Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 16 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: bis Mittwoch, den 25.05.16, 18 Uhr in den Briefkästen Blatt 5

Aufgabe 1. Die Beta-Funktion B(a, b) ist für alle Zahlen a, b > 0 definiert durch B(a, b) = ∫_{0}^{1} dx x^{a−1}(1 − x)^{b−1}. Zeigen Sie:

(a) Das obige Integral konvergiert auch im Fall 0 < a, b < 1.

(b) B(a, b) = \frac{b − 1}{a + b − 1}B(a, b − 1) im Fall b > 1.

(c) B(a, n) = \frac{1 · 2 · 3 ⋯ (n − 1)}{a(a + 1) ⋯ (a + n − 1)} im Fall b = n ∈ ℕ^{×}.

(d) ∫_{0}^{1} dx x^{p−1}(1 − x^{m})^{q−1} = \frac{1}{m}B (\frac{p}{m}, q) für alle p, q, m > 0.

Aufgabe 2. Sei b > 0 und sei γ(a) für a > 0 definiert durch

γ(a) = \frac{Γ(a + b)}{Γ(b)}B(a, b).

Zeigen Sie, daß die so definierte Funktion γ die Voraussetzungen des Satzes von Bohr-Mollerup erfüllt, und schlußfolgern Sie die Formel Γ(a)Γ(b) = Γ(a + b)B(a, b). (Hinweis: Benutzen Sie die Hölder-Ungleichung.)

Aufgabe 3. (a) Zeigen Sie: B(a, a) = \frac{1}{2^{2a−1}} B (\frac{1}{2}, a) für a > 0.

(Hinweis: Substitution x = \frac{1}{2}(1 − \sqrt{z}).)

(b) Zeigen Sie mit (a) und Satz 35.4 den Legendreschen Verdoppelungssatz

Γ(a)Γ (a + \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{π}}{2^{2a−1}} Γ(2a) für alle a ∈ ℝ_{+}.

Aufgabe 4. Zeigen Sie:

(a)  ∫_{0}^{1} dx \frac{x^{p−1}}{\sqrt{1 − x^{n}}} = \frac{\sqrt{π}Γ (\frac{p}{n})}{nΓ (\frac{p}{n} + \frac{1}{2})} für alle p, n ∈ ℕ,
(b) ∫0^{\frac{π}{2}} dx (sin x)^{a−1}(cos x)^{b−1} = \frac{Γ(\frac{a}{2})Γ(\frac{b}{2})}{2Γ(\frac{a+b}{2})} für alle a, b > 0.

(Hinweis: Finden Sie durch geeignete Substitution oder Rückwärtsrechnen die versteckte Beta-Funktion.)