Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 16 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: bis Donnerstag, den 9.6.2016, 10 Uhr in den Briefkästen Blatt 7

Aufgabe 1. Bezeichne V den Vektorraum aller komplexen Polynome vom Grad kleiner oder gleich 3. Zeigen Sie, daß dann die Polynome L_{0}, L_{1}, L_{2}, L_{3}, definiert durch

L_{n}(x) = e^{x} \frac{d^{n}}{dx^{n}} (x^{n} e^{−x})

eine Basis B von V bilden, und berechnen Sie die Darstellungsmatrix M_{B}^{B}(D) der linearen Abbildung D: V → V, P ↦ P′ (vgl. Aufgabe 3 von Blatt 6) bezüglich dieser Basis.

Aufgabe 2. Untersuchen Sie, ob die folgenden Matrizen invertierbar sind, und bestimmen Sie gegebenenfalls die Inverse:

A = (\begin{matrix}1 & −2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & −1 & 0 & 5 \\ −1 & 4 & 2 & 3 \end{matrix}) ,  B = (\begin{matrix}1 & t & 1 \\ 0 & 1 & t \\ t & 1 & 0 \end{matrix}) mit t ∈ ℝ.

Aufgabe 3. (a) Bezeichne E_{n} die n × n-Einheitsmatrix und sei A ∈ M(n × n, ℂ) nilpotent in dem Sinn, daß A^{m} = 0 für ein m ∈ ℕ. Zeigen Sie, daß dann die Matrix 1_{n} − A invertierbar ist. (Hinweis: Geometrische Reihe!)

(b) Bestimmen Sie für a ∈ ℂ die zu (\begin{matrix}1 & a & ⋯ & a^{n} \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & a \\ 0 & ⋯ & 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ M(n+1, ℂ) inverse Matrix.

(Der Eintrag an der Stelle (i, j) ist 0 im Fall i > j und a^{j−i} im Fall i ≤ j.)

Aufgabe 4. Bestimmen Sie für die Matrix

A = (\begin{matrix}1 & 4 & 3 \\ 2 & 8 & 7 \end{matrix})

ein r ∈ ℕ und quadratische Matrizen L, R, so daß

A = L (\begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) R^{−1}.