Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 16 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: bis Donnerstag, den 2.6.2016, 10 Uhr in den Briefkästen Blatt 6

Aufgabe 1. Bestimmen Sie, welche der folgenden Abbildungen linear ist:

(a) F: C([0, 1]) → ℂ, f ↦ ∫_{0}^{1} dx f(x)x^{2}, wobei C([0, 1]) als Vektorraum bezüglich der punktweise definierten Addition sowie Multiplikation mit Skalaren aufgefaßt wird;

(b) G: ℝ^{2} → ℝ, (x, y) ↦ (x + y)^{2} − (x − y)^{2};

(c) H: ℝ^{2} → ℝ, (x, y) ↦ 2x + 3y − 1;

(d) K: ℝ^{2} → ℝ, (x, y) ↦ |x − y| + |x + y|.

Aufgabe 2. (a) Zeigen Sie, daß die Vektoren b_{1} = (2, 3, −1), b_{2} = (−4, 5, 0) und b_{3} = (6, −2, 2) eine Basis des ℝ^{3} bilden.

(b) Durch F (b_{1}) = (1, 0), F (b_{2}) = (0, 1), F (b_{3}) = (1, −1) werde eine lineare Abbildung F : ℝ^{3} → ℝ^{2} definiert. Bestimmen Sie ker(F).

(c) Bestimmen Sie die darstellende Matrix der in 2b) definierten linearen Abbildung F : ℝ^{3} → ℝ^{2} bezüglich der Basis (b_{1}, b_{2}, b_{3}) von ℝ^{3} und der Basis (e_{1}, e_{1} − e_{2}) von ℝ^{2}, wobei e_{1} = (1, 0) und e_{2} = (0, 1).

Aufgabe 3. Sei V = W = ℂ^{3}. Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix der Abbildung F: V → W, x ↦ Ax, bezüglich der Basis B = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) (von V und W), wobei

A = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}) ,  b_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) ,  b_{2} = (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) ,  b_{3} = (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) .

Aufgabe 4. Bezeichne V_{n} den komplexen Vektorraum aller Polynome P (x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{1}x + a_{0} vom Grad kleiner gleich n und Koeffizienten a_{0}, …, a_{n} ∈ ℂ. Wir definieren Abbildungen D, T_{a}: V_{n} → V_{n} durch

(DP)(x) := P′(x)  und  (T_{a}P)(x) := P (x + a) für ein festes a ∈ ℂ.

Bestimmen Sie für diese Abbildungen jeweils (a) den Kern, (b) das Bild, (c) die Darstellungsmatrix bezüglich der Basis x^{0}, …, x^{n}.