Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar SS 17 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie

Abgabe: Dienstag, 25.4.2017 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 1

Aufgabe 1. Geben Sie Realteil, Imaginärteil und Betrag der folgenden komplexen Zahlen an:

(a) \frac{1}{4 + 3i}  (b) \frac{3 + \sqrt{5}i}{2 + \sqrt{5}i} + \frac{1 − \sqrt{5}i}{2 − \sqrt{5}i}  (c) (\frac{\sqrt{2}}{1 − i})^{n} , n ∈ ℕ

Aufgabe 2. Skizzieren Sie folgende Punktemenge der Gaußschen Zahlenebene:

a) \{z ∈ ℂ : Re (\frac{1}{z}) > \frac{1}{R}\} b) \{z ∈ ℂ : |z| < |z + 1| < 1 , |z| < |z + i|\}

Aufgabe 3. (a) Geben Sie sämtliche Lösungen der quadratischen Gleichungen in der Form z = x + iy an, indem Sie die Gleichung \sqrt{a + ib} = x + iy lösen a, b, x, y ∈ ℝ, und berechnen Sie die Beträge |z^{2}| und |z|:

(i) z^{2} = 3 + 4i  (ii) z^{2} = 1 + 4\sqrt{5}i

(b) Berechnen Sie die Lösungen der dritten Einheitswurzeln ζ^{3} = 1 mit ζ ∈ ℂ. Zeigen und benutzen Sie dazu (cos(φ) + i sin(φ))^{n} = cos(nφ) + i sin(nφ).

Aufgabe 4. Die Normalform einer kubischen Gleichung ist

z^{3} + pz + q = 0 , p, q ∈ ℝ .

(a) Rechnen Sie nach, dass für D := (\frac{q}{2})^{2} + (\frac{p}{3})^{3} > 0 die Lösungen dieser kubischen Gleichung gegeben sind durch die Cardanischen Formeln

z_{1} = u + v ,  z_{2} = ζ_{1}u + ζ_{2}v ,  z_{2} = ζ_{2}u + ζ_{1}v

mit ζ_{1} = −\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, ζ_{2} = −\frac{1}{2} − i\frac{\sqrt{3}}{2} und

u = \sqrt[3]{−\frac{q}{2} + \sqrt{D}} ,  v = \sqrt[3]{−\frac{q}{2} − \sqrt{D}} .

Dabei ist \sqrt[3]{a} = −\sqrt[3]{−a} für a < 0.

(b) Man bestimme die Lösungen von z^{3} + 6z + 2 = 0.