Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 16 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: bis Donnerstag, den 23.6.2016, 10 Uhr in den Briefkästen Blatt 9

Aufgabe 1. Sei f: ℝ → ℂ eine 2π-periodische und stückweise stetige Funktion, θ ∈ ℝ und g: ℝ → ℂ definiert durch g(x) = f(x − θ) für alle x ∈ ℝ.

(a) Welcher Zusammenhang ergibt sich zwischen f̂(k) und ĝ(k)?

(b) Folgern Sie: Ist θ ∈ ℝ \ (ℚπ) und f = g, so muß f konstant sein.

Aufgabe 2. Sei f: [−π, π] → ℝ eine stückweise stetige Funktion. Zeigen Sie:

(a) Die Fourier-Reihe von f hat dann die Gestalt

(Sf)(x) = \frac{a_{0}}{2} + ∑_{k=1}^{∞}(a_{k} cos(kx) + b_{k} sin(kx)).

Wie berechnen sich die Koeffizienten a_{k}, b_{k} aus den Fourier-Koeffizienten von f? Wie direkt aus f durch Integration?

(b) Was läßt sich über die Koeffizienten a_{k} und b_{k} aussagen, wenn f gerade oder ungerade ist?

Aufgabe 4. (a) Berechnen Sie die Fourier-Entwicklung der Funktion f: [−π, π] → ℝ, x ↦ x^{4}.

(b) Begründen Sie, daß f(π) = (Sf)(π), und folgern Sie die Gleichung

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{4}} = \frac{π^{4}}{90}.

Aufgabe 4. Berechnen Sie die Determinanten folgender Matrizen:

A = (\begin{matrix}1 & 2 & 0 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \\ 3 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 5 & 1 & 1 \end{matrix}) ,  B = (\begin{matrix}1 & 4 & 6 & 4 \\ 1 & 5 & 10 & 10 \\ 1 & 6 & 15 & 20 \\ 1 & 7 & 21 & 35 \end{matrix}) .