Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 16 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: bis Donnerstag, den 12.05.16, 10 Uhr in den Briefkästen Blatt 4

Aufgabe 1. Entscheiden Sie, ob folgende uneigentliche Integrale existieren und bestimmen Sie gegebenenfalls deren Werte:

(a) ∫_{0}^{∞} dx e^{−zx} , z ∈ ℂ (b) ∫_{0}^{∞} dx sin^{n} x , n ≥ 1  (c) ∫_{0}^{∞} dx \frac{ln x}{1 + x^{2}}

(Hinweis: Betrachten Sie ∫_{1}^{∞} dx \frac{ln x}{1+x^{2}} mit der Substitution x = \frac{1}{t}.)

Aufgabe 2. Es sei I := ∫_{0}^{1/\sqrt{2}} dx \frac{4\sqrt{2} − 8x^{3} − 4\sqrt{2}x^{4} − 8x^{5}}{1 − x^{8}} .

(a) Substituieren Sie x = \frac{y}{\sqrt{2}}. In der Faktorisierung des Zählers 16 − y^{8} = (2 − y^{2})(2 + y^{2})(2 + 2y + y^{2})(2 − 2y + y^{2}) (nachrechnen!) kürzen sich einige Faktoren mit dem

Nenner. Beweisen Sie: I := 16 ∫_{0}^{1} dy (\frac{y}{4(y^{2} − 2)} + \frac{2 − y}{4(y^{2} − 2y + 2)})

(b) Zeigen Sie mit Hilfe der Gleichung im Skript vor Beispiel 31.13.: I = π

Aufgabe 3. (a) Zeigen Sie mit Hilfe der geometrischen Reihe, daß für alle k, m ∈ ℕ^{×} und c ∈]0, 1[ gilt:

∫_{0}^{c} dx \frac{x^{k−1}}{1 − x^{m}} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{c^{nm+k}}{nm + k} .

(b) In (a) wähle man c = 1/\sqrt{2}, m = 8 sowie k = 1, 4, 5, 6 und schließe mit (a) und Aufgabe 2 auf die Bailey-Borwein-Plouffe-Formel (BBP-Formel)

π = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{16^{n}} (\frac{4}{8n + 1} − \frac{2}{8n + 4} − \frac{1}{8n + 5} − \frac{1}{8n + 6}) .

Aufgabe 4. (a) Seien 0 ≤ k < 1 und x, c ∈ ℝ, |x| ≤ 1. Zeigen Sie, daß das Integral

v(x, k) := ∫_{0}^{x} dt \sqrt{\frac{1 − k^{2}t^{2}}{1 − t^{2}}}

auch für |x| = 1 existiert und für E(φ, k) := v(sin φ, k) mit φ ∈ [−π/2, π/2] gilt:

E(φ, k) = ∫_{0}^{φ} dψ \sqrt{1 − k^{2} sin^{2} ψ}.

(b) Zeigen Sie mit Hilfe der binomischen Reihe für \sqrt{1 − y} mit y = k^{2} sin^{2} ϕ und gliedweiser Integration, daß für alle φ ∈ [−π/2, π/2] und alle k mit 0 ≤ k < 1 gilt:

E(φ, k) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)}{2n − 1}\binom{2n}{n} (\frac{k}{2})^{2n} A_{2n}(φ) mit A_{2n}(φ) = ∫_{0}^{φ} dx sin^{2n} x.