Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 16 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: bis Donnerstag, den 16.6.2016, 10 Uhr in den Briefkästen Blatt 8

Aufgabe 1. Wir betrachten ℂ^{3} mit dem Standard-Skalarprodukt und fassen Projektionen P_{U} : ℂ^{3} → U für Untervektorräume U ⊆ ℂ^{3} als Abbildungen P_{U} : ℂ^{3} → ℂ^{3} auf.

(a) Sei u = (x y z)^{⊤} ∈ ℂ^{3} und ∥u∥ = 1 sowie U = span(u). Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von P_{U}: ℂ^{3} → ℂ^{3} bezüglich der Standard-Basis von ℂ^{3}.

(b) Seien u_{1} = (1 0 0)^{⊤}, u_{2} = (1 3 4)^{⊤} und U = span(u_{1}, u_{2}). Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von P_{U} : ℂ^{3} → ℂ^{3} bezüglich der Standard-Basis von ℂ^{3}.

Aufgabe 2. Das Kreuzprodukt v×w zweier Vektoren v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) und w = (w_{1}, w_{2}, w_{3}) im ℝ^{3} ist der Vektor

v × w = (\begin{matrix}v_{2}w_{3} − v_{3}w_{2} \\ v_{3}w_{1} − v_{1}w_{3} \\ v_{1}w_{2} − v_{2}w_{1} \end{matrix}) .

Zeigen Sie, daß für alle u, v, w, x, y ∈ ℝ^{3} gilt:

(a) v × w ist orthogonal zu v und w.

(b) ∥v × w∥^{2} = ∥v∥^{2}∥w∥^{2} − ⟨v, w⟩^{2}.

(c) ∥v ×w∥ = ∥v∥∥w∥ sin α, wobei α den (kleineren) Winkel zwischen v und w bezeichne.

(d) Der Abstand zweier windschiefer Geraden u + ℝx und v + ℝy ist gegeben durch |⟨u − v, x × y⟩|/∥x × y∥.

Aufgabe 3. Wir betrachten C([−1, 1]) als unitären Vektorraum mit dem Skalarprodukt

⟨f, g⟩ := ∫_{−1}^{1} dx \overline{f(x)}g(x).

Die Legendre-Polynome sind gegeben durch

P_{n}(x) := \frac{1}{2^{n}n!}\sqrt{\frac{2n + 1}{2}} \frac{d^{n}}{dx^{n}} (x^{2} − 1)^{n} für alle n ∈ ℕ.

(a) Zeigen Sie, daß das Gram-Schmidt-Orthonormierungsverfahren für die Polynome 1, x, x^{2}, betrachtet als Elemente von C([−1, 1]), die Polynome P_{0}(x), P_{1}(x), P_{2}(x) liefert.

(b) Sei U = span(1, x). Berechnen Sie P_{U}(x^{3}) sowie d(x^{3}, U).

Aufgabe 4. Wir betrachten C([−π, π]) als unitären Vektorraum mit dem Skalarprodukt

⟨f, g⟩ = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} dx \overline{f(x)}g(x).

Seien f, e_{n} ∈ C([−π, π]) definiert durch f(x) = x und e_{n}(x) := e^{inx} für alle n ∈ ℤ, x ∈ [−π, π].

(a) Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten f̂_{n} := ⟨e_{n}, f⟩ für alle n ∈ ℤ.

(b) Berechnen Sie ∥f∥^{2}. Welche Gleichung für π^{2} folgt aus der Gleichung ∥f∥^{2} = ∑_{n∈ℤ} |f̂_{n}|^{2}.