Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 16 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: bis Mittwoch, den 04.05.16, 18 Uhr in den Briefkästen Blatt 3

Aufgabe 1. (a) Berechnen Sie ∫ \frac{dx}{x − \sqrt{x}} mit Hilfe der Substitution t = \sqrt{x}.

(b) Berechnen Sie ∫ \frac{dx}{1 + sin x} mit Hilfe der Substitution t = tan \frac{x}{2} (vgl. Beispiel 31.13

der Vorlesung). Aufgabe 2. Zeigen Sie:

(a) ∫0^{\frac{π}{2}} dx\frac{sin x}{1 + cos x} = ln 2;

(b) ∫_{0}^{2} dx\frac{x}{\sqrt{1 + 4x}} = \frac{5}{6} (Substitution t = \sqrt{1 + 4x});

(c) ∫_{2}^{2\sqrt{3}} \frac{dx}{x^{2}\sqrt{4 + x^{2}}} = \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} − \frac{1}{\sqrt{3}}) (Substitution x = 2 tan z). Aufgabe 3. Für n ∈ ℕ und |x| < π/2 sei D_{n}(x) = ∫_{0}^{x} dt tan^{n} t. Zeigen Sie:

(a) D_{0}(x) = x, D_{1}(x) = − ln cos x und nD_{n+1}(x) = tan^{n} x − nD_{n−1}(x) für n ≥ 2. (Hinweis: Differenzieren Sie für die letzte Gleichung tan^{n} x.)

(b) Für d_{n} := D_{n}(π/4) gilt lim_{n→∞} d_{n} = 0.

(c) Für alle m ∈ ℕ ist

d_{2m} = (−1)^{m} (\frac{π}{4} − ∑_{k=0}^{m−1} \frac{(−1)^{k}}{2k + 1}) , d_{2m+1} = (−1)^{m} (ln \sqrt{2} + ∑_{k=1}^{m} \frac{(−1)^{k}}{2k} ) .

(d) Folgern Sie aus (b) und (c) die Gleichungen

∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{2k + 1} = \frac{π}{4} , ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k−1}}{k} = ln 2.

Aufgabe 4. Untersuchen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale auf Konvergenz in Abhängigkeit von α ∈ ℝ:

(a) ∫_{1}^{∞} dx \frac{sin \frac{1}{x}}{x^{α}} , (b) ∫_{1}^{∞} dx (ln (1 + x^{−3}))^{α} , (c) ∫_{0}^{1} dx (ln (1 + x^{−3}))^{α} .

(Hinweis: Substituieren Sie geeignet und betrachten Sie lim_{t→0} \frac{sin t}{t} für (a) und lim_{t→0} \frac{ln(1 + t)}{t^{β}} für geeignetes β für (b) und (c).)