Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 15/16 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe bis Montag, den 18.4.2016, 14 Uhr in den Briefkästen Blatt 1

Aufgabe 1. Sei f: ℝ_{+}^{×} → ℝ definiert durch

f(x) = x^{2}e^{− \frac{1}{2} x^{2}}.

Bestimmen Sie die lokalen und globalen Extremstellen von f, deren Art (Maximum/Minimum) sowie alle Bereiche, in denen f konvex oder konkav ist.

Aufgabe 2. Seien n ∈ ℕ und die Funktionen f, g: ℝ → ℝ n-mal differenzierbar. Beweisen Sie die verallgemeinerte Leibniz-Regel für höhere Ableitungen

(fg)^{(n)} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n−k)}.

Aufgabe 3. (a) Bezeichne (T_{n}h)(x; a) das n-te Taylor-Polynom einer Funktion h mit Entwicklungspunkt a. Bestimmen Sie folgende Taylorpolynome:

(T_{4}f)(x; 1) für f(x) = x + e^{x} und (T_{2}g)(x; 0) für g(x) = sin(π\sqrt{1 + x^{2}}).

(b) Berechnen Sie jeweils die ersten partiellen Ableitungen der Funktionen

ϕ: ℝ^{2} → ℝ,  ϕ(x, y) = e^{xy} sin(x^{2} + y),
ψ: (ℝ_{+}^{×})^{3} → ℝ,  ψ(x, y, z) = (xy)^{z}.

Aufgabe 4. Seien f, Φ: ℝ^{2} → ℝ definiert durch

f(x, y) = xyΦ(x, y) mit Φ(x, y) = \begin{cases}\frac{x^{2} − y^{2}}{x^{2} + y^{2}} , & (x, y) ≠ 0, \\ 0, & (x, y) = 0. \end{cases}

Berechnen Sie die partiellen Ableitungen

∂_{x}f(0, x), ∂_{y}f(y, 0), (∂_{x}∂_{y}f)(0, 0), (∂_{y}∂_{x}f)(0, 0).

Erhalten Sie einen Widerspruch zum Satz von Schwarz?