Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 16 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: bis Donnerstag, den 28.04.16, 10 Uhr in den Briefkästen Blatt 2

Aufgabe 1. Sei die Funktion f : [−a, a] ⟶ ℝ, a > 0, integrierbar. Zeigen Sie:

(a) Ist f ungerade, d.h. f(x) = −f(−x), dann gilt ∫_{−a}^{a} dxf(x) = 0.

(b) Ist f gerade, d.h. f(x) = f(−x), dann existiert ∫_{0}^{a} dx f(x), und es gilt ∫_{−a}^{a} dx f(x) = 2 ∫_{0}^{a} dx f(x).

Aufgabe 2. Bestimmen Sie (durch zweifache partielle Integration) die Stammfunktionen zu folgenden Funktionen:

(a) x^{2} sin x

(b) sin(ax) e^{bx} , a, b ∈ ℝ

Zeigen Sie mit zweifacher partieller Integration:

(c) ∫ dx sin(ln x) = \frac{1}{2}x(sin(ln x) − cos(ln x)) + C.

(Hinweis: Setzen Sie u(x) = x und achten Sie auf Vorzeichen.)

Aufgabe 3. Zeigen Sie mit partieller Integration:

(a) ∫_{0}^{b} dx x^{n} e^{x} = n!(−1)^{n+1} + ∑_{k=0}^{n}(−1)^{n−k} \frac{n!}{k!}b^{k} e^{b} für alle b > 0 und n ∈ ℕ.

(b) ∫_{1}^{e} dx ln^{n} x = n!(−1)^{n+1} + e ∑_{k=0}^{n}(−1)^{n−k} \frac{n!}{k!} für alle n ∈ ℕ.

(Hinweis: Setzen Sie u(x) = x.)

Aufgabe 4. (a) Beweisen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Integralrechnung den Mittelwertsatz der Differentialrechnung in der folgenden abgeschwächten Form: Ist eine Funktion f : [a, b] ⟶ ℝ, −∞ < a < b < ∞, stetig differenzierbar, so gibt es ein ξ ∈ [a, b] mit f(b) − f(a) = (b − a)f′(ξ).

(b) Zeigen Sie: Die Dirichlet-Funktion

f : ℝ ⟶ ℝ, x ↦ \begin{cases}0 , & falls x ∈ ℝ\ℚ \\ 1 , & falls x ∈ ℚ \end{cases}

ist auf keinem Intervall [a, b], −∞ < a < b < ∞ Riemann-integrierbar.