Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar SS 17 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie

Abgabe: Dienstag, 2.5.2017 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 2

Aufgabe 1. (a) Bestimmen Sie die Grenzwerte der komplexen Folgen

a_{n} = \frac{n^{3} + (in^{2} + 1)(6 + in)}{∑_{k=1}^{n} ik} , b_{n} = n^{k} (\frac{1}{4} + \frac{i}{2})^{n} , k ∈ ℕ

(b) Zeigen Sie:

(i) Konvergiert eine Folge komplexer Zahlen (z_{n})_{n∈ℕ} in ℂ gegen ein a, so konvergiert die konjugiert-komplexe Folge (z̄_{n})_{n∈ℕ} gegen ā.

(ii) Ist die komplexe Reihe ∑_{k=1}^{∞} c_{k} konvergent mit Summe s, so ist ∑_{k=1}^{∞} c̄_{k} konvergent mit Summe s̄.

Aufgabe 2. Untersuchen Sie, für welche k ∈ ℕ die folgende Reihe konvergiert, und berechnen Sie Realteil, Imaginärteil sowie Betrag der Reihe

∑_{n=0}^{∞} z_{k}^{n} mit z_{k} = \frac{3 + 4i}{k + i}.

Für welche k gilt Re (∑_{n=0}^{∞} z_{k}^{n}) > Im (∑_{n=0}^{∞} z_{k}^{n})? Für welches k ist der Betrag der Reihe maximal?

Aufgabe 3. Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:

(a) ∑_{n=1}^{∞} (\frac{1 + n}{n})^{n^{2}}z^{2n} (b) ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{(n!)^{2}} z^{n} (c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(z − i)^{5n}}{5n^{2}3^{n}}