Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar SS 17 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie

Abgabe: Dienstag, 4.7.2017 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 10

Aufgabe 1. Berechnen Sie die folgenden Integrale

(a) ∫_{−∞}^{∞} \frac{cos(x)dx}{1 + x^{2}} (b) ∫_{−∞}^{∞} \frac{x sin(x)dx}{1 + x^{4}}.

Zeigen Sie

(c) ∫_{0}^{∞} \frac{dx}{1 + x^{5}} = \frac{π}{5} \sqrt{2 + \frac{2}{\sqrt{5}}}.

(Hinweis: Verwenden Sie bei (c) die Formel (2 sin(4π/5) + sin(2π/5) = \frac{5}{4} \sqrt{2 + \frac{2}{\sqrt{5}}}).)

Aufgabe 2. Zeigen Sie

(a) ∫_{0}^{∞} \frac{ln(x)dx}{1 + x^{3}} = −\frac{2π^{2}}{27}  (b) ∫_{0}^{∞} \frac{x^{α}dx}{1 + x^{2}} = \frac{π}{2 cos(πα/2)} ,  0 < α < 1.

Aufgabe 3. Sei R eine rationale Funktion ohne Pol auf ℝ_{+} und mit mindestens zweifacher Nullstelle in ∞. Dann gilt für gerade k

∑_{m=0}^{k/2} \binom{k + 1}{2m}(πi)^{k+1−2m} ∫_{0}^{∞} dxR(x)(ln(x))^{2m} = −πi ∑_{a∈ℂ_{+}} res_{a} (R(z)(Log(e^{−iπ}z))^{k+1}) .

und für ungerade k

∑_{m=0}^{(k−1)/2} \binom{k + 1}{2m + 1}(πi)^{k−2m} ∫_{0}^{∞} dxR(x)(ln(x))^{2m+1} = −πi ∑_{a∈ℂ_{+}} res_{a} (R(z)(Log(e^{−iπ}z))^{k+1}) .

Der Beweis funktioniert analog zur Vorlesung. Es werden die vier Wege γ_{1}, γ_{2}, γ_{3}, γ_{4} aus der Vorlesung von Seite 66 benutzt. Das Integral über den Weg γ_{2} für r → ∞ geht gegen 0, da r(ln(r))^{k+1}|R(z)| → 0 für r → ∞. Das Integral über den Weg γ_{4} für ϱ → 0 geht gegen 0, da ϱ(ln(ϱ) + C)^{k+1}|R(z)| → 0 für ϱ → 0. Dies gilt für alle k ∈ ℕ. Wie auch in der Vorlesung weiter gezeigt, bleiben die Integrale über γ_{1} und γ_{3} über. Die Logarithmen sind dann

(Log(e^{iπ}z))^{k+1} = (ln(t) − iπ)^{k+1} auf γ_{1}
(Log(e^{iπ}z))^{k+1} = (ln(t) + iπ)^{k+1} auf γ_{3}.

Diese beiden Wege sind in entgegengesetzter Richtung entlang von ℝ_{+}, weshalb die Differenz genommen wird.

(ln(t) − iπ)^{k+1} − (ln(t) + iπ)^{k+1} = ∑_{l=0}^{k+1} \binom{k + 1}{l}(ln(t))^{l}(iπ)^{k+1−l} ((−1)^{k+1−l} − 1) .

Für gerade k heben sich alle Terme mit ungeraden l weg, so daß l = 2m gewählt werden kann. Für ungerade k heben sich alle Terme mit gerade l weg, so daß in diesem Fall l = 2m + 1 gewählt werden kann. Aus dem Residuensatz folgen die beiden Formeln.

(a) Berechnen Sie

∫_{0}^{∞} \frac{(ln(x))^{2}dx}{1 + x^{2}}.

(b) Zeigen Sie, daß für alle n ∈ ℕ gilt

∫_{0}^{∞} \frac{(ln(x))^{2n+1}dx}{1 + x^{2}} = 0.

(Hinweis: Bei (b) führt die Betrachtung von ∫_{0}^{1} \frac{(ln(x))^{2n+1}dx}{1+x^{2}} + ∫_{1}^{∞} \frac{(ln(x))^{2n+1}dx}{1+x^{2}} ebenfalls zum Ziel.)

Aufgabe 4. Zeigen Sie mit Hilfe der Partialbruchzerlegung des Kotangens

(a) \frac{π}{sin(πz)} = \frac{1}{z} + ∑_{k∈ℤ\\{0\}} (\frac{(−1)^{k}}{z − k} + \frac{(−1)^{k}}{k} ) = \frac{1}{z} + ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}2z}{z^{2} − k^{2}}

(b) π tan(πz) = − ∑_{k∈ℤ} (\frac{1}{z − (k + \frac{1}{2})} + \frac{1}{k + \frac{1}{2}} ) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{8z}{(2k + 1)^{2} − 4z^{2}} .

(Hinweis: Verwenden Sie die Identitäten 1/ sin(z) = cot(z/2) − cot(z) und tan(z) = cot(z) − 2 cot(2z).)