidimensionalen N × N- Gitter wird beschrieben durch die Hamilton-Funktion H = −J ∑_{⟨i,j⟩} S⃗_{i} · S⃗_{j}. Summmiert

wird über Paare ⟨i, j⟩ nächster Nachbarn in ℤ^{2} .

Aufgabe 1. i) Zeigen Sie, daß die Zustandssumme aufgefaßt werden kann als

Z = ∫_{[0,2π]^{N^{2}}} \frac{dθ_{1}}{2π} ⋯ \frac{dθ_{N^{2}}}{2π} exp (K ∑_{⟨i,j⟩} cos(θ_{i} − θ_{j})) .

Wie üblich ist K = \frac{J}{T}. Diese Zustandssumme definiert das XY -Modell.

ii) Die Hochtemperaturentwicklung des XY -Modells folgt aus der Entwicklung nach modifizierten Besselfunktionen

e^{K cos θ} = I_{0}(K) + ∑_{n=1}^{∞} I_{n}(K)(e^{inθ} + e^{−inθ}) .

Es gilt

t_{n}(K) := \frac{I_{n}(K)}{I_{0}(K)} ∼ \{ \begin{matrix}\frac{K^{n}}{2^{n}n!} & für K → 0 \\ e^{− \frac{n^{2}}{2K}} & für K → ∞ \end{matrix}

Für K → 0 spielen diese t_{n}(K) die Rolle von tanh K im Isingmodell. Führen Sie nach dieser Entwicklung die Winkelintegration aus, so daß die Zustandssumme eine Potenzreihe in t_{n_{ij}}(K) wird.

Aufgabe 2. Das Villain-Modell ensteht aus dem XY -Modell, indem man die Besselfunktionen durch das Verhalten bei K → ∞ ersetzt:

Z = ∫_{[0,2π]^{N^{2}}} \frac{dθ_{1}}{2π} ⋯ \frac{dθ_{N^{2}}}{2π} ∏_{⟨i,j⟩} z(θ_{i} − θ_{j}) , z(θ) := ∑_{n=−∞}^{∞} exp ( − \frac{n^{2}}{2K} + inθ) .

i) Beweisen Sie unter Verwendung von f(x) = ∫_{−∞}^{∞} \frac{dk}{2π} e^{ikx}f̂(k) die Poisson-

sche Summenformel

∑_{n=−∞}^{∞} f(n) = ∑_{p=−∞}^{∞} f̂(2πp) .

ii) Geben Sie eine alternative Form von z(θ) an, die aus der Poisson-Summierung entsteht.

iii) Führen Sie in dieser Form die Winkel-Integration in der Zustandssumme aus, so daß nun summiert wird über alle Zuordnungen n_{ij} ∈ ℤ zu nächsten Nachbarn ⟨i, j⟩ mit n_{ij} = −n_{ji}. Welche Einschränkung gibt es für diese n_{ij}?

Aufgabe 3. i) Zeigen Sie, daß sich die Nebenbedingungen and die n_{ij} lösen lassen durch Zuordungen von ganzen Zahlen m_{a} zu jeder Plaquette des Gitters:

i j_{3}  j_{1} j_{4} j_{2} m_{c} m_{d} m_{a} m_{b}  n_{ij_{1}} = m_{a} − m_{b} , n_{ij_{2}} = m_{b} − m_{c} , …

ii) Schlußfolgern Sie für die Zustandssumme des Villain-Modells

Z = ∑_{m_{1},...,m_{N^{2}}=−∞}^{∞} exp ( − \frac{1}{2K} ∑_{⟨a,b⟩}(m_{a} − m_{b})^{2})

iii) Verwenden Sie die Identität

∑_{m=−∞}^{∞} f(m) = ∫_{−∞}^{∞} dϕ f(ϕ) ∑_{m=−∞}^{∞} δ(ϕ − m) = ∫_{−∞}^{∞} dϕ f(ϕ) ∑_{q=−∞}^{∞} e^{2πiqϕ},

um die Zustandssumme in ein Modell für Gaußsche Fluktuationen umzuschreiben.

Bemerkung: Die letzte Formel ist Ausgangspunkt für eine weitere Behandlung mit Renormierungsgruppenmethoden.

Aufgabe 4. Nichtwechselwirkende kontinuierliche Spinvariablen definieren durch

\frac{1}{Z} ∏_{j=1}^{N} ds_{j}e^{−H(s_{j})} , Z := ∫ ∏_{j=1}^{N} ds_{j}e^{−H(s_{j})}

ein Wahrscheinlichkeitsmaß für unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen. Die Wahrscheinlichkeit, daß diese Verteilung einen Gesamtspin S = ∑_{j=1}^{N} s_{j} hat mit S_{0} ≤ S < S_{1} ist dann gegeben durch ∫_{S_{0}}^{S_{1}} dS P_{N}(S) mit

P_{N}(S) := \frac{1}{Z} ∫ ∏_{j=1}^{N} ds_{j}e^{−H(s_{j})}δ(S − ∑_{j=1}^{N} s_{j}) .

Wir bestimmen die renormierte Grenzverteilung R_{∞}(S) := lim_{N→∞} R_{N}(S), mit R_{N}(S) := \sqrt{N}P_{N}(\sqrt{N}S), in folgenden Schritten:

i) Zeigen Sie:

P_{2N}(S) = ∫_{−∞}^{∞} dT P_{N}(\frac{S}{2} − T)P_{N}(\frac{S}{2} + T)

Hinweis: δ(S −∑_{j=1}^{2N} ) = ∫_{−∞}^{∞} dT δ(\frac{S}{2} −∑_{j=1}^{N} σ_{j} −T )δ(\frac{S}{2} −∑_{j=N+1}^{2N} σ_{j} +T )

ii) Führen Sie die Renormierung zu R_{2N} und R_{N} durch sowie den Limes N → ∞.

iii) Führen Sie in der entstehenden nichtlinearen Integralgleichung für R_{∞} eine Fourier-Transformation R_{∞}(S) = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} dp R̂(p) e^{ipS} durch. Zeigen Sie: (R̂(\frac{p}{\sqrt{2}}))^{2} = R̂(p).

iv) Beweisen Sie, daß (R̂(\frac{p}{\sqrt{2}}))^{2} = R̂(p) die einzige Lösung R̂(p) = c_{1}e^{− \frac{σp^{2}}{2}} hat. Bestimmen Sie c_{1}. Geben Sie zusammenfassend die Grenzverteilung R_{∞}(S) = lim_{N→∞} \sqrt{N}P_{N}(\sqrt{N}S) an.