Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 16 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: bis Donnerstag, den 30.6.2016, 10 Uhr in den Briefkästen Blatt 10

Aufgabe 1. (a) Schreiben Sie den Shift σ = (\begin{matrix}1 & 2 & ⋯ & n − 1 & n \\ 2 & 3 & ⋯ & n & 1 \end{matrix}) ∈ 𝔖_{n} als Produkt

von Transpositionen und bestimmen Sie sein Signum.

(b) Berechnen Sie die Determinanten folgender 3 × 3-Matrix A und n × n-Matrix B:

A = (\begin{matrix}1 & t & 1 \\ t^{2} & 1 & t \\ t & t & 1 \end{matrix}) ,  B = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ... & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & & ... & ... & 0 \\ 0 & & & ... & 1 \\ 1 & 0 & ⋯ & ⋯ & 0 \end{matrix}) .

Aufgabe 2. (a) (Vandermonde-Determinante) Seien x_{1}, …, x_{n} ∈ ℂ und

B(n) = (\begin{matrix}1 & 1 & ⋯ & 1 \\ x_{1} & x_{2} & ⋯ & x_{n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ x_{1}^{n−1} & x_{2}^{n−1} & ⋯ & x_{n}^{n−1} \end{matrix}) .

Zeigen Sie per Induktion, daß det B(n) = ∏_{1≤i<j≤n}(x_{j} − x_{i}).

(b) Für a, b ∈ ℂ und n ∈ ℕ sei

A(n) = (\begin{matrix}a & b & ⋯ & b \\ b & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & b \\ b & ⋯ & b & a \end{matrix}) .

Zeigen Sie: det A(n) = (a + (n − 1)b)(a − b)^{n−1}.

(b.w.)

Aufgabe 3. Seien a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ^{n+1} und sei A = (a_{1} ; ⋮ ; a_{n}) die n × (n + 1)-Matrix mit den

Zeilen a_{1}, …, a_{n}. Für k = 1, …, n + 1 sei A(k) die n × n-Matrix, die man erhält, wenn man die k-te Spalte von A streicht. Zeigen Sie, daß für den Vektor

b = (b_{1} … b_{n+1}) ∈ ℝ^{n+1} mit b_{k} = (−1)^{k−1} det A(k)

folgende Aussagen gelten:

(a) b = a_{1} × a_{2} im Fall n = 2;

(b) ⟨a_{k}, b⟩ = det (a_{k} ; a_{1} ; ⋮ ; a_{n}) für k = 1, …, n;

(c) b ist orthogonal zu a_{1}, …, a_{n}. Aufgabe 4. Bestimmen Sie für die Matrix

A = (\begin{matrix}11 & −18 & 9 \\ 6 & −10 & 6 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

(a) das charakteristische Polynom,

(b) die Eigenwerte,

(c) die Eigenräume,

(d) eine Matrix S so, daß S^{−1}AS eine Diagonalmatrix ist.