Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar SS 17 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie

Abgabe: Dienstag, 11.7.2017 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 11

Aufgabe 1. Sei S_{p}(n) = ∑_{k=1}^{n} k^{p}, p ∈ ℕ. Beweisen Sie die Faulhabersche Formel

∑_{k=0}^{n} k^{p} = \frac{1}{p + 1} ∑_{j=0}^{p} \binom{p + 1}{j}(−1)^{j}B_{j}n^{p+1−j},

wobei B_{j} die Bernoulli-Zahlen sind. Gehen Sie dazu wie folgt vor:

(a) Zeigen Sie, daß die erzeugende Funktion G(z, n) = ∑_{p=0}^{∞} S_{p}(n)\frac{z^{p}}{p!} dargestellt werden kann durch

G(z, n) = \frac{1 − e^{nz}}{e^{−z} − 1}.  (1)

(b) Geben Sie die Potenzreihen von 1 − e^{nz} und \frac{1}{e^{−z}−1} an.

(c) Setzen Sie die Potenzreihen in (1) ein und folgern Sie durch Koeffizientenvergleich der erzeugenden Funktion die Faulhabersche Formel.

(Hinweis: Verwenden Sie bei (a) die geometrische Summenformel, bei (b) die Potenreihenentwicklung von \frac{z}{exp(z)−1} und bei (c) die Cauchy-Produktformel (∑_{j=0}^{∞} a_{j})·( ∑_{k=0}^{∞} b_{k}) = ∑_{p=0}^{∞} ∑_{j=0}^{p} a_{j}b_{p−j}.)

Aufgabe 2. (a) Geben Sie mit Hilfe der Faulhaberschen Formel die Summen S_{p}(n) für p ∈ {0, 1, 2, 3} an.

(b) Zeigen Sie, daß für n ≥ 1 die Identität

∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}B_{k}B_{n−k} = −nB_{n−1} − (n − 1)B_{n}

gilt. Betrachten Sie dazu die Potenzreihe von \frac{z^{2}}{(e^{z}−1)^{2}} .
(Hinweis: z \frac{d}{dz} (\frac{z}{e^{z}−1}) = \frac{z}{e^{z}−1} − \frac{z^{2}}{e^{z}−1} − \frac{z^{2}}{(e^{z}−1)^{2}} .)

(b.w.)

Aufgabe 3. (a) Zeigen Sie für z ∈ ℂ \ (ℤ + \frac{1}{2}), y ∈ ℝ^{×} bzw. y ∈ ℝ:

Γ(\frac{1}{2} +z)Γ(\frac{1}{2} −z) = \frac{π}{cos(πz)}, |Γ(iy)|^{2} = \frac{π}{y sinh(πy)}, |Γ(\frac{1}{2} +iy)|^{2} = \frac{π}{cosh(πy)}.

(b) Zeigen Sie

Γ′(n + 1) = n! (−γ + ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k}) , n ∈ ℕ,

wobei γ die Euler-Mascheroni-Konstante ist mit γ = −Γ′(1).

(Hinweis: Das geht schneller über Eigenschaften von ψ(z), kann aber auch mit mehrfacher partieller Integration erhalten werden unter Beachtung von (x(ln(x) − 1))′ = ln(x) und (x^{n}e^{−x})′ = nx^{n−1}e^{−x} − x^{n}e^{−x}.)

Aufgabe 4. (a) Zeigen Sie, daß die Betafunktion ebenfalls dargestellt werden kann durch

B(a, b) = ∫_{0}^{∞} \frac{x^{a−1}}{(1 + x)^{a+b}} dx.

(Hinweis: Finden Sie die richtige Substitution t = \frac{ax+b}{cx+d}, indem Sie berücksichtigen, wie sich die Grenzen des Integrals ändern.)

(b) Zeigen Sie, daß das Integral von Blatt 10 Aufgabe 1 (c) ebenfalls die Lösung besitzt

∫_{0}^{∞} \frac{dx}{1 + x^{5}} = \frac{1}{5} Γ(\frac{1}{5}) Γ(\frac{4}{5}) = \frac{π}{5 sin \frac{π}{5}} .